考点03 数列的通项公式与求和公式-2022年高考数学（理）一轮复习小题多维练（解析版）

考点03数列的通项公式与求和公式

一、单选题

1.(2021.宁夏中卫市.高三其他模拟(理))设数列｛4｝的前〃项和为S,,,若2s.=3a”—2(〃eN*),

A.243B.244C.245D.246

【答案】B

【分析】

555

先证明数列｛%｝是一个以2为首项，以3为公比的等比数列,再求出S1O=(3+1)(3-1),«6-2=2(3-1),

即得解.

【详解】

由题得2q=3q—2,：.q=2.

由题得2S“=34-2,2S“_|=3/一|-2,(〃22),所以2a“=3atl-3a“_1,an=，

所以数列｛4｝是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，

所以几=2(>3)=310_1=(35+1)(35_]),

1—3

25

555

a6-2=2x3-2=2(3-l),所以一=3+1=244.

4-2

故选：B

【点睛】

方法点睛：已知S,,=/(4),求数列的通项，通常用项和公式%。c求解.

[Sn-Sn_],n>2

,、S

2.(2021•甘肃高三二模(理))数列｛q｝的前〃项和为S“，且S.=2%-1,贝1]。n=()

A.2—2一"B.2—2~c.2—2〃D.2—2”-1

【答案】B

【分析】

S,,

利用«„=s„-S“_1（nN2）求出a„,则可得Sn,进一步可得—.

【详解】

当〃=1时，S[=2q-1,得q=1,

当〃22时，S„_,=2a„_,-l,

所以a“=S,-S,i=2a“—2%,即《=2%,又4=1,

所以数列｛aJ是首项为6=1，公比4=2的等比数列，

一

所以q,=2"T,S,,=1L2E"=2"-1,

"1-2

con_i

所以」=17T•=2-2「”.

故选：B

3.（2021•全国高二专题练习）设S”是数列｛4｝的前〃项和，若S“=/+2〃，则%021=（）.

A.4043B.4042C.4041D.2021

【答案】A

【分析】

法•r由“2021=$2021-^2020可得;

fs,H=1

法二：由数列公式为=<0°力先求通项，再代入求出物）2「

3—31n>2

n/J-1

【详解】

法一:«2021=^2021-§2020=202『-2()20?+2x202l-2x2020=4043：

法二：•/S„=n2+2n,，当〃=1时，q=S]=3,

12

当〃之2时,an=S„-Sn_l=n+2n-(n-Y)-2(n-l)=2n+l.

当〃=1时，也适合上式，二4=2〃+1,则a202l=2x2021+1=4043.

故选：A.

【点睛】

（1）设s”是数列｛4｝的前〃项和，S“=A"+B〃o｛q｝是等差数列.

S\〃=1

（2）已知求应用公式<C时，一要注意不要忽略〃=1时的情况，二要注意

n>2

a„=S“一S“_i时的成立条件.

4.（2021•全国高二课时练习）数列3,7,13,21,31,…的通项公式是（）

322

A.凡=4"-1B.an=n-n+n+2C.=n+/?+1D.不存在

【答案】C

【分析】

利用累加法求得数列的通项公式.

【详解】

依题意可知an=1+2〃,q=3,

所以a”=(a“一)+(a”_2-)+-，+(2一4)+4

=2〃+2(〃—1)+.••+2x2+3

2"+2x2/n,°

=---x(〃—l)+3=/+〃+1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.

5.（2021♦全国高二课时练习）已知数列1、0、1、0、…，可猜想此数列的通项公式是（）

〃一IB.a“=；[l+(-l)[(〃wN*)

A.4=1+(-1)nGN

ca=n+\(〃一l)(〃一2)("wN")D.=g(l-cos/vr)(〃wN*)

-„T1+(T)4-

/J

【答案】D

【分析】

通过反例可排除ABC,分别在〃为奇数和«为偶数时化简D中通项公式，可知其满足题意.

【详解】

对于A,4=1+(-1)°=2#1,A错误;

对于B,4=gx(l—l)=0W1,B错误；

对于C,a3=；x(l+l)+2xl=3Hl,C错误；

对于D,当〃为奇数时，COS〃7T=-1,则=gx(l+l)=1；

当〃为偶数时，cos=1,则=；x(l-l)=0；D正确.

