2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版五十四　椭圆的定义及标准方程含答案

3版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版五十四椭圆的定义及标准方程五十四椭圆的定义及标准方程(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)(2024·许昌模拟)已知F1,F2为椭圆x29+y216=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|F2A|+|F2B|=10,则|A.8 B.6 C.4 D.2【解析】选B.由x29+y216=1,即y2根据椭圆的定义|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|=4a=16,所以|AB|=|F1A|+|F1B|=6.2.(5分)与椭圆x225+y29=1有相同焦点,且过点(3,A.y236+x220=1 B.C.y220+x218=1 D.【解析】选B.由题意可设椭圆的方程为x225+λ+y29+λ=1(λ>-9).又所求椭圆过点(3,15),所以将(3,15)代入椭圆方程,得925+λ+159+λ=1,解得λ3.(5分)已知(0,-4)是椭圆3kx2+ky2=1的一个焦点,则实数k=()A.6 B.16 C.24 D.【解析】选D.椭圆3kx2+ky2=1化为:x213k+y21k=1,显然k>0,有1k>13k,而椭圆的一个焦点为(0,-4),因此【加练备选】已知曲线C:x2k-5+y23-k=-1,则“4≤A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.将曲线C的方程化为x25-k+y2k-3=1,若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则k-3>5-k>0,即4<k<5,而“4≤k<5”不能推出“4<k<5”;“4<k<5”可以推出“4≤k4.(5分)(2024·南通模拟)已知圆C的方程为x2+y2=16,直线l为圆C的切线,记A(-2,0),B(2,0)两点到直线l的距离分别为d1,d2,动点P满足|PA|=d1,|PB|=d2,则动点P的轨迹方程为()A.x2+y2=4 B.x216+C.x216-y212=1 D.【解析】选B.如图,分别过点A,O,B作直线l的垂线,垂足分别为A1,O1,B1,则AA1∥OO1∥BB1,d1=|AA1|,d2=|BB1|,切点为O1,因为A(-2,0),B(2,0),所以O是AB的中点,所以OO1是梯形ABB1A1的中位线,所以|OO1|=|AA1又因为圆C的方程为x2+y2=16,r=4,所以|OO1|=r=4,所以d1+d2=8,即|PA|+|PB|=8>|AB|=4,所以动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为8的椭圆,设椭圆的方程为x2a2+y2b则2a=8,c=2,所以a=4,a2=16,b2=a2-c2=12,所以动点P的轨迹方程为x216+y5.(5分)(多选题)(2024·天水模拟)设椭圆C:x225+y29=1的左右焦点为F1,F2,P是A.|PF1|+|PF2|=10B.P到F1最小的距离是2C.△PF1F2面积的最大值为6D.P到F1最大的距离是9【解析】选AD.由椭圆方程可得:a=5,b=3,则c=a2对A:根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,A正确;对B:根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时,P到F1的距离最小,最小值为a-c=1,B错误;对C:根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点或下顶点时,△PF1F2的面积最大,最大值为12×2c×b对D:根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时,P到F1的距离最大,最大值为a+c=9,D正确.6.(5分)(多选题)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为8,离心率为34,则满足条件的椭圆的标准方程有(A.x216+y27=1 B.C.x216+y225=1 D.【解析】选AB.因为2a=8,e=ca=3所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是x216+y27=1或x7.(5分)(2024·济南模拟)已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离之和为10,焦距为6,则此椭圆的标准方程为y225+x【解析】依题意,设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>所以椭圆方程为y225+x8.(5分)△ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,-6),边AB,AC所在直线的斜率的乘积是-23,则顶点A的轨迹方程是x254+y2【解析】设顶点A的坐标为(x,y),由题意得y-6x·y得x254+又A,B,C是△ABC的三个顶点,所以A,B,C三点不共线,因此y≠±6,所以顶点A的轨迹方程为x254+y2369.