2022-2023学年人教中考数学重难点题型分类必刷题 04 轴对称重难点题型分类(含详解)

高分必刷题-《轴对称》重难点题型分类（原卷版）

题型一轴对称图形

1.已知M（a,3）和N（4,b）关于），轴对称，则（”+6）20°8的值为.

2.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）

A.3：55B.8：053：05D.8：55

题型二角平分线的性质

1.角平分线的定义

就是将角平分的射线。

2.角平分线的性质

角平分线线上的点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定

到角两边的距离相等的点在角平分线上。

4.如图，为△ABC中，ZC=90°，AO平分ZBAC,交BC于点£>,48=10,

SAABD=15,则CD的长为

BDC5.到三角形三边距离相等的点是（）A.三边垂直平分线的交点B.三条

高所在直线的交点

C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点

6.如图，DC//AB,/BAD和NADC的角平分线相交于£,过E的直线分别交DC,AB于CB两点.

（1）判断AE与QE的位置关系.并说明理由:

（2）求证：AD^AB+DC

D

AB题型三垂直平分线的性质与判定

1.垂直平分线的定义

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线).

2.垂直平分线的性质

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等..

3.垂直平分线的判定

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

A.MemB.18cmC.19cmD.20cm

8.如图，/8AC=110°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则/必。的度数是()

C.50°D.60°

9.如图，已知在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点力，连接

(1)若乙4=40°,求NOBC的度数；

(2)若AB=10,QC=3,求线段的长度.

Q

10.如图，△ABC的外角NZMC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PDLAB

于。，PEIAC-fE.

(1)求证：BD=CE；

(2)若A8=6c〃z,AC=Wcm,求4力的长.

11.已知在△ABC中，/CAB的平分线AD与BC的垂直平分线Z)交于点£>,

OM_LAB于M,£W_LAC的延长线于N.

(1)证明：BM=CN；

(2)当NBAC=70°时，求/OCB的度数.

12.如图，点£是NAOB的平分线上一点，ECLOA,EDLOB,垂足分别是C,D.

(1)NEC。和NEDC相等吗？

(2)OC和。。相等吗？(3)OE是线段CD的垂直平分线吗？

题型四尺规作图

13.人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法:

已知：ZAOB

求作：ZA'O'B',使NA'OB=/AOB.

作法：（1）如图，以点、。为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C、D：

<2）画一条射线。火，以点。为圆心，0C长为半径画弧，交。女于点5

<3）以点、C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D）

（4）过点D'画射线00,则NA'OB=/AOB.

请你根据提供的材料完成

下列问题.

（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是（）

A.SASB.AASC.ASAD.SSS

(2)请你证明/40'8'=NA0&

14.已知“两点之间，线段最短”，我们经常利用它来解决两线段和最小值问题.

(1)实践运用

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有

趣的数学问题--将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到

河边饮马后，再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？画出最短路径并说明理由.

(2)拓展延伸

如图2,点P,。是△ABC的边A8、AC上的两个定点，请同学们在BC上找一点R,使得的周

长最短(要求：尺规作图，不写作图过程保留作图痕迹).

・营地3

•山峰4

15.按要求完成下列作图，不要求写作法，只

保留作图痕迹.

(1)已知：线段48,作出线段AB的垂直平分线

(2)已知：ZAOB,作出乙408的平分线0C.

(1)题型五最短路径问题

16.如图，在△A8C中，AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，尸是AD上一个动点，则下列线段

的长度等于3P+EP最小值的是()

A.BCB.CEC.ADD.AC

17.已知NMON=40°,P为NMON内一定点、,0M上有一点A,ON上有一点B,当△以B的周长取

最小值时，/AP8的度数是()A.40°B.100°C.140°D.50°

18.阅读下列一段文字：已知在平面内两点P](xi,yi)、P2(%2>”)，其两点间的距离PiP2=

J（x「X2）2+（y]-y2）2问题解决:已知人口5),B(7,3)

（1）试求A、B两点的距离;

（2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使以+PB的长度最短，求出M+P8的最短长度.

