2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版四十三 空间点、直线、平面之间的位置关系含答案

3版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版四十三空间点、直线、平面之间的位置关系四十三空间点、直线、平面之间的位置关系(时间:45分钟分值:85分)【基础落实练】1.(5分)已知两条不同的直线a,b及两个不同的平面α,β,下列说法正确的是 ()A.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面D.若α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交【解析】选C.若α∥β,a⊂α,b⊂β,则直线a,b没有交点,故a与b平行或异面,故A,B错误,C正确;若α∩β=b,a⊂α,当a∥b时,a与β平行,故D错误.2.(5分)(2023·南京模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是 ()A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线【解析】选A.根据题意,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,取BC的中点P,连接C1P,OP,由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1=4a2+a2=5a,故ON=BM,且直线3.(5分)如图,在三棱锥D-ABC中,AC⊥BD,一平面截三棱锥D-ABC所得截面为平行四边形EFGH.已知EF=2,EH=5,则异面直线EG和AC所成角的正弦值是 ()A.147 B.77 C.357 【解析】选A.由题意知EH∥FG,又FG⊂平面ADC,EH⊄平面ADC,所以EH∥平面ACD,所以EH∥AC,同理HG∥BD,因为AC⊥BD,所以EH⊥HG,记EG与AC所成角∠GEH为θ,则sinθ=HGEG=HGHG2+【加练备选】如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为BC的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 ()A.33 B.C.306 D.【解析】选D.由题意可知AD∥BC,所以∠EAD即为异面直线AE与BC所成的角,设圆柱上、下底面圆心为O,O1,连接OE,OA,ED,不妨设正方形ABCD的边长为2,则AO=5,从而AE=ED=6,则cos∠EAD=16=66,即AE与BC所成角的余弦值为4.(5分)如图是一个正方体的展开图,则在该正方体中 ()A.直线AB与直线CD平行B.直线AB与直线CD相交C.直线AB与直线CD异面垂直D.直线AB与直线CD异面且所成的角为60°【解析】选D.还原成几何体如图所示连接AH,BH,则CD∥AH,∠BAH为AB与CD所成的角,显然AB,CD异面且所成的角为60°.5.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1,若AB=BC=BB1,AB⊥BC,D是棱CC1的中点,则直线AC与直线B1D所成角的正切值为()A.33 B.23 C.62 【解析】选C.若G为BB1的中点,连接CG,AG,又D是棱CC1的中点,所以在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CD∥B1G且CD=B1G,即CDB1G为平行四边形,所以CG∥B1D,则直线AC与直线B1D所成角即为∠ACG,若AB=BC=BB1=2,则CG=AG=5,AC=22,所以cos∠ACG=AC2+GC所以tan∠ACG=626.(5分)(多选题)(2023·杭州模拟)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是 ()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,O,A,M四点共面D.D1,D,O,M四点共面【解析】选ABC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M,所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C,又A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1,因为O为DB的中点,BD⊂平面C1BD,所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1,又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1,所以C1,M,O三点共线,故选项A正确;在选项B中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,C四点共面,故B正确;在选项C中,因为C1,M,O三点共线,所以C1,M,O,A四点共面,故C正确;在选项D中,因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误.7.(5分)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1=6,D为B1B的中点,则A1B与C1D所成角的余弦值为________.

【解析】如图,取A1B1的中点E,连接DE,EC1,在△A1BB1中,D为B1B的中点,所以DE为中位线,所以DE∥A1B,所以∠EDC1或其补角为A1B与C1D所成的角,在△EDC1中,ED=32+1DC1=32+22=13,EC1=所以cos∠EDC1=ED2+DC所以A1B与C1D所成角的余弦值为13013答案:1308.(5分)如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=2∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________.

