高中数学必修一教学设计

篇一：高一数学必修一教案

课题：

教材分第：集合概念与其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的

一个重要的基础，一方

面，很多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，

集合论与其所

反映的数才思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课

教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理

解集合“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描

述不同的详细

问题，感受集合语言的意义和作用；

教学重点：集合的基本概念与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法一一列举法与描述法，正确

表示一些简洁的集合；教学过程：

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动

员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感爱好的是问题中某些特

定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为

此，我们将学习一个新的概念一一集合（宣布课题），即是一些探讨

对象的总体。

二、新课教学

（一）集合的有关概念

1.集合理论创始人黄托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全

体，人们能意识到这

些东西，并且能推断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，探讨对象统称为元素（element）,一些元素组成的总体

叫集合（set）,也简

称集。

3.关于集合的元素的特征

(1)确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个详细对象，则或者

是a的元素，或者不是a的元素，两种状况必有一种且只有一种成

-

ALo

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同

的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)集合相等：构成两个集合的元素完全一样

4.元素与集合的关系；

(1)假如a是集合a的元素，就说a属于(belongto)a,记作

a£a

(2)假如a不是集合a的元素，就说a不属于(notbelongto)a,

记作aa(或aa)

5.常用数集与其记法

非负整数集(或自然数集)，记作n

正整数集，记作n或n+；

整数集，记作z

有理数集，记作q

实数集，记作r

(二)集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，

除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：｛1,2,3,4,5｝,｛x2,3x+2,5y3-x,x2+y2｝,；

思索2,引入描述法

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑

元素的依次。

(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号｛｝

内。

详细方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号与取值

(或改变)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具

有的共同特征。

如：｛x|x-3>2｝,｛(x,y)|y=x2+l｝,｛直角三角形｝,；

强调：描述法表示集合应留意集合的代表元素

｛(x,y)|y=x2+3x+2｝与｛y|y=x2+3x+2｝不同,只要不引起误会,集

合的代表元素也可省略，例如：｛整数｝,即代表整数集z。

辨析：这里的｛｝已包含“全部”的意思，所以不必写｛全体整数｝。

下列写法｛实数集｝,｛r｝也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应当依据详细问题确定采纳哪种表

示法，要留意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采纳列

举法。

三、归纳小结

本节课从实例入手，特别自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结

合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包

括列举法、描述法。

*

课题,

1.2集合间的基本关系

教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系

了解空集的含义

课型：新授课

教学目的：(1)了解集合之间的包含、相等关系的含义；

(2)理解子集、真子集的概念；

(3)能利用venn图表达集合间的关系；

(4)了解与空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区分；

教学过程：

四、引入课题

1、复习元素与集合的关系一一属于与不属于的关系，填以下空白：

(1)0n；(2)

；(3)-1.5r

2、类比实数的大小关系，如2W2,试想集合间是否有类似

的“大小”关系呢？(宣

布课题)

五、新课教学

(一)集合与集合之间的“包含”关系；

a=｛l,2,3｝,b=｛l,2,3,4｝

集合a是集合b的部分元素构成的集合，我们说集合b包含集合a；

假如集合a的任何一个元素都是集合b的元素，我们说这两个集合有

包含关系，称集合a是集合b的子集(subset)o

记作：ab（或ba）

读作：a包含于（iscontainedin）b,或b包含（contains）a

当集合a不包含于集合b时，记作

ab

ab（或ba）

用venn图表示两个集合间的“包含”关系（二）集合与集合之间的

“相等”关系；

ab且ba,则ab中的元素是一样的，因此ab

ababba即

结论：

任何一个集合是它本身的子集

（三）真子集的概念

若集合ab,存在元素xb且xa,则称集合a是集合b的真子集

（propersubset）。

记作：ab（或ba）

读作：a真包含于b（或b真包含a）

（四）空集的概念

（实例引入空集概念）

不含有任何元素的集合称为空集（emptyset）,记作：规定：空

集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五）结论：

laaO2ab,且be,贝！JacO

（六）例题

（1）写出集合｛a,b｝的全部的子集，并指出其中哪些是它的真子

集。

（2）化简集合a=｛x|x-3>2｝,b=｛x1x5｝,并表示a、b的关系;

（七）归纳小结，强化思想

两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个

实数间的大小关系，同时还要留意区分“属于”与“包含”两种关系

与其表示方法；

1.已知集合a｛x|ax5｝,b｛x|x22｝,O且满意ab,求实数a的

取值范围。

2.设集合a｛四边形｝,b｛平行四边形｝,c｛矩形｝,O

enn图表示它们之间的关系。d｛正方形｝，试用v

课题：

i.3集合的基本运算

教学目的：(1)理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简

洁集会的并集与交集.

