高中数学知识点大全

中学数学必备学问点大全

一、集合及常用逻辑用语

一组对象的全体：

概

元素特点：互异性、无序性、确定性。

念xwAxeA。

子集xwAnxeB<=>AoBo

xwAnxw民w3,x()史AoAuB0CA;

集关

真子集Aq民BqCnAqC

合系

〃个元素集合子集数2"。

相等

交集AB={X|XGAHXGB)c.(AB)=(C.A)(QB)

运

开集或¥£瓦c"(A3)=(QA)(C„B)

算AjB={x|xeA

c“(C“UA)=A

补集CUA={x\xGUSJCA\

常正整数有理数

集合自然数集整集数实数集

见集集

数上々口一

集付万NM或N,ZQR

集

合

概念能够推断真假的语句。

及

常原命题：若p,则q

原命题及逆命题，否命题及逆

用

否命题互逆；原命题及否命

逻命逆命题：若q,则〃

四种命题，逆命题及逆否命题互否；

辑题

题原命题及逆否命题，否命题及

用否命题：若一p,则一q

逆命题互为逆否。互为逆否的

语

命题等价。

常逆否命题：若-q,则-〃

用

充分条

逻pnq,p是q的充分条件

充件

辑右命题p对应集合A，命题夕对

要必要条

用p=q,q是p的必要条件应集合B,则p=>q等价于

条件

语等价于A=B

件充要条

poq,p,q互为充要条件

件

逻prq,p,q有一1为真即为真，p,q为假时才

或命题类比集合的并

辑

为假。

连

接p/\(7，p应均为真时才为真，p,4有一为假

且命题类比集合的交

词

即为假。

—p和P为一^真^一假两个互为对立的命

非命题类比集合的补

题。

全称量

V,含全称量词的命词叫全称命题，其否定为特称命题。

量词

词存在量

3,含存在量词的命词叫特称命题，其否定为全称命题。

词

二、复数

虚数单规定『=一1：实数可以及它进行四则运算，并且运算时原有

位的加、乘运算律仍成立。

形如a+的数叫做复数，a叫做复数的实部，人叫做

复数

概

复数的虚部，8Ho时叫做虚数，。=08工0的时叫纯虚数。

念

复数相a+bi=c+di(a,b,c,deR)u>a=c,b=d

等

复共朝复实部相等,虚部互为相反数,z=a+bi,5!1]z=a—bi

数数

加减法(a+bi)±(c+di)=(a±c)4-(Z>±d)i9(a,b,c,dGR)

运乘法(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+bd)+(be+b,c,deR)

算/7♦、/ac+bdbc-da,八，」n、

除法(a+4)+(c+M=F----7+―----丁i(cz+diw0,a,b,c,dGR)