【解析】取A1C1的中点E,连接B1E,ED,AE,在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求,设AB=1,则A1A=2,AB1=3,B1E=32,AE=32,故∠AB1E答案:60°9.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2(1)求该圆锥的体积;【解析】(1)由勾股定理可知:PO=PA2-OA所以圆锥的体积为13·π·12·3=39.(10分)如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为O,线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,取劣弧BC上一点E,使∠COE=π3,连接PE.已知OA=1,PA=2(2)求异面直线PE,BD所成角的余弦值.【解析】(2)连接BD,过E作EF∥BD,连接PF,所以∠PEF是异面直线PE,BD所成的角(或其补角),如图所示,因为线段AB和线段CD都是底面圆的直径,且AB⊥CD,所以∠BFE=∠DBO=π4,即∠OFE=3π而∠COE=π3,所以∠FOE=π因此∠OEF=π12在△OEF中,由正弦定理可知:OFsinπ12=OEsin3π4=EF⇒EF=22,OF=2(22×32-22×PF=PO2+OF由余弦定理可知:cos∠PEF=PE2+EF【误区警示】空间图形中作出的角无法直观确定是否是锐角,也可能是钝角,书写步骤时应注明,不然容易混淆.【能力提升练】10.(5分)在棱长均相等的四面体OABC中,M,N分别是棱OA,BC的中点,则异面直线MN与AB所成角的大小为 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选B.取OB的中点P,AB的中点Q,连接MP,PN,CQ,OQ,由中位线定理可知MP∥AB,则∠PMN(或补角)为异面直线MN与AB所成角,MP∥AB,PN∥OC,OQ⊥AB,CQ⊥AB,且CQ∩OQ=Q,所以AB⊥平面OCQ,则AB⊥OC,所以PM⊥PN,四面体OABC棱长均相等,则PM=PN,所以△MPN为等腰直角三角形,所以∠PMN=45°.11.(5分)三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为 ()A.1 B.13 C.33 D【解析】选D.如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDC-A1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设A1B=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=3a,A1D1=2a,所以sin∠A1BD1=6312.(5分)(2023·沈阳模拟)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD-EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2,AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角的余弦值为________.

【解析】如图,把此六面体补成正方体,连接AH,AC,由题可知AH∥BG,所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角,在△AHC中,AH=32CH=12+42+42则cos∠AHC=AH2+CH答案:1313.(5分)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910,则AA1【解析】连接BC1,A1C1,因为AD1∥BC1,所以异面直线A1B与AD1所成角为∠A1BC1或其补角,令AA1=t(t>0),则A1B=BC1=t2+1,A1C1=|cos∠A1BC1|=|(t2+1)2+所以t2=9,t=3,即AA1=3,所以AA1答案:314.(10分)如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(1)求证AE与PB是异面直线;【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α,因为A∈α,B∈α,E∈α,所以平面α即为平面ABE,所以P∈平面ABE,这与P∉平面ABE矛盾,所以AE与PB是异面直线.14.(10分)如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点.(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值.【解析】(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角.因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,PA⊥平面ABC,所以AF=3,AE=2,EF=2,cos∠AEF=AE2+EF故异面直线AE与PB所成角的余弦值为14【素养创新练】15.(5分)“曲池”是《九章算术》记载的一种几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,AA1⊥平面ABCD,AA1=4,底面扇环所对的圆心角为π2,AD的长度是BC长度的2倍,CD=1,则异面直线A1D1与BC1所成角的正弦值为 (A.23 B.13 C.223 【解析】选C.根据题意,连接BC,AD,设AB与CD延长后交于点O(图略),设AD所在圆的半径为R,BC所在圆的半径为r,由于AD的长度是BC长度的2倍,则R=2r,则B,C分别是边OA和OD的中点,则有BC∥AD,又由AD∥A1D1,则有BC∥A1D1,又由AA1⊥平面ABCD,则CC1⊥平面ABCD,则有CC1⊥BC,△CBC1为直角三角形,故异面直线A1D1与BC1所成角就是∠CBC1,又由CD=1,则OC=OB=1,故BC=2,又CC1=4,则BC1=2+16=32,则sin∠CBC1=CC1BC1四十四空间直线、平面的平行(时间:45分钟分值:95分)【基础落实练】1.