(10分)动点M与定点F1(3,0)的距离和M到定直线l:x=253的距离的比是常数3(1)求动点M的轨迹方程;(2)设F2(-3,0),点P为M轨迹上一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.【解析】(1)设M(x,y),d是点M到直线l的距离,则|MF1|d=3化简得16x2+25y2=400,所以动点M的轨迹方程为x225+y(2)由(1)知,动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,所以|PF1|+|PF2|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||所以(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=|F整理得|PF1||PF2|=643所以S△PF1F2=12|PF1||PF2|sin60°=1【能力提升练】10.(5分)直线mx+y=0(m∈R)与椭圆x216+y225=1交于A,B两点,则A,A.10 B.16 C.20 D.不能确定【解析】选C.设椭圆两个焦点为F1,F2,由题可得a=5,则A,B与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为|AF1|+|F1B|+|BF2|+|F2A|=4a=20.11.(5分)若点M(x,y)满足方程x2+(y-2)A.x236+y232=1 B.C.y236+x232=1 D.【解析】选C.因为动点M(x,y)满足关系式x2+(所以该等式表示点M(x,y)到两个定点F1(0,-2),F2(0,2)的距离的和为12,而|F1F2|=4<12,即动点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且2a=12,即a=6,又c=2,b2=a2-c2=36-4=32,所以动点M的轨迹方程为y236+x12.(5分)(多选题)已知F1,F2为椭圆x24+y23=1的左、右焦点,A.|MF2|的最大值大于3B.|MF1|·|MF2|的最大值为4C.∠F1MF2的最大值为60°D.△MF1F2的面积的最大值为3【解析】选BC.由椭圆的方程得a2=4,b2=3,所以c2=1,所以F1(-1,0),F2(1,0).对于A,|MF2|max=a+c=3,故A错误.对于B,由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=4,所以|MF1|·|MF2|≤(|MF1|+|MF2|对于C,当点M为椭圆与y轴的交点时,∠F1MF2取得最大值,由M(0,3)得tan∠F1M所以∠F1MF22=30°,∠对于D,当点M为椭圆与y轴的交点时,△MF1F2的面积最大,最大值为bc=3,故D错误.13.(5分)(2024·北京模拟)已知F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2(O为坐标原点)是面积为3【解析】不妨设点P位于第一象限,且F2(c,0),因为△POF2是面积为3的正三角形,可得34c2=3,解得c所以P(1,3),F1(-2,0),F2(2,0),由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=(1+2)2+(3-0)2+(1-2)2+(3所以椭圆的标准方程为x24+23+14.(10分)求满足下列各条件的椭圆的标准方程:(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0);(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为3;(3)经过点P(-23,1),Q(3,-2)两点.【解析】(1)若焦点在x轴上,设方程为x2a2+y2b2=1(所以9a2=1,解得因为2a=3×2b,所以b=1,所以方程为x29+y若焦点在y轴上,设方程为x2b2+y2a因为椭圆过点A(3,0),所以9b2=1,解得又2a=3×2b,所以a=9,所以方程为x29+y综上所述,椭圆方程为x29+y2=1或x2(2)由已知,有a=2ca所以b2=a2-c2=9,若焦点在y轴上,则x29+若焦点在x轴上,则x212+所以所求椭圆方程为x212+y29=1或(3)设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),则12m+n则所求椭圆方程为x215+y15.(10分)(2024·南充模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=x-2交椭圆C于A,B两点,O是坐标原点,求△AOB的面积S.【解析】(1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(把点(6,2)的坐标代入方程x2a2得6a2+24=1,解得a=23.所以椭圆C的方程为x2(2)联立y=x-2,x212+解得x=0,y=-2或x=3,y=1,不妨设A(0,-2),【素养创新练】16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知△HMN的周长是18,M,N是x轴上关于原点对称的两点,若|MN|=6,动点G满足GM+GN+GH=0.