(2：理解在给定集3中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补

集；(3)能用venn图表达集合的关系与运算，体会直观图示对理解

抽象概念的作用。

课型：新授课

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎

样做”；

教学过程：

六、引入课题

我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数

的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？

思索(p9思索题)，引入并集概念。

七、新课教学

］.并集

一般地，由全部属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，称为

集合a与b的并集(union)

记作：aUb读作:“a并b”

即：aUb={x|x£a,或x£b}

venn图表示：

篇二：新课标人教版中学数学必修1优秀教案全套

备课资料

［备选例题］

【例1】推断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示：

(1)被3除余1的自然数组成的集合；

(2)由全部小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；

(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的全部点组成的集合；

(4)设a、b是非零实数，求y=abab的全部值组成的集合.|a|b||ab

思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描

述法表示集合时,一要分清元素是什么，二要明确元素满意的条件是什

么.

解：(1)被3除余1的自然数有多数个，这些自然数可以表示为

3n+l(n£n).用描述法表示为{x|x=3n+l,n£n}.

(2)由题意得满意条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的

元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.

(3)满意条件的点有多数个,则此集合中有多数个元素,可用描述法来

表示.通常用有序数对(x,y)表示点,则满意条件的点组成的集合表示为

{(x,y)|y=x2+2xT0}.

(4)当ab<0时，y=abab=-l;当ab>0时，则a>0,b>0或

a<0,b<0.a||b|ab

abababab=3;若a<0,b<0,则有y==T.|ab||ab||ab||ab

若a>0,b>0,则有y=

，y=abab的全部值组成的集合共有两个元素T和3.则用列举法表示

为{T,3}.a|b|ab

【例2］定义a-b={x|xea,xb},若m={l,2,3,4,5},n={2,3,6},试用列

举法表示集合n-m.分析:应用集合2-6={*k£a,*1)}与集合2、b的关

系来解决.依据定义知n-m就是集合n中除去集合m和集合n的公共元

素组成的集合.视察集合m、n,它们的公共元素是2,3.集合n中除去元

素2,3还剩下元素6,则n-m={6}.

答案：{6}.

(设计者：张新军)

设计方案(二)

教学过程

导入新课

思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数

的不等式的全部的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的

解集.不等式解集的定义中涉与到“集合”，则，集合的含义是什么呢这

就是我们这一堂课所要学习的内容.今日我们起先学习集合，引出

课题.

思路2.开场白：集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、精确地表达

数学内容.这个词听起来比较生疏,其实在初中我们已经有所接触，比如

自然数集、有理数集，一元一次不等式x-3>5的解集，这些都是集合.

还有，我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离

等

于定长的点的集合.接着点出课题.

推动新课

新知探究

提出问题

老师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征

是什么

(1)「20以内的全部质数;

(2)我国古代的四大独创；

(3)全部的安理睬常任理事国；

(4)全部的正方形；

(5)北京高校2004年9月入学的全体学生.

活动：老师组织学生分小组探讨,每个小组选出一位同学发表本组的

探讨结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的

含义.

引导过程：

①一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集)，集合中的每个

对象叫做这个集合的元素.

②集合常用大写字母a,b,c,d,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…

表示.

③集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.

④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,则这个元

素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合，要么不属

于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的

元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有依次的.⑤集合

相等:假如两个集合中的元素完全相同，则这两个集合是相等的.

g元素与集合的关系：“属于”和“不属于”分别用“仁”和表

示.

元素确定性的符号语言表述为:对随意元素a和集合a,要么aea,要

么aa.

⑦在初中我们学过了一些数的集合，国际标准化组织(iso)制定了常用

数集的记法：自然数集(包含零)：n,正整数集:n*(n+),整数集:z,有理

数集:q,实数集:r.

因此字母n、z、q、r不能再表示其他的集合，否则会出现混乱的局面.

提出问题

(1)请列举出“小于5的全部自然数组成的集合a”.

(2)你能写出不等式2-x>3的全部解吗？怎样表示这个不等式的解

集？

活动：学生回答后，老师指出：

①在数学中，为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把

元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这

个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为

a={0,1,2,3,4}.

②描述法:将集合的全部元素都具有的性质(满意的条件)表示出来,写

成{xp(x)}的形式.其中X为元素的一般特征,p(x)为X满意的条件.如

数集常用{x|p(x)}表示，点集常用{(x,y)p(x,y)}表示.应用示例

思路1

1.课本第3页例1.

思路分析：用相应的数学学问明确集合中的元素,再写在大括号内.

点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.假如一个集合是有限集,

并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是特别显明地表

示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤：(1)用

字母表示集合；(2)明确集合中的元素；(3)把集合中全部元素写在大括

号”{}”内，并写成a={……}的形式.

变式训练

请试一试用列举法表示下列集合：

(l)a={x£n且9£n};9x

(2)b={y|y=-x2+6,x£n,y£n};

(3)c={(x,y)|y=-x2+6,x£n,yen}.