（3）在x轴上有一点M,在y轴上有一点N,连接A、N、M、8得四边形ANM8,若四边形AMW8的

周长最短，请找到点M、N（不求坐标，画出图形即可），求出四边形AMWB的最小周长.

题型六等腰三角形的性质与判定

1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

2.等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上的高重合。（简称：三线合一）

19.已知等腰三角形的两边长分别是4和6,则它的周长是（）

A.14B.16C.18D.14或16

20.如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=100°,AB的垂直平分线OE分别交AB、BC于点。、E,则

NBAE=（）

21.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的底角度数是

22.下列说法中正确的是（）

①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；

②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的中线也是它的高；

④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形

A.①@③④B.①②③C.①@④D.②③④

23.如图，点C在线段48上，AD//EB,AC=BE,AD=BC,DE与BC交于点G,C尸平分NOCE.

（1）求证：为等腰三角形；

（2）试判断CF、Z）E的位置关系，并说明理由.

D

在等腰Rt^ABC中，N4CB=90°,。为BC的中点，过点C作

CG_L4D于点G,过点B作FBLCB于点B,交CG的延长线于点尸，连接力尸交A8于点E.

(1)求证：△ACO丝△CBF；

(2)求证：AB垂直平分。F；

(3)连接AF,试判断△ACF的形状，并说明理由.

25.已知：如图，ZXABC中，NABC=45°,CDJ_AB于力，BE平分NABC,且BE_LAC于E,与CD

相交于点F,”是BC边的中点，连接。”与BE相交于点G.

(1)求证：BF—AC-,

(2)求证：CE=LF；

2

1、等边三角形的性质：①三边相等；②三个角都等于60。；③30。角所对的直角边是斜边的一半。

2、等边三角形的判定：①三条边相等；②两个角等于60。；③两边相等+一个60。的角。

26.下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的

高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

27.如图，在△4BC中，AB=AC,ZBAC=120°,。为BC中点，DELABTE,AD=4,求线段BE的

MNA.BC于点M,PNJ_4C于点N.

（1）求证：△PMN是等边三角形;

（2）若AB=18CH,求CM的长.

29.如图，ZXABC是等边三角形，BDLAC,AELBC,垂足分别为。、E,AE.BD

相交于点O,连接。E.

（1）判断△8E的形状，并说明理由.

（2）若40=12,求OE的长.

A

-30.已知，如图，ZVIBC为等边三角形，AE=CD,AO、BE相交于点P,BQ

_LA£)于Q,PQ=3,PE=\.

(1)求证：△ABEg^CA。；

(2)求NBPQ的度数；

J

K

c

(3)求AC的长./)

高分必刷题-《轴对称》重难点题型分类(解析版)

题型一轴对称图形

1.已知M(a,3)和N(4,b)关于)，轴对称，则(a+b)20°8的值为

【解答】解：VM(a,3)和N(4,b)关于y轴对称，-4,h=3,

：.(a+b)2008=(-4+3)2008=1.故答案为：1.

2.下列图形中，不是轴对称图形的是()

C.D.

【解答】解：选项A、8、D均能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能

够互相重合，所以是轴对称图形，选项C不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两

旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：C.

3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是()

B.8：05C.3：05D.8：55

【解答】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知

识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对

称点是4点，分针指向II实际对应点为1,故此时的实际时刻是：8点5分.

故选：B.

题型二角平分线的性质

2.角平分线的定义

就是将角平分的射线。

2.角平分线的性质

角平分线线上的点到角两边的距离相等。

4.角平分线的判定

到角两边的距离相等的点在角平分线上。

4.如图，RtZ\ABC中，ZC=90°,平分NBAC,交BC于点。，AB=10,SAABD=15,则C£)的长

【解答】解：如图，过点。作QEJ_A8于点E；：/C=90°,AO平分N8AC,

：.CD=DE；^.,且AB=10,.•.OE=3,CD=DE=3.

VSAABD0£=15

故答案为3.

5.到三角形三边距离相等的点是()

A.三边垂直平分线的交点B.三条高所在直线的交点

C.三条角平分线的交点D.三条中线的交点

【解答】解：VOGLAB,OF±AC,OG=OF,在NA的平分线上，同理。在N8的平分线上,

。在/C的平分线上，即。是三条角平分线的交点，故选：C.