故选：D.

6.(2021•甘肃省民乐县第一中学高三三模(理))已知数列｛4｝为等比数列，其前〃项和为S“，若

a2a$-2%,S3——6,贝!]4().

A.一2或32B.一2或64C.2或-32D.2或-64

【答案】B

【分析】

利用等比数列的性质山42。6=-2%，可求得力=-2,再山S3=-6可求出q,从而可求出4的值

【详解】

,/数列｛a,,｝为等比数列，a2a6=-2a,=q%，解得％=-2,

设数列的公比为q,§3=—6=—2—24—2产

解得4=-2或9=1,

当。=-2,则4=(—2『=64,

"iq=1,则4=-2.

故选:B.

7.(2021咛夏长庆高级中学高一期末)已知数列｛4｝中，q=1,/=3%一+4(〃eN\n>2),求数列｛%｝

的前八项和S“为()

A。32一2〃—3D03向+2〃—3

A-3=----2----B-S“=-----------

c「3n+l-4,1-3D.s.T

c.5=---------

"2

【答案】C

【分析】

根据题意化简得到4+2=3(4-+2),得到数列｛%+2｝构成首项为3,公比为3的等比数列，求得

a„=3"-2,结合等比数列和等差数列的求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，数列｛qj中，q=1,。“=3a“_1+4(〃eN",〃22),

。+2

可得4,+2=3勺_1+6=3(%_1+2),即=3,

an-\+,

且4+2=3,所以数列｛4+2｝构成首项为3,公比为3的等比数列,

所以4+2=3",即%=3"-2,

则数列｛%｝的前〃项和Sa=(3+32+…+3")—(2+2+…+2)

3(1-3-)3--3_2〃=匕吧

2

故选：C.

_1

8.(202L全国商三其他模拟)设数列｛〃“｝的前〃项和为S,”若%=亍=~尸，则％9=()

y/n+l+\ln

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】

采用裂项相消法求数列的和

【详解】

因为册=~/尸'—+1—,

A/H+1+\/〃

所以S99=(血-1)+(6—血)+・・・+(炳一项-M)

=Jl00-1=10-1=9

故选c.

9.（2021•新疆高三一模（理））在等差数列｛%｝中，a

4=4,(%=7,其前〃项和为Sn,则

111

++•••+—()

S\S?§2020

2019202040394040

A.-----B.c.-----D.-----

2020202120202021

【答案】D

【分析】

设｛凡｝的公差为。，利用等差数列通项公式结合已知条件，列方程求基本量，进而写出通项公式，即可得

前〃项和为S”，再根据裂项相消法求目标式的值即可.

【详解】

a,+3d—44=1

由题设，若｛q｝的公差为d,则＜1,得《

(4+61=7d=\

1

・・。〃=〃，故S〃=------，则丁=2(—

2S〃n7^,

1、4040

----)-

2021---2021

故选：D

10.（2021.南宁市邕宁高级中学高二期末）数列｛4｝,也＞满足/也,=1,4=/+〃，则｛a｝的前10

项和为（）

11041

A.-B.—C.-D.—

511511

【答案】B

【分析】

,111

求出〃=—=--------再利用裂项相消法求解即可.

a„n〃+1

【详解】

2

因为数列｛«„｝，也｝满足。“也=1,an=n+n,

,11111

所以仇=一=不~=一7,1'=-------------7>

ann+n+nn+\

所以，｛d｝的前10项和为：

,11111,110

22310111111

故选：B.

11.（2021•甘肃省永昌县第一高级中学高一期末）等比数列｛勺｝中，4=2,q=2,数列

b=------------｛2｝的前〃项和为7“，则几的值为()

"S向—1)(4-1)'

409420461022510

A.-----B.-----C.----D.——

40952047---------------1023511

【答案】B

【分析】

2"11

先求出从而可得然后利用裂项相消求和法可求出工0

(2,,+|-1)(2"-1)2"T2"+'-1'

【详解】

,2"1

由题意得q=2"，所以b"=（2后二=强二T

1,12046

所以4。=--------7----1--S-------；----1---1--T7：------------=1-----=----

102-122-122-123-12'0-12"-12"-12047

故选：B

2%

12.（2021•全国高二课时练习）在数列｛/｝中，4=1,a,〃eN+，则。“=()

n+]2+4

22n〃+1〃+2

A-a„=B.«„c.%=OD.

n+\〃+12n2/7+1

【答案】A

【分析】

2a12+a11f111

n_____un_二

对4+1—°变形可得——=—+彳，所以一卜为以一二:1为首项，公差为V的等差数列,

2+4an+\2%%2%2

即可得解.