分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后

再写在大括号内.

(1)集合a中元素x满意9均为自然数；9x

(2)集合b中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合；

(3)集合c中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.

答案:(l)a={0,6,8);

(2)b={2,5,6};

(3)c={(0,6),(1,5),(2,2)}.

2.课本第4页例2.

思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表

示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号，找到集合中元素的共同

特征，并把共同特征用数学符号来表达，然后写在大括号“{}”内.

点评：本题主要考查集合的表示方法，以与应用学问解决问题的实力；

描述法表示集合的步骤：(1)用字母分别表示集合和元素，(2)用数学符

号表达集合元素的共同特征；(3)在大括号内先写上集合中元素的代表

符号与取值(或改变)范围，再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元

素所具有的共同特征.并写成a={……}的形式;描述法适合表示有多数

个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.

变式训练

课本P5练习2.

思路2

1.下列所给对象不能构成集合的是()

a.一个平面内的全部点

b.全部大于零的正数

c.某校高一⑷班的高个子学生

d.某一天到商场买过货物的顾客

答案：C

变式训练

下列各组对象中不能构成集合的是()

a.高一(1)班全体女生

b.高一(1)班全体学生家长

c.高一(1)班开设的全部课程

d.高一⑴班身高较高的男同学

分析:推断所给对象能否构成集合的问题，只需依据构成集合的条件，

即集合中元素的确定性便可以解决.因为a、b、c中所给对象都是确定

的,从而可以构成集合;而d中所给对象不确

定,缘由是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将d中

“身高较高的男同学”改为“身高175cm以上的男同学”，则能构成

集合.

答案：d

2.用另一种形式表示下列集合：

(1){肯定值不大于3的整数};

(2){全部被3整除的数};

⑶{x'x=|x',x£z且x<5};

(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,xWz};

(5){(x,y)x+y=6,x>0,y>0,x£z,y£z}.

思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要

明确元素满意的条件是什么.

答案：(1){肯定值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|W3,x£z},

也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.

(2){xIx=3n,n£z}.

(3),.,x=|x|x20.

又,.,xWz且x<5,

{x|x=|x|,x£z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4).

(4){-2}.

(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.

变式训练

用适当的形式表示下列集合：

(1)肯定值不大于3的整数组成的集合；

(2)全部被3整除的数组成的集合；

(3)方程方x-5)(x+2)(x2+3)=0实数解组成的集合;

(4)一次函数y=x+6图象上全部点组成的集合.

分析:元素较少的有限集宜采纳列举法;对无限集或元素较多的有限集

宜采纳描述法.答案：(1)以1鼠|43»£2}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};

(2){x|x=3n,n£z};(3){5,-2};3

(4){(x,y)|y=x+6}.

3.已知集合a=(x|ax2-3x+2=0,a£r},若a中至少有一个元素,求a的

取值范围.

思路分析：对于方程ax2-3x+2=0,aer的解,要看这个方程左边的x2

的系数,a=0和aWO方程的根的状况是不一样的,则集合a的元素也不

相同，所以首先要分类探讨.

解：当a=0时，原方程为-3x+2=0x=2,符合题意；3

aO,9解得aWO且aW.898a0.当aWO时，方程ax2-3x+2=0为一元二

次方程,则

综上所得a的取值范围是{a|aW

4.用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组9}.82x-万程，的解集;

3x2y8

(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合；

(3)直角坐标平面上在其次象限内的点所组成的集合；

(4)全部正方形；

(5)直角坐标平面上在直线x=l和x=-l的两侧的点所组成的集合.

分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简洁、

较明白的表示方法.由于方

2x-3yl4,程组的解为x=4,y=-2.故⑴宜用列举法；(2)中尽管是有限集,

但由于它的元素个3x2y8

数较多，所以用列举法表示是不明智的,故用描述法；(3)和(5)也宜用

描述法;而(4)则宜用列举法为好.

解：(1){(4,-2)};

(2){x|x=3k+2,kcn且x<1000};

(3){(x,y)1x<0且y>0);

(4){正方形};

(5){(x,y)|x<T或x>1}.

知能训练

课本p5练习1、2.

拓展提升

1.已知a={x£r|x=|a||b||c||ab||acbe||abc|,abcWO},用列举

法表示集abcabacbcabc

合a

》析:解决本题的关键是去掉肯定值符号，需分类探讨.

解：题目中X的取值取决于a、b、c的正负状况，可分成以下几种状

况探讨：

(l)a>b、c全为正时,x=7;

(2)a、b、c两正一负时，x=T;

(3)a、b、c一正两负时,x=T;

(4)a、b、c全为负时,x=T.

.,.a={7,-l}.

留意：(2)、(3)中又包括多种状况(a、b、c各自的正负状况)，解题时

应考虑全面.