。6.如图，DC//AB,/BAQ和/AOC的角平分线相交于E,过E的直线分别交OC,A8于

C8两点.

(1)判断AE与QE的位置关系.并说明理由:

(2)求证：AD^AB+DC

B

【解答】解：（1）理由：'JDC//AB,：.ZBAD+ZADC=\SQ°,；/84。和NADC的角平分

线相交于E,N3=」/ADC,Z1=AZ^D,.*.ZH-Z3=A(ZBAD+ZADC)=_L><180°=90°,

2222

/.ZAED=90°,：.AE±DE；

<AB=AF

(2)在A£>上截取AF=A8,连接EF,如图所示：在△ABE和△AFE中，，/2=/1，

AE=AE

.,.△ABE^AAFE(SAS),:.NAFE=NB,'：AB//DC,：.ZB+ZC=180°,VZ/4FE+ZDFE=180°,

"ZDFE=ZC

:.NDFE=NC,在AOE尸和△DEC中，•/3=/4,A△DfF^ADEC(AAS),：.DF=DC,

DE=DE

：.AB+DC^AF+DF=AD,即AD=AB+DC.

DC

A5题型三垂直平分线的性质与判定

1.垂直平分线的定义

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）.

2.垂直平分线的性质

垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等..

3.垂直平分线的判定

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点。，已知AC=10tro,BC=lcm,

则△8CD的周长为（

A.HernB.18cwC.19（TOD.20cm【解答】解：的垂直平分线交4c于点£>,二

AD=BD,：.f\BCD^J^=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC,'：AC=10cm,BC=1cm,.,.△BC。的

周长=10+7=17"〃.

故选：A.

8.如图，/B4C=110°,若MP和NQ分别垂直平分AB和4C,则/%。的度数是()

20°B.40°C.50°D.60°

【解答】解：VZBAC=110°,：.ZB+ZC^10Q,又MP,NQ为AB,AC的垂直平分线,

:2BAP=NB,NQAC=NC,二NB4P+/CAQ=70°,

：.ZPAQ^ZBAC-ZBAP-ZCA0=110°-70°=40°故选：B.

9.如图，已知在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点£),连接80.

(1)若/A=40°,求NO8C的度数；

(2)若AB=10,DC=3,求线段BD的长度.

【解答】解：（I）在△ABC中，AB^AC,NA=40。NA3C=NC=-1(180°

2

-N4)=70°,

是A8的垂直平分线，：.AD=BD,：.ZABD=ZA=40°,

；./DBC=NABC-NABD=70°-40°=30°；

(2)'：AB=AC,AB=10,DC=3,.*.BO=A£>=10-3=7.

10.如图，△ABC的外角ND4C的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PO_LAB于。，PEJ_AC于E.

(1)求证：BD=CE；

(2)若A8=6cro,AC=10“〃，求AO的长.

QC【解答】(1)证明：连接BP、CP,•点P在8c的垂直平分线上，；.8P=CP,

,.FP是/ZMC的平分线，.*.CP=EP,在RtZSBZ?尸和RlZ\CEP中，［BP=CP,.•.Rt^BDP丝Rt/\CEP(HL),

|DP=EP

:.BD=CE；

(2)解：在RtZWOP和RtZMEP中，1ApMP,.-.Rt^DP^RtAAEP(HL),：.AD=AE,

lDP=EP

'：AB=6cm,AC=10cm,；.6+AO=10-AE,即6+AD=10-AD,解得AD=2crn.

D

11.已知在△ABC中，/CAB的平分线A£＞与BC的垂直平分线。交于

点。，于M,ON_LAC的延长线于N.

(1)证明：BM=CN；

(2)当NBAC=70°时，求/。C8的度数.