(5分)平面α与平面β平行的充分条件可以是 ()A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a∥α,a∥β,且a⊄α,a⊄βC.α内的任何一条直线都与β平行D.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α【解析】选C.C选项是面面平行的定义,A,B,D选项中,平面α与平面β相交时都有可能满足.2.(5分)在如图所示的正方体或正三棱柱中,M,N,Q分别是所在棱的中点,则满足直线BM与平面CNQ平行的是 ()【解析】选B.A选项中,由正方体的性质可知BM∥B1N,所以直线BM与平面CNQ不平行,故错误;B选项中,因为NQ∥AC,故平面CNQ即为平面ACNQ,而BM∥AQ,BM⊄平面CNQ,AQ⊂平面CNQ,所以直线BM与平面CNQ平行,故正确;C选项中,因为NQ∥BC,故平面CNQ即为平面BCNQ,则直线BM与平面CNQ相交于点B,故错误;D选项中,假设直线BM与平面CNQ平行,过点M作CQ的平行线交A1B1于点D,则点D是在A1B1上靠近点B1的四等分点,由MD∥CQ,MD⊄平面CNQ,CQ⊂平面CNQ,可得MD∥平面CNQ,又BM与平面CNQ平行,MD∩BM=M,MD,BM⊂平面BDM,则平面BDM∥平面CNQ,而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别交于BD,QN,则BD与QN平行,显然BD与QN不平行,假设错误,所以直线BM与平面CNQ不平行,故错误.3.(5分)在三棱锥D-ABC中,M,N分别是△ACD和△BCD的重心,以下与直线MN平行的是 ()A.直线CD B.平面ABDC.平面ACD D.平面BCD【解析】选B.如图所示,取CD的中点为E,连接AE,BE,由M,N分别是△ACD和△BCD的重心,可得AMME=21,BNNE则EMEA=13,ENEB=13,即EMEA所以MN∥AB,又由图知CD不平行于AB,所以A错误;由MN∥AB,且MN⊄平面ABD,AB⊂平面ABD,所以MN∥平面ABD,所以B正确;因为M∈平面ACD,N∉平面ACD,所以MN与平面ACD不平行,所以C错误;因为N∈平面BCD,M∉平面BCD,所以MN与平面BCD不平行,所以D错误.4.(5分)已知a,b,c是不全平行的直线,α,β,γ是不同的平面,则下列能够得到α∥β的是 ()A.α⊥γ,β⊥γB.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥βC.a⊂α,b⊂α,c⊂α,a∥β,b∥β,c∥βD.b∥α,b∥β【解析】选C.对于A,由垂直于同一平面的两个平面可以平行或相交可知,错误;对于B,由平面与平面平行的判定定理可知,若a∥b,则结论不成立,错误;对于C,因为a,b,c是不全平行的共面直线,即至少两条相交,所以由a⊂α,b⊂α,c⊂α,a∥β,b∥β,c∥β能够得到α∥β成立,正确;对于D,由平行于同一直线的两个平面平行或相交可知,错误.5.(5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,则D为 ()A.棱AB的中点 B.棱AA1的中点C.棱BC的中点 D.棱A1B1的中点【解析】选D.对于A:当D为棱AB的中点时,A1C与AC1相交,故A1C与平面BC1D不平行,故A错误;对于B:当D为棱AA1的中点时,A1C与DC1相交,故A1C与平面BC1D不平行,故B错误;对于C:当D为棱BC的中点时,A1C与平面BC1D不平行,故C错误;对于D:如图,当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,连接CE,A1E,由A1D=BE,A1D∥BE,可得四边形BEA1D为平行四边形,即有A1E∥BD,由A1E⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1,所以A1E∥平面BDC1,同理可得CE∥平面BDC1,由CE∩A1E=E,可得平面A1CE∥平面BC1D,由于A1C⊂平面A1CE,则A1C∥平面BC1D.6.(5分)(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1EEB1=BFFBA.BD1∥GHB.BD与EF异面C.EH∥平面ABCDD.平面EFGH∥平面A1BCD1【解析】选BCD.如图所示,连接A1B,D1C,BD,BD1,根据题意,由A1EEB1=BFFB1=2可得,EF∥A1B,且同理可得GH∥CD1,FG∥BC,且GHCD1由GH∥CD1,而CD1∩BD1=D1,所以BD1不可能平行于GH,即A错误;易知BD与EF不平行,且不相交,由异面直线定义可知,BD与EF异面,即B正确;在长方体ABCD-A1B1C1D1中A1B∥CD1,A1B=CD1,所以EF∥GH,EF=GH,即四边形EFGH为平行四边形;所以EH∥FG,又BC∥FG,所以EH∥BC;EH⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以EH∥平面ABCD,即C正确;由EF∥A1B,EF⊄平面A1BCD1,A1B⊂平面A1BCD1,所以EF∥平面A1BCD1;又BC∥FG,FG⊄平面A1BCD1,BC⊂平面A1BCD1,所以FG∥平面A1BCD1;又EF∩FG=F,且FG,EF⊂平面EFGH,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,即D正确.7.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是它们所在棱的中点,则满足A1F∥平面BD1E的图形的序号为________.