2.已知集合c={x|x=a+b,a£a,b£b}.

⑴若a={0,1,2,3},b={6,7,8,9},求集合c中全部元素之和s;

(2)若a={0,1,2,3,4,…,2005},b={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集

合c中全部元素之和s;

(3)联系高斯求s=l+2+3+4+…+99+100的方法,试求出⑵中的s.

思路分析：先用列举法写出集合c,然后解决各个小题.

答案：(1)列举法表示集合c={6,7,8,9,10,11,12),进而易求得

s=6+7+8+9+10+l1+12=63.

(2)列举法表示集合。={5,6,7,…,2013,2014},由此可得

s=5+6+7+…+2013+2014.

(3)高斯求s=l+2+3+4+…+99+100时，利用

1+100=2+99=3+98=-=50+51=101,进而得

s=l+2+3+4+-+99+100=101X50=5050.

本题(2)中s=5+6+7+…+2013+2014=2019X1005=2029095.

课堂小结

在师生互动中，让学生了解或体会下列问题：

(1)本节课我们学习过哪些学问内容

(2)你认为学习集合有什么意义？

(3)选择集合的表示法时应留意些什么

篇三：中学数学必修一教案

第一章集合与函数概念

1.1集合

1.1.1集合的含义与表示

课标三维定向

K学问与技能』1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关

系。

2、驾驭集合中元素的特性。

3、能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述

不同的详细问题，感受集合语言的意义和作用。

K过程与方法』通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结

合集合中元素的特性，学会视察、比较、抽象、概括的思维方法，领

悟分类探讨的数学思想。

K情感、看法、价值观》在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养

成实事求是、扎实严谨的科学看法，学会用数学思维方法解决问题。

教学重、难点

K重点力集合的含义与表示方法。

K难点》集合表示方法的恰当选择与应用。

教学过程设计

一、阅读课本：P2-6(10分钟)(学生课前预习)

二、核心内容整合

1、为什么要学习集合一一现代数学的基础(数学分支)

2、集合的含义：把探讨对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做

集合。

3、集合的特性

(1)确定性。问题：“高个子”能不能构成集合？我国的小河流

呢？

K学问链接1模糊数学(“模糊数学简介”、“浅谈模糊数学”)

(2)互异性：集合中的元素不重复出现。如{1,1,2}不能构成集合

(3)无序性——相等集合，如{1,2}={2,1}

4、元素与集合之间的“属于"关系：aa,aa

5、一些常用数集的记法：n(n*,n+),z,q,r。如：r+表示什

么？

6、集合的表示法：

(1)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号”{}“括起

来。

例1、用列举法表示下列集合：

(1)小于10的全部自然数组成的集合；{0,1,2,3,4,5,6,

7,8,9)

(2)方程xx的全部实数根组成的集合；(0,1)

(3)由1~20以内的全部质数组成的集合。(难点：质数的概念)

{2,3,5,7,11,13,17,19}

(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示。{x|xp)

例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程x20的全部实数根组成的集合；

列举法：；描述法：{x1x220}。

(2)由大于10小于20的全部整数组成的集合。

列举法：{11,12,13,14,15,16,17,18,19}；描述法:

{x10x20,xz}0K学问链接X代表元素：如{x|yx2}(自变量的取值

范围),{y|yx2}(函数值的取值范围)，{(x,y)|yx2}(平面上在抛

物线上的点)各代表的意义。

三、迁移应用

1、已知4{1,a,(al)},求实数a的值。

2、已知m{x|ax2xl0}是单元素集合,求实数a的值。

思路探求：(1)对a探讨；(2)方程仅一根0。

四、学习水平反馈：p6,练习；P13,习题11,a组，1、2o

五、三维体系构建22222

元素与集合的关系集合的含义集合的含义与表示元素的特征：确定

性、互异性、无序性

集合的表示：列举法、描述法

六、课后作业：pl3,习题11,a组，3、4。

22补充：已知a{a2,(al),a3a3},若la,求实数a的值。

七、教学反思：

1.1.2集合间的基本关系

课标三维定向

K学问与技能11、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集

合的子集。

2、在详细情景中，了解空集的含义。

K过程与方法』从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间

的关系，从中学会视察、类比、概括和思维方法。

K情感、看法、价值观U通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学

生体会数学上的规定要讲逻辑依次，培育学生有条理地思索的习惯和

主动探究创新的意识。

教学重、难点

K重点》理解子集、真子集、集合相等等。

K难点』子集、空集、集合间的关系与应用。

教学过程设计

一、问题情境设疑一一类比引入

问题：实数有相等关系、大小关系，可否拓展到集合之间的关系？

弓I例：视察下面几个例子，你能发觉两个集合之间的关系吗？

(1)a={1,2,3},b={1,2,3,4,5}；

(2)设a为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，b为这个班

全体学生组成的集合；

(3)设c