【解答】(1)证明：连接8。，如图所示：；是NCA8的平分线，DM1.AB,

DNLAC,:.DM=DN,

垂直平分线BC,:.DB=DC,在RtZ\OMB和RtZ\£WC中，

(DB=DC,咨RtADNC(HL),:.BM=CN；

lDM=DN

(2)解：由(1)得：NBDM=NCDN,：AZ)是/C4B的平分线，DM1AB,DN1AC,：.DM=DN,

在和RtZXONA中，1DA=DA,,\Rt/^DMA^Rt/^DNA(HL),：.ZADM=ZADN,；NBAC

lDM=DN

=70°,AZMDN=\\0a,ZADM=ZADN=55°,•:NBDM=4CDN,：.ZBDC=ZMDN=110°,

YOE是8c的垂直平分线，.•.OBuCC,.•.NEOC=/N8DC=55°,AZDCB=9Q°-ZEDC=35°,

：./DCB=35"

12.如图，点E是/AOB的平分线上一点，EC1OA,ED1.OB,垂足分别是C,D.

(1)NECO和NEDC相等吗？

(2)OC和。。相等吗？

(3)OE是线段CD的垂直平分线吗？

【解答】解：(1)NEQC与NECD相等，丁。七是NA08的平分线，ECVOA,

EDA.OB,

：.EC=ED,.♦.△CEQ是等腰三角形，AZEDC=ZECD；

(2)0c与。。相等，".'ECIOA,EDLOB,：.Z0DE=ZOCE^90°,在RtAOOE和RtZ\OCE中,

OE=OE(公共边)，DE=CE,.,•RtAODE^RlAOCE(HL),：.OD=OC

(3)Of是线段CD的垂直平分线，；EC=E。，点在线段CO的垂直平分线上，•：0C=。。，

二。点在线段CD的垂直平分线上，...0E是线段CD的垂直平分线.

题型四尺规作图

13.人教版初中数学教科书八年级上册第36页告诉我们一种作一个角等于已知角的方法:

已知：ZAOB

求作：ZA'0'B',使/A'OB=/AOB.

作法：(D如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,0B于点C、D;

(2)画一条射线0女，以点0为圆区0C长为半径画弧，交0次于点U;

(3)以点C为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D)

(4)过点D，画射线0B,则NA'OB=/AOB.

请你根据提

供的材料完成下列问题.

(1)这种作一个角等于已知角的方法的依据是()

A.SASB.A4SC.ASAD.SSS

(2)请你证明NA'Ob=NAOB.

【解答】解：(1)这种作一个角等于己知角的方法的依据是SSS；故选D

(2)证明：根据作图过程可知：OD=OC=O'D1=0'C',CD=C'D',

'0D=0'D'

在△OOC和△(?'O'C'中，，0C=0'C'，.♦.△OOCgZX。'D'C'(SSS),

CD=CyD'

:./DOC=ND'O'C,ZA'O'B'^ZAOB.

14.已知“两点之间，线段最短”，我们经常利用它来解决两线段和最小值问题.

(1)实践运用

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有

趣的数学问题--将军饮马问题：如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到

河边饮马后，再到8点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？画出最短路径并说明理由.

(2)拓展延伸如图2,点P,Q是△ABC的边A3、AC上的两个定点，请同学们在BC上找一点R,使

得的周长最短(要求：尺规作图，不写作图过程保留作图痕迹).

Q

・山峰x/P\

C乙--、B

图？【解答】解：(1)如图1,从点A出发向

河岸引垂线，垂足为Q,在A。的延长线上，取A'使得A'D=AD,连接4'B,与河岸相交y于C,

则C点就是饮马的地方；

/营地8

•七河流

图］

A'证明：如图1,如果将军在河边的另外任意点C'饮马，所走的路程就是AC'+C'

B,因为AC'+CB>A'B^AC+BC,所以在C点外任意一点饮马，所走的路程都要远些；

(2)尺规作图，如图2：

图2

15.按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹.

（1）已知：线段AB,作出线段AB的垂直平分线

（2）已知：/A03,作出NA08的平分线0C.

(1)Q)【解答】解：（1）如图（1）,MN为所作;

题型五最短路径问题

16.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB=AC,AD.CE是△ABC的两条中线，尸是4。上一个动点,

则下列线段的长度等于利+EP最小值的是（)

A.BCB.CEC.ADD.AC

【解答】解：B点的对称点为C,再连接E,C,故选：B.