【解析】①中,平移A1F至D1F',可知D1F'与平面BD1E有一个交点D1,则A1F与平面BD1E不平行;②中,由于A1F∥D1E,而A1F⊄平面BD1E,D1E⊂平面BD1E,故A1F∥平面BD1E;③中,平移A1F至D1F',可知D1F'与平面BD1E有一个交点D1,则A1F与平面BD1E不平行.答案:②8.(5分)如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交底面ABCD于PQ,Q在CD上,则PQ=________【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,MN⊂平面A1B1C1D1,所以MN∥平面ABCD,又PQ=平面PMNQ∩平面ABCD,所以MN∥PQ.因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC,又AP=a3,四棱柱ABCD-A1B1C1D1所以CQ=a3,从而DP=DQ=2a所以PQ=DQ2+DP2答案:229.(10分)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(1)BE∥平面DMF;【证明】(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,因为四边形ADEF为平行四边形,所以O为AE的中点,又M为AB的中点,所以MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又因为BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.9.(10分)如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(2)平面BDE∥平面MNG.【证明】(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的对边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.因为M为AB的中点,N为AD的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.【能力提升练】10.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AM=2MA1,BN=2NB1,过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC,AC于点E,F,则 ()A.MF∥EBB.A1B1∥NEC.四边形MNEF为平行四边形D.四边形MNEF为梯形【解析】选D.由于B,E,F三点共面,F∈平面BEF,M∉平面BEF,故MF,EB为异面直线,故A错误;由于B1,N,E三点共面,B1∈平面B1NE,A1∉平面B1NE,故A1B1,NE为异面直线,故B错误;因为在平行四边形AA1B1B中,AM=2MA1,BN=2NB1,所以AM∥BN,AM=BN,故四边形AMNB为平行四边形,所以MN∥AB,MN=AB.又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,所以MN∥EF,所以EF∥AB,显然在△ABC中,EF≠AB,所以EF≠MN,所以四边形MNEF为梯形,故C错误,D正确.【加练备选】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱A1C1,BC的中点,则下列结论中不正确的是 ()A.CC1∥平面A1ABB1B.AF∥平面A1B1C1C.EF∥平面A1ABB1D.AE∥平面B1BCC1【解析】选D.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得CC1∥AA1,AA1⊂平面A1ABB1,CC1⊄平面A1ABB1,所以CC1∥平面A1ABB1,故A正确,不符合题意;AF⊂平面ABC,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,可得平面ABC∥平面A1B1C1,所以AF∥平面A1B1C1,故B正确,不符合题意;取A1B1的中点N,又E是A1C1的中点,所以NE∥C1B1,且NE=12C1B1又F是棱BC的中点,所以BF=12C1B1BF∥C1B1,所以BF∥NE,BF=NE,所以四边形BFEN是平行四边形,所以EF∥BN,又BN⊂平面A1ABB1,EF⊄平面A1ABB1,所以EF∥平面A1ABB1,故C正确,不符合题意;因为EC1∥AC,但EC1≠AC,所以AE与CC1相交,从而有AE不平行于平面B1BCC1,故D错误,符合题意.11.(5分)(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=23BD1.则以下四个说法中正确的是 A.MN∥平面APCB.C1Q∥平面APCC.A,P,M三点共线D.平面MNQ∥平面APC【解析】选BC.如图,对于A,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM,CN,易得AM,CN交于点P,即MN⊂平面APC,所以MN∥平面APC是错误的;对于B,由A项知M,N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,AN⊂平面APC,所以C1Q∥平面APC是正确的;对于C,由A项知A,P,M三点共线是正确的;对于D,由A项知MN⊂平面APC,又MN⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面APC是错误的.12.(5分)如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,PFFC=________【解析】如图,连接AC交BE于点G,连接FG,因为PA∥平面EBF,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,所以PA∥FG,所以PFFC=AG又因为AD∥BC,E为AD的中点,所以AGGC=AEBC=12,所以PF答案:113.(5分)在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于点D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.

【解析】如图,取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又因为D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也分别为AS,SC的中点,从而得HF12ACDE,所以四边形DEFH为平行四边形.因为AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=(12AC)·(12SB)=答案:4514.(10分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为面对角线BD,CD1上的点,且CQQD1=BP(1)求证:PQ∥平面A1D1DA;【解析】(1)连接CP并延长与DA的延长线交于M点,如图,连接MD1,因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,故△PBC∽△PDM,所以CPPM=BPPD=又因为CQQD1=BPPD=23,所以CQQD1=又MD1⊂平面A1D1DA,PQ