2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版四十 数列求和含答案

8版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版四十数列求和四十数列求和(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则该数列的前10项和为 ()A.2146 B.1122C.2148 D.1124【解析】选A.因为an=2n+2n-1,所以前n项和Sn=2(1-2n)1-2+n(2n-1+1)2.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a5+a7=6,a11=8,则数列{1an+3an+4}的前n项和SA.n+1n+2 C.nn+2 D【解析】选B.设等差数列{an}的公差为d,由a3+a5+a7=6,a11=8,得a5=2,d=1,所以an=n-3,则an+3=n,an+4=n+1,所以1an+3an+4=1n(n3.(5分)数列{(-1)n(2n-1)}的前2024项和S2024等于 ()A.-2022 B.2022C.-2024 D.2024【解析】选D.S2024=-1+3-5+7-…-(2×2023-1)+(2×2024-1)=2×1012=2024.4.(5分)已知数列{an}满足a1=1,且对任意的n∈N*都有an+1=a1+an+n,则1an的前100项和为 (A.100101 B.99100 C.101100 【解析】选D.因为an+1=a1+an+n,a1=1,所以an+1-an=1+n,所以an-an-1=n(n≥2),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=n(所以1an=2n(n所以1an的前100项和为2(1-12+12-13+…+1100-5.(5分)已知函数y=f(x)满足f(x)+f(1-x)=1,若数列an满足an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f(1),则数列A.230 B.115C.110 D.100【解析】选B.an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1nan=f(1)+f(n-1n)+f(n-2n)+…+f(两式相加,又因为f(x)+f(1-x)=1,故2an=n+1,所以an=n+1所以{an}的前20项的和为a1+a2+…+a20=22+32+…+212=20×1+20×1926.(5分)(多选题)已知数列{an}:12,13+23,14+24+34,…,110+210+…+910,…,若bn=1ananA.an=n2 B.an=C.Sn=4nn+1 D.S【解析】选AC.由题意得an=1n+1+2n+1+…+nn所以bn=1n2·n+12=所以数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+b3+…+bn=4(1-12+12-13+13-14+…=4(1-1n+1)=7.(5分)已知f(x)=21+x2(x∈R),若等比数列{an}满足a1a2024=1,则f(a1)+f(a2f(a2024)=________.

【解析】因为f(x)=21+x2(x∈R),所以f(x)+f(1x)=21+x2+因为等比数列{an}满足a1a2024=1,所以a1a2024=a2a2023=…=a2024a1=1,所以f(a1)+f(a2024)=f(a2)+f(a2023)=…=f(a2024)+f(a1)=2,所以f(a1)+f(a2)+…+f(a2024)=2024.答案:20248.(5分)已知数列{an}满足an+1=nn+1an,a1=1,则数列{anan+1}的前10项和为【解析】因为an+1=nn+1an,a1=1,所以(n+1)·an+1=nan,所以数列{nan}是每项均为1的常数列,所以nan=1,所以an=1n,anan+1=1n(所以数列{anan+1}的前10项和为(11-12)+(12-13)+…+(110-1答案:109.(10分)(2023·西安模拟)已知数列an满足a1=1,an+1-an=n+1(1)求数列{an}的通项公式;【解析】(1)由题意数列an满足a1=1,an+1-an=n+1,则an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+…+2+1=n9.(10分)(2023·西安模拟)已知数列an满足a1=1,an+1-an=n+1(2)若数列1an的前n项和为Sn,求数列log2Sn【解析】(2)由(1)可得1an=2(1n-1n+1),故Sn=2(1-12+12-13+所以log2Sn=log22nn+1=1+log故Tn=n+log2(12×23×34×…n+log21n+1=n-log2(n【能力提升练】10.(5分)122-1+132-1+14A.nB.34-C.34-12(1nD.32-1n【解题指导】先化简通项公式,再裂项求和.【解析】选C.因为1(n+1)=12(1n-所以122-1+132=12(1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2=34-12(1n+111.(5分)化简Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的结果是 (A.2n+1+n-2 B.2n+1-n+2C.2n-n-2 D.2n+1-n-2【解析】选D.因为Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1①,2Sn=n×2+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n-1+2n②,所以①-②得,-Sn=n-(2+22+23+…+2n)=n+2-2n+1,所以Sn=2n+1-【加练备选】已知数列{an}的通项公式是an=2n-12n,其前n项和Sn=32164,则项数A.13 B.10 C.9 D.6【解析】选D.由an=2n-1Sn=(1-12)+(1-14)+(1-18)+…=n-(12+14+18+…=n-12[1-(1令n-1+12n=32164,即n+12n=12.(5分)已知数列an满足a1=1,an+1-an=2anan+1,则数列anan+1【解题提示】由递推公式可知1an+1-1an=-2,因此【解析】因为a1=1,an+1-an=2anan+1,所以an+1-an即1an+1-1an=-2,所以1an是以1为首项,-2为公差的等差数列,所以1an=3-2n,所以an==12设数列anan+1的前n则Tn=12(1-1-11+11-13+13-15+…+12答案:n13.(5分)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3·…·an=2bn(n∈N*).若数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列{bn}的通项公式bn=________,数列{1bn}的前n项和S【解析】因为数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,所以公比q=3a4a所以an=2n,所以a1a2a3·…·an=21×22×23×…×2n=21+2+3+…+n=2n因为a1a2a3·…·an=2b所以bn=n(所以1bn=2n(n所以数列{1bn}的前n项和Sn=1b1+1b2=2(11-12+12-13+13-14+…+1n答案:n(n14.(10分)(2023·惠州模拟)记Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,若S3=6,a3是a1和a9的等比中项(1)求数列an【解析】(1)由题意知a32=a1·a9,设等差数列an的公差为d,则a1(a1+8d因为d≠0,解得a1=d,又S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,所以数列an是首项为1和公差为1的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=n,n∈N*14.(10分)(2023·惠州模拟)记Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,若S3=6,a3是a1和a9的等比中项(2)记bn=1an·a【解析】(2)由(1)可知bn=1n(n+1)(n+2)设数列bn的前n项和为TnTn=12[11×2-12×3+12×3-13×4+…+1n(n+1)所以T20=12×(12-121×22所以数列bn的前20项和为115【加练备选】(2023·广州模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=-3,S7=-21(1)求an【解析】(1)设公差为d,则S3=3a1+3d=-3,S7=7a1+21d=-21,所以3a1+3所以an=a1+(n-1)d=-n+1;(2023·广州模拟)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=-3,S7=-21(2)bn=-an+1,求数列1bnbn+2的前【解析】(2)bn=n,所以1bnbn+2=1n(n+2)=12(1n-1n+2),所以Tn=12(1-13)+12(12-14)+1=12(1+12-1n+1-1n15.(10分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=(λ+1)Sn+1(n∈N*,λ≠-2)且3a1,4a2,a3+13成等差数列(1)求数列an【解析】(1)因为an+1=(λ+1)Sn+1,a1=1,当n=1时,a2=(λ+1)S1+1=λ+2,当n≥2时,an=(λ+1)Sn-1+1,所以an+1-an=(λ+1)an,即an+1=(λ+2)an,又因为λ≠-2,且a1=1,a2=λ+2,则a2a1所以an是以1为首项,λ所以a2=λ+2,a3=(λ+2)2,又3a1,4a2,a3+13成等差数列,所以3+(λ+2)2+13=8(λ+2),即λ2-4λ+4=0,所以λ=2,an=4n-1;15.(10分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an+1=(λ+1)Sn+1(n∈N*,λ≠-2)且3a1,4a2,a3+13成等差数列(2)若anbn=log4an+1,求数列bn的前n项和Tn【解析】(2)因为anbn=log4an+1,所以4n-1·bn=log44n=n,即bn=n4所以Tn=1+24+342+…14Tn=14+242+34所以34Tn=1+14+142+…+14n-1-n4所以Tn=169-4+3【素养创新练】16.(5分)已知在数列an中,a1=3,且an-1是公比为3的等比数列,则使a1-1a1a2+a【解析】由题意,知an-1是首项为a1-1=2,公比为3的等比数列,所以an-1=2×3n-1,所以an=2×3所以an-1anan+1=所以a1-1a1a2+a2-1a2a3+…+an-1anan+1=12(13-17+答案:417.(5分)(多选题)对于数列{an},定义H0=a1+2a2+…+2n-1ann为{an}的“优值”.现已知数列{an}的“优值”H0=2nA.an=2n+2 B.Sn=n2-19nC.S8=S9 D.Sn的最小值为-72【解析】选ACD.由题意可知,H0=a1+2a2+…+2n-1ann=2n+1,则a1+2a2+当n=1时,a1=21+1×1=4,当n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n②,①-②得,2n-1an=n·2n+1-(n-1)·2n,an=2(n+1),当n=1时也成立,所以an=2n+2,A正确;Sn=a1-20+a2-20+…+an-20=a1+a2+…+an-20n=2×1+2+2×2+2+…+2×n+2-20n=2(1+2+…+n)+2n-20n=n(n+1)-18n=n2-17n,B错误;因为an-20=2n-18,当an-20≤0时,n≤9,a9-20=0,故当n=8或9时,{an-20}的前n项和Sn取得最小值,最小值为S8=S9=92-17×9=-72,C,D正确.四十八利用空间向量研究距离问题(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)已知平面α的一个法向量为n=-1,-2,2,点A0,1,0为A.4 B.3 C.2 D.1【解析】选D.因为AP=1,-1,1,n=-1,-2,2则点P到平面α的距离d=AP·n2.(5分)如图是一棱长为1的正方体,则异面直线A1B与B1D1之间的距离为 ()A.3 B.33 C.12 【解析】选B.分别以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图空间直角坐标系,则D1B1设n=(x,y,z)与D1B1则D1B1取n=(1,-1,-1),又因为D1所以异面直线D1B1和A1B间的距离为d=|D1A1·3.(5分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O为正方形ADD1A1的中心,若P为平面OD1B内的一个动点,则P到直线A1B1的距离的最小值为 ()A.22B.12C.6【解析】选A.如图,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有B(1,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),因为O为正方形ADD1A1的中心,得O(12,0,1A1B1=(0,1,0),OB=(12,1,-设平面OBD1的法向量为n=(x,y,z),利用OB·n=0取x=1,解得n=(1,0,1),有A1B1·n=0,且A1B1⊄平面OD1B,则直线A1B1∥平面OD设直线A1B1到平面OD1B的距离为d,取直线上一点B1,与平面OD1B上一点B,则BB利用空间中点面距离公式有d=BB1·4.(5分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是线段AA1的中点,点Q是线段DB1上的动点(包括端点),则PQ的最小值为 ()A.12B.22C.【解析】选B.分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:则点P的坐标为1,设点Q的坐标为λ,则PQ=(=3λ2-3λ当且仅当λ=12即PQ的最小值为225.(5分)如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上两个动点,且EF的长为定值,则点Q到平面PEF的距离 ()A.等于55B.和EF的长度有关C.等于23D.和点Q的位置有关【解析】选A.取B1C1的中点G,连接PG,CG,DP,则PG∥CD,所以点Q到平面PEF的距离即点Q到平面PGCD的距离,与EF的长度无关,B错.又A1B1∥平面PGCD,所以点A1到平面PGCD的距离即点Q到平面PGCD的距离,即点Q到平面PEF的距离,与点Q的位置无关,D错.如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,则C(0,a,0),D(0,0,0),A1(a,0,a),P(a2,0,a),所以DC=(0,a,0),DA1=(a,0,a),DP设n=(x,y,z)是平面PGCD的法向量,则由n·DP令z=1,则x=-2,y=0,所以n=(-2,0,1)是平面PGCD的一个法向量.设点Q到平面PEF的距离为d,则d=DA1·nn=6.(5分)(多选题)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱AB上一动点,则P到平面A1C1D的距离可能是 ()A.33 B.3 C.423 【解析】选BC.如图,以D1为坐标原点,以D1A1,D1C1,D1D的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,0),B(2,2,2),P(2,λ故A1C1设平面A1C1D的法向量n=(x,y,z),由n·取x=1,则n=(1,1,1)为平面A1C1D的一个法向量,A1P=(0,所以P到平面A1C1D的距离d=A1P·因为0≤λ≤2,所以d∈233,433,而27.(5分)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1C与平面A1C1D的距离d是 ()A.36 B.33 C.233 【解析】选B.如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,连接BD1,BD,BD交AC于点E,则B(1,1,0),D(0,0,0),D1(0,0,1),E(12,12因为DD1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面D1DB,所以BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1.因为AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,即BD1是平面AB1C因为平面AB1C∥平面A1C1D,所以点D到平面AB1C的距离即为两平面之间的距离.因为DE=12,1所以d=|DE·BD18.(5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,AB=2,CC1=22,E为B1C1的中点,F为C1D1的中点,则直线BD与EF之间的距离为________.

【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,2,22),F(0,1,22),所以DF=(0,1,22),EF=(-1,-1,0),DB=(2,2,0).因为EF=-12DB,所以EF∥DB,所以直线BD与EF之间的距离d即为点D到直线EF设<DF,EF>=θ,则cosθ=DF·EF|所以sinθ=346所以所求距离为d=|DF|sinθ=3×346=34答案:349.(10分)如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=23,求点A到平面MBC的距离.【解析】如图,取CD的中点O,连接OB,OM,因为△BCD与△MCD均为正三角形,所以OB⊥CD,OM⊥CD,又平面MCD⊥平面BCD,平面MCD∩平面BCD=CD,OM⊂平面MCD,所以MO⊥平面BCD.以O为坐标原点,直线OC,BO,OM分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz.因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,所以OB=OM=3,则O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,3),B(0,-3,0),A(0,-3,23),所以BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).设平面MBC的法向量为n=(x,y,z),由n⊥BCn即x+取x=3,可得平面MBC的一个法向量为n=(3,-1,1).又BA=(0,0,23),所以所求距离为d=|BA·n【能力提升练】10.(5分)(多选题)如图所示,三棱锥S-ABC中,△ABC为等边三角形,SA⊥平面ABC,SA=3,AB=2.点D在线段SC上,且SD=13SC,点E为线段SB的中点,以线段BC的中点O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴,过点O作SA的平行线为z轴,建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是 (A.直线CE的一个方向向量为1B.点D到直线CE的距离为8C.平面ACE的一个法向量为3D.点D到平面ACE的距离为1【解析】选ABD.依题意,S(3,0,3),A(3,0,0),B(0,1,0),C0,-1,0,E(32因为SD=13SC,则D(233则CE=(32,32,因为CE=3(12,32,CD=(233,23,2),AC=(-3,-1,0),AE=(-32,12,32),故点D到直线CE的距离设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则AC·n=0令y=3,则n=(-3,3,-2)为平面ACE的一个法向量,故C错误;而CD=(233,23,2),故点D到平面ACE的距离d1=11.(5分)如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到BD的距离为________.

【解析】如图,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),所以PB=(3,0,-1),BD=(-3,4,0).设<PB,BD>=φ,所以cosφ=BD·PB|所以sinφ=1310所以点P到BD的距离d=|PB|·sinφ=135答案:1312.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M,N,E,F分别为A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中点,则平面AMN与平面EFBD之间的距离为______.

【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),M(2,0,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),从而EF=(2,2,0),MN=(2,2,0),AM=(-2,0,4),BF=(-2,0,4),所以EF=MN,AM=BF,所以EF∥MN,AM∥BF,所以平面AMN∥平面EFBD.设n=(x,y,z)是平面EFBD的一个法向量,从而n·解得x=2取z=1,得n=(2,-2,1).因为AB=(0,4,0),所以点A到平面EFBD的距离为|n·AB