17.已知NMON=40°,P为NMON内一定点，0M上有一点A,ON上有一点B,当△B4B的周长取最

小值时，NAPB的度数是（）

B.100°C.140°D.50°

【解答】解：分别作点P关于。M、ON的对称点P、P",连接OP、OP",P'P",P'P"交

OM、ON干点、A、B,连接相、PB,此时△川8周长的最小值等于P'P".

由轴对称性质可得，OP'=0P"=OP,NPOA^ZPOA,ZP"OB=NPOB,

:.NP'OP"=2NMCW=2X40°=80°,:.NOP'P"=NOP"P'=(180°-80°)+2=50°,

又：/8PO=NOP"8=50°,NAPO=/4P'0=50°,二NA尸B=/APO+/BPO=100".

故选:B.

p,

馥

\、

«»/

p-18.阅读下列一段文字：已知在平面内两点尸i（xi,yi）、尸2（X2、＞2）,其两点间的距离

PlP2=(x-x)2+(y-y)2问题解决：已知A(1,5),B(7,3)

V1212

（1）试求A、8两点的距离；

（2）在x轴上找一点P（不求坐标，画出图形即可），使以+P8的长度最短，求出%+P8的最短长度.

（3）在x轴上有一点M,在）'轴上有一点N,连接4、N、M、8得四边形ANMB,若四边形ANMB的

周长最短，请找到点M、N（不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB的最小周长.

即a、8两点的距离为：2a5；

（2）如右图1所示，

/PX

图1作点A关于X轴的对称点A',VA(1,5)、B(7,3),.,.A'(1,-5),

=

.••A'B7(I-7)2+(-5-3)2=10,即以+P8的最短长度是1°；

(3)作点A关于)，轴的对称点A',作点8关于x轴的对称点8',连接A'B1于y轴交于点N,与

x轴交于点M,如图2所示，

VA(1,5)、B(7,3),(-I,5),B'(7,-3),：.AB=2yflQ,

A'B'=4(_]_?)2+(5+3)2=8加,四边形4VM8的最小周长是8加+2师.

题型六等腰三角形的性质与判定

1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

2.等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)

推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、

底边上的高重合。(简称：三线合一)

19.已知等腰三角形的两边长分别是4和6,则它的周长是()

A.14B.16C.18D.14或16

【解答】解：(1)当4是腰时，符合三角形的三边关系，周长=4+4+5=14；

(2)当6是腰时，符合三角形的三边关系，周长=4+6+6=16.故选：D.

20.如图，在△4BC中，AB=AC,NB4C=100°,AB的垂直平分线OE分别交AB、BC于点。、E,

则NBAE=(

A.80°B.60°C.50°D.40°

【解答】解：：4B=4C,ZBAC=100°,:.NB=NC=(180°-100°)+2=40°,

•.•DE是48的垂直平分线，...AEnBE,.../BAE=/8=40°,故选：D.

21.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的底角度数是

【解答】解：在等腰△A8C中，AB=AC,8。为腰AC上的高，NA8O=40°,

当8。在△ABC内部时，如图1,YBD为高,：,ZADB=90°,AZBAD=90Q-40°=50°,

'：AB^AC,：.ZABC^ZACB=1.(180°-50°)=65°；当8。在△48C外部时，如图2,

2

■:BD为高,：.ZADB=90°,;./BAD=90°-40°=50°,"：AB=AC,：.ZABC=ZACH,

而/8AO=/ABC+NAC8,AZACB=^ZBAD=25a,

2

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°.A

故答案为：65°或25°.口

22.下列说法中正确的是()/xX

①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；BC/一

图1图2

②等腰三角形两腰上的高相等；

③等腰三角形的中线也是它的高；

④线段垂直平分线上的点(不在这条线段上)与这条线段两个端点构成等腰三角形

A.③④B.①②③C.①②④D.②③④

【解答】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等是正确的.

②根据三角形面积公式即可得到等腰三角形两腰上的高相等，说法是正确；

③等腰三角形的中线不一定是它的高，说法是错误；

④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，说法正确.