c+der+d

几

复数z=a+bi<——刈/>复平面内的点Z（a,。）

何

意一^一向量0Z向量0Z的模叫做复数的模,|z|=-Ja2+b2

义

大多数复数问题，主要是把复数化成标准的z=a+初类型来处理，若是分数形成，

则首先要进行分母实数化（分母乘以自己的共相复数），在进行四则运算时，可以

把，看作成一个独立的字母，依据实数的四则运算律干脆进行运算，并随时把尸换

成—1O

三、算法、推理及证明

依次结

依次执行

逻构

程序框图，是一种用程

算辑条件结依据条件是否成立有不同

序框、流程线及文字说

法结构的流向

明来表示算法的图形。

构循环结依据肯定条件反应执行某

构些步骤

基

本

输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。

语

句

归纳推由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推

合情推理理。

推理类比推由一类对象具有的特征推断及之相像对象的某种

理理特征的推理。

演绎推依据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性倒是为真

推理的推理。

理数干脆证综合法由已知导向结论的证明方法

及学明分析法由结论反推已知的证明方法

证证间接证

主要是反证法、反设结论、导出冲突的证明方法

明明明

数数学归纳法是以自然数的归纳公理估秋它的理论基础的。因此，数学

学归纳法的适用范围仅限于自然数有关的命题，分两步：首先证明当〃取

归

第一个值%（例如%=1）时结论正确；然后假设当〃=无（4时

纳

法结论正确，证明当〃=2+1时结论也正确。

四、平面对量

既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的

向量

模。

0向

长度为0,方向随意的向量。【0及任一非零向共线】

X

重

平行

平要方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

向量

面概

对念起点放在一点的两向量所成的角，范围是［0,句，a/的夹角记为

向量

量

夹角

<a,b>o

投影Va,A>=e，Wcos。叫做匕在〃方向上的投影。【留意：投影是数量】。

重基本

q,/不共线，存在唯一的实数对（4M,使Q=4q+//&2。若e1，％为MV轴

要定理

法

上的单位正交向量，（4〃）就是向量a的坐标。

则

定一般表示坐标表示

理共线（占，%）=/1（%2，%）0%，％=々，%

a,b（b*眯线=存在唯一实数；1）,a=2b

条件

垂直

=a-b=OXX+X2%=0

条件

a+6的平行四边形法则、三角形

法则a+b=(x+x,y+y)

加法法则l2l2

运算及加法运算有同样的坐标

算律Q+力=石+Q,(Q+万)+C=(/?+C)

表示。

法则a-b的三角形法则°a-b=(x-x,y-y)

减法A2t2

运算

分解MN=ON-OM.MN=(xN-xM,yN-yM')

各/La为向量，2>0与a方向相同。

种概念Aa=(2x,2y)o

数乘/IVO与a方向相反，,。

运

运算

算=(")〃,(2+4)。=4a+Ra,及数乘运算有同样的坐标

算律

A(a+b)=Aa+Ab表示。

6f|-|/?|cOS<67,&>

概念0。=a-b=x^+y^o

数量

忖=次+y2

积运

主要

算々.4=卜z|*?|«Z?|<pz||/?|o

性质门/2+X%<JX+4.+£

及上面的数量积、数乘等

a-b=biz(a+O)c=Qc+〃c

算律具有同样的坐标表示方

(4a)%=a\Ab)=

法。

在公钻。中，若点。是边8C上的点，J-BD=/l£>Ca^-l）,

线段定比分点的

向量表达式则向量

,当4=1时，变为中线向量。

平面内三点4、B、C共线的充要条件是：存在实数九〃，

三点共线定理

使0C=2O4+〃0B,其中;1+〃=1,。为平面内随意一点。

⑴G是△ABC的重心oGA+GB+GC=0(其中

a,6,c是△ABC3J边)，且SDGAB—S^c=S&GAC=3sAyJBC，重心

到顶点的距离及重心到对边中点的距离之比为2：1o0

为A/WC所在平面内任一点，OG='(Q4+O8+OC),G为

3

重心。

(2)若。)勺AABC所在平面内一点，则

I-2.2.2

明=OB=0C=0A=OB=OC=

(OA+OB)-AB=(OB+OC)-BC=(OC+OA)-C4。。为△ABC

的外心。

(3)若…9AABC所在平面内的一点，则

HAHB=HBHC'=HCHAo”是AABC的重心。

(4)若点/为ZkABC所在平面内一点，则

/(\/、

,4ABAC小BCBAC4CB

向量及三角形的”〔网回[叫I网厂li^i[<用厂

四心

a，LA+bIB+C,lC：=0o是AABC的内心。

(5)AABC白勺夕卜心0,垂心H,3巨心G,则

OH=OA+OB+OC,OG=：GH

(6)。为BC内■点，mOA+nOB+pC)C=0

SAOBC，S&0,4c=+n+p)