【详解】

在｛4｝中，q=1，

2an12+a“11

由4+i———可得——=-----=—+-

2+a”an+l2a*an2

11,

所以《一卜为以一=1为首项,公差吗的等差数列,

an%

11/八1〃+1

所以一=1+(〃-1).7=^-,

a„22

2

»+1

故选：A.

13.(2021•浙江高考真题)已知数列｛a,J满足q==1+V-(»eN*).记数列｛q,｝的前八项和为S”,

则()

399_

A.—<Sim<3B.3<Sl00<4C.4<Sia)<5D.—<5,0()<5

【答案】A

【分析】

显然可知，Sm〉二,利用倒数法得到「一=」-+3=」+,1111

一，再放缩可得I---<-/=+.，

aaa

2,,+\a”J%IJan24\l,i+\\ln2

4aa,,,.,〃+l

由累加法可得427~巨，进而由~户局部放缩可得-然后利用累乘法求得

(〃+1)1+也an〃+3

%-7~H~八，最后根据裂项相消法即可得到So。＜3,从而得解.

(〃+1)(〃+2)

【详解】

因为4=1,。,山]+｝(“eN*),所以。“＞0,%＞；.

11n-ln+l

根据累加法可得‘石金+丁=〒'当且仅当”=l时取等号'

>4:4v4=〃+J

—(〃+1)2-"+「+。—1+2一〃+3"

n+1

ann+3

由累乘法可得％"强际?当且仅当〃=1时取等号'

由裂项求和法得:

3

<3,即2<$00<3.

故选：A.

【点睛】

本题解题关键是通过倒数法先找到瓦,向二的不等关系，再由累加法可求得4,22，由题目条件

可知要证doo小于某数，从而通过局部放缩得到%,4+1的不等关系，改变不等式的方向得到

6

a<---------------最后由裂项相消法求得S项＜3.

(〃+1)(〃+2)

14.(2020.浙江高考真题)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列

«(/?+1)

就是二阶等差数列，数列(〃eN*)的前3项和是

22

【答案】10

【分析】

根据通项公式可求出数列｛q｝的前三项，即可求出.

【详解】

因为a“=所以4=1,%=3,%=6.

2

即S3=q+4+%=1+3+6=10.

故答案为：10.

【点睛】

本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题.

15.(2020・江苏高考真题)设｛小｝是公差为&的等差数列，｛瓦｝是公比为(7的等比数列.已知数歹1」但"+5｝

的前八项和S“=1—”+2"-1(〃eN+),则d+q的值是.

【答案】4

【分析】

结合等差数列和等比数列前〃项和公式的特点，分别求得｛4｝,｛〃,｝的公差和公比，由此求得4+q.

【详解】

设等差数列｛4｝的公差为4,等比数列｛d｝的公比为9,根据题意qwl.

等差数列｛为｝的前〃项和公式为匕=叫+-0―d=Q/+6一］卜,

等比数列｛2｝的前〃项和公式为2=b"f)

44+

1—4i—qT—q

依题意2+Q,即〃〜+2F家+1一方〃一告小自

-=1

2

Jd=2

cl

a.——=-1a1।=0

通过对比系数可知〈'2=,故d+g=4.

9=24=2

3=1

A

故答案为：4

【点睛】

本小题上要考查等差数列和等比数列的前.“项和公式，属于中档题.

16.（2019・江苏高考真题）已知数列｛&“｝（〃eN*）是等差数列，S“是其前"项和.若+%=°，§9=27,

则S.的值是.

【答案】16.

【分析】

由题意首先求得首项和公差，然后求解前8项和即可.

【详解】

a2a5+。8=（。1+d）（q+4d）+（4+7d）=0

由题意可得:

S9=9q+券4=27