故选：C.

23.如图，点C在线段A3上，AD//EB,AC=BE,AD=BC,DE与BC交于点、G,CF平■分乙DCE.

(1)求证：△8E为等腰三角形；

(2)试判断CF、QE的位置关系，并说明理由.』

fAC=BE

【解答】(1)证明：：AQ〃EB,；.NA=NB,在△AC。和中，｛/A=/B，•,•△AC。2/XBEClSAS),

IAD=BC

：.CD=EC,.♦.△CDE是等腰三角形.

(2)解：结论：CFLDE,理由如下：•.,△(?£)£是等腰三角形，CF平分/QCE

由“三线合一”可知，CF_LOE.

24.如图，在等腰Rt/XABC中，NACB=90°,D为BC的中点，过点C作CG1AD于点G,过点B作

FBLCB于点B,交CG的延长线于点尸，连接力尸交48于点E.

(1)求证：/XAC。丝△CBF；

(2)求证：AB垂直平分。F；

(3)连接4巴试判断AAC尸的形状，并说明理由.

【解答】证明：(1)'：CG±AD,.•.NAGC=90°,：.ZGCA+ZCAD=^90°,,：

NGCA+NFCB=90°,

：.4CAD=4FCB,'：FB±BC,：.ZCBF=90°,•.,RtZ\A8C是等腰三角形，ZACB=90Q,：.AC=

，ZCAD=ZFCB

BC,ZCBF^ZACB,在△&《£)和△CBF中<AC=BC，.-.AACD^ACBF

ZACB=ZCBF

(2),:△ACD9XCBF,：.CD=BF,•。为BC的中点，：.CD=BD,：.BD=BF,:△ABC是等腰

直角三角形，ZACB=90°,；.NDBE=45°,:NCBF=90°,；.NDBE=NFBE=45°,

<BD=BF

在△D8E和△F8E中，/DBE=/FBE，(5AS),：.DE=FE,NDEB=NFEB=90°,

BE=BE

：.AB垂直平分DF-.

(3)Z\4C尸是等腰三角形，理由为：连接AF,如图所示，由(1)知：△CBFgZsACD,.•.CF=AD,

由(2)知：AB垂直平分DF,：.AF^AD,VCF^AD,：.CF^AF,二△AC尸是等腰三角

25.已知：如图，ZXABC中，/ABC=45°,CC_LAB于0,BE平分/ABC,且BE_LAC于E,与C£>相

交于点F,"是8c边的中点，连接。〃与BE相交于点G.

(1)求证：BF=AC;

(2)求证：CE=LBF；

2

(3)求证：DG=AD.

【解答】证明：(1)・・・NA8C=45°,CO_LAB于D,・・・NOBC=NOC3=45°

:.DB=DC,

VBE1AC,，NAE8=NAOC=90°,NA+NABE=9()°,NA+AC£>=90°,ZDBF=ZACD,

，ZACD=ZDBF

在△AOC和△FOB中，<DC=BD，:.△ADC94FDB,：.AC=BF.

ZADC=ZBDF=90°

(2)；NABE=NCBE,NABE+NA=90°,ZCBE+ZBCA=90°,AZA=ZBCA,：.BA=BC,

VBELAC,：.AE^CE,'：AC^BF,：.CE^^BF.

2

(3)'：DB=DC,/8OC=90°,BH=CH,：.DHLBC,：.DH=BH=HC,：.NHDB=NHBD=NBCD

=45°,,:NFBD=NFBC=225°,AZDGF=ZDBG+ZBDG=61.5°,NDFG=NFBC+NBCF=

67.5°,:"DGF=NDFG,C.DG^DF,由(1)知，丛ADC马丛FDB,J.AD^DF,：.DG^=AD.

题型七等边三角形的性质与判定

1、等边三角形的性质：①三边相等；②三个角都等于60。；③30。角所对的直角边是斜边的一半。

2、等边三角形的判定：①三条边相等；②两个角等于60。；③两边相等+一个60。的角。

26.下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的

高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）

A.4