(7)角平分2戈定理：三角形一个角的平，分线分其对边

所成的两条线段及这个角两边对应成比例o逆定理：假

如三角形一ii一上的某个点分这条边所成f向两条线段及

这条边的对角的两边对应成比例，那么该点及对角顶点

的连线是三角形的一条角平分线。

【变式】

(____

若存在常数4满意标=砺+彳萼+丝(几关0),则点

IM£

G可能通过△MC的内心。

若点。是AABC的底边BC上的中点，满意

GD-GB=GD1GC,则点G可能通过△ABC的外心。

若存在常数是心满意

/__一\

A3xc

~MG=~MA+A(/IwO),则点G可能通

,可•sinBAC•sinC

7

过△ABC的3真重心。

若存在常数A,满意

(__

ABAC

~MG=~MA+A(XHO),贝ij点G可能通

JA司•cos3|Xc•cosC

过A/ABC的-专心。

五、函数、基本初等函数I的图像及性质

本质：定义域内任何一个自变量对应唯的函数值。两函数相等只要

概念

定义域或对应法则相同即可。

表示方解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各

法段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

(1)对定义域内一个区间/,X|，Zw/,X|，Z

/(x)是增函数o/G)V/(z)

“X)是减函数=/(%)〈/(王)

函

(2)/(无)是增(减)函数

数偶函数在定义

概oV/孙〃玉)->々)〉0(〈0)0域关于坐标点

单调性

念%-x2对称的区间上

及具有相反的单

%*x2,(x,-x2)[/(xl)-/(x2)]>0((0)

其调性、奇偶数

性质

表在定义域关于

^/(%)>()(<())的恒成立。

示坐标原点圣水

称的区间上具

(3)Vx产

X]-x2有相同的单调

性。

=>/(x)之恒成立。

对定义域内随意X,/(X)是偶函数

奇偶性o/(x)=〃f),/(%)是奇函数

<=>/(-%)>-/(%),偶函数图象关于y轴对

称，奇函数图象关于坐标原点对称。

周期性对定义域内随意X,存在非零常数TJ(x+T)=/(x)

(1)若/(x+a)=〃x+b),则/(x)是周期函数，b-a是它

的一个周期(2)对于非零常数T,函数y=/(x)满意，则

函数y=/(x)的一个周期为2T.(3)若。则函数y=/(x)的

一个周期为2T。

两个函数的图象对称性

(1)y=/(x)及y=—/(x)关于x轴对称。

换种说法：y=/(%)及y=g(x)若满意/(x)=-^(x),即它们

关于＞=0对称。

(2)丁=/(尢)及y=(-x)关于y轴对称。

换种说法：y=/(x)及y=f{-x)若满意/(x)=^(-x),即它们

关于光=0对称。

=

(3)丁=7(工)及y/(2tz-x)关于直线x=Q对称。

换种说法：y=/(x)及y=g(x)若满意/(x)=g(2a-x),即它

们关于％=4对称。

(4)V=/(力及y=2tz-/(x)关于直线y=〃对称。

换种说法：y=/(x)及y=g(x)若满意/(x)+g(2a-x)=2Z?,

即它们关于点y=a对称。

(5)y=〃x)及y=»_/(2ar)关于点(〃力)对称。换种说

法：)'=〃力及产g(6若满意/⑴+且⑶-6=2。即他们关

于点对称

(6)y=/(Q-x)及y=(工-。)关于直线对称。

单个函数的对称性

(1)函数y=/(x)满意/(〃+%)=/("_%)时,函数y=，(x)的

图象关于直线对称。

(2)函数y=/(%)满意/(<7+x)4-/(Z?-x)=c时，函数

y=/(%)的图象关于点对称。

(3)函数y=/(a+x)的图象及y=-的图象关于直线

对称。

对称性及周期性的关系

(1)函数y=/(x)满意

/(a+x)=/(a-x)J'3+X)=/'0-X)(Q0加,则函数y=/(%)是

周期函数，则2b-2a是一个周期。

(2)函数y=/(x)满意

f(a+x)+1f(。一同=<:不V。+力+/9一力=€但¥。)时，函数

y=/(%)是周期函数。(函数y=/(x)图象有两个对称中心

时，函数y=/'(尤)是周期函数，且对称中心距离两倍，是函

数的一个周期)，函数y=/(x)是以2〃-2々为周期的函数。

(3)函数y=/(X)有-一个对称中心(4,C)和'一个对称轴

时，该函数也是周期函数，且一^个周期是

4(〃一々)o

(4)若定义R上的函数“X)的图象关于直线X=4