则动点G的轨迹方程为x24+y23【解析】由GM+GN+GH=0,知点G是△HMN的重心,取点F1(-1,0),F2(1,0),不妨设M(-3,0),N(3,0),则GF1∥HM,GF2∥HN,且|GF1|+|GF2|=13(|HM|+|HN|)=13(18-6)=4>|F1F2|=2,所以点G是以F1,F2为焦点的椭圆(除去长轴端点),设椭圆C的方程是x2a2+y则2a=4,2c=2,于是b2=a2-c2=3,即x24+从而,点G的轨迹方程为:x24+y23五十五椭圆的几何性质(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)(2024·大连模拟)椭圆x225+y29=1与椭圆x2A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等【解析】选D.椭圆x225+y2长轴长为10,短轴长为6,焦距为8,离心率为45椭圆x222+y2长轴长为222,短轴长为26,焦距为8,离心率为222112.(5分)(2022·全国甲卷)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为A.32 B.22 C.12 【解析】选A.已知A(-a,0),设P(x0,y0),则Q(-x0,y0),kAP=y0x0+a,故kAP·kAQ=y0x0+a·y0因为x02a2+y02②代入①整理得:b2a2e=ca=1-b3.(5分)(2022·全国甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若BA.x218+y216=1 B.C.x23+y22=1 D.x【解析】选B.依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(-a,-b),BA2=(BA1·BA2=-a2+b2=-(a2-b2)=-c又C的离心率e=ca=1a=13,所以a=3,b2=a2-c2=8,即C的方程为x29+y4.(5分)若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则OP·A.2 B.3 C.6 D.8【解析】选C.由题意,O(0,0),F(-1,0),设P(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以OP·FP=x(x+1)+y2=x2+y2+x.又x24+y23=1,所以y2=3-所以OP·FP=14x2+x+3=14(x+2)2因为-2≤x≤2,所以当x=2时,OP·FP有最大值6.5.(5分)(多选题)已知P是椭圆C:x24+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=14A.椭圆C的焦距为3B.椭圆C的离心率为3C.圆D在椭圆C的内部D.|PQ|的最小值为6【解析】选BC.因为椭圆方程为:x24+y所以a2=4,b2=1,c2=a2-b2=3,e=ca=32,焦距为2由x24+y2=1因为Δ=82-4×3×7=-20<0,所以椭圆与圆无公共点,又圆心(-1,0)在椭圆内部,所以圆在椭圆内部,故C正确;设P(x,y)(-2≤x≤2),则|PD|=(x+1)2+当x=2-2×34=-43时,|PD|取得最小值23=63,则|6.(5分)(多选题)(2024·曲靖模拟)已知椭圆Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为23,点P(1,1)在椭圆Γ外,点A.椭圆Γ的离心率的取值范围是(22B.当椭圆Γ的离心率为32时,|QF1|的取值范围是[3-32,32C.存在点Q使∠F2QF1=90°D.1|QF【解析】选ABC.由题意得a=3,又点P(1,1)在椭圆Γ外,则13+1b2>1,解得0<b2所以椭圆Γ的离心率e=ca=3-b23>2当e=32时,c=3所以|QF1|的取值范围是[a-c,a+c],即[3-32,32+设椭圆的上顶点为A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),由于AF1·AF2=b2-c2=2b2-a2=2b2-3<0,所以存在点Q使得QF1·QF2=0,故C正确;因为点Q在椭圆Γ上,所以|QF1|+|QF2|=23,则1|QF1|+1|QF2|=(|QF1|+|+2|QF2||当且仅当|QF1|=|QF2|=3时,等号成立,所以1|QF1|+7.(5分)(2024·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程:x29+y①中心为坐标原点;②焦点在坐标轴上;③离心率为13【解析】只要椭圆方程形如x29m+y28m=1(m>0)或y8.(5分)(2024·大同模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,且四边形PF1QF2的面积为49【解析】因为点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF1QF2为矩形,即PF1⊥PF2,所以S四边形PF1QF2=2S由椭圆定义与勾股定理知:|P所以|PF1|·|PF2|=2b2,所以49a2=2b2=2(a2-c2),所以ca=73,即C9.(10分)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.【解析】(1)连接PF1(图略),由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的离心率为e=ca=3-1(2)由题意可知,满足条件的点P(x,y)存在,当且仅当12|y|·2cyx+c·yx-即c|y|=16,①x2+y2=c2,②x2a2+由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,又由①知y2=1由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42.当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.故b=4,a的取值范围为[42,+∞).【能力提升练】10.(5分)(2024·资阳模拟)如图,已知定圆A的半径为4,B是圆A内一个定点,且|AB|=2,P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,当点P在圆上运动时,则点Q的轨迹是()A.面积为π的圆B.面积为2π的圆C.离心率为14D.离心率为12【解析】选D.连接BQ,AB,因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q,所以|BQ|=|PQ|,因为|AQ|+|PQ|=|AP|=4>|AB|=2,所以|AQ|+|BQ|=|AP|=4>|AB|=2,所以点Q的轨迹是以A,B为焦点,4为长轴长,焦距为2的椭圆,所以椭圆的离心率为e=ca=2c2a=11.(5分)(多选题)已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,B为椭圆短轴的一个端点,BFA.12 B.36 C.33【解析】选ABC.由椭圆的定义可知:|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,则sin∠OBF1=ca=e所以cos∠F1BF2=1-2sin2∠OBF1=1-2e2,因为BF1·BF2≥14F1F22,即(1-2e2)a2≥c2,所以1-2e212.(5分)(多选题)“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器,是中国探月工程的收官之战,实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示,月球探测器飞到月球附近时,首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行,然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行,最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则以下说法正确的是()A.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-rB.椭圆轨道Ⅱ的短轴长为RrC.若r不变,则椭圆轨道Ⅱ的离心率随R的增大而增大D.若R不变,则椭圆轨道Ⅱ的离心率随r的增大而增大【解析】选AC.在椭圆中,由题图可知PQ=2a=R+ra-c=QF=r,解得a=R+r2,c=R-e=ca=R-rR+r=1-2rR+e=ca=R-rR+函数f(r)=-1+2RR13.(5分)(2024·武汉模拟)若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点M,使得90°(F1,F2分别为椭圆的左、右焦点),则椭圆的离心率e的取值范围为[22,1)【解析】方法一:设点M的坐标是(x0,y0),则|x0|<a.因为F1(-c,0),F2(c,0),所以MF1=(-c-x0,-y0),MF2=(c-x0,-因为∠F1MF2=90°,所以MF1·MF2=-(c+x0)(c-x0)+y02=0,即x又点M在椭圆上,即y02=b2-所以x02+y02=b2+c2a2x即c2∈[b2,a2),所以c2≥b2=a2-c2,即c2a2又0<e<1,所以22≤e故椭圆的离心率e的取值范围是[22,1)方法二:设点M的坐标是(x0,y0),由方法一可得x02a2x02=因为0≤x02<a2,所以由②得c2-b2<c2,此式恒成立.由①得c2≥b2,即c2≥a2-c2,所以a2≤2c2,则e2=c2a2≥12.又0<e<1,所以e∈综上所述,椭圆的离心率e的取值范围是[22,1)方法三:设椭圆的一个短轴端点为P,因为椭圆上存在一点M,使∠F1MF2=90°,所以∠F1PF2≥90°,则c≥b,(∠F1MF2最大时,M为短轴端点),所以c2≥b2=a2-c2,即c2a2又0<e<1,所以22≤e故椭圆的离心率e的取值范围为[22,1)【加练备选】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2.点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,△PF2Q的面积S≥18|PQ|2,则C【解析】连接QF1,PF1,由题意得,|OP|=|OQ|,|OF1|=|OF2|,又|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF2QF1为矩形,故S△PF所以12|PF1|·|PF2|≥18(2c)2=12故|PF1|·|PF2|≥c2,又|PF1|+|PF2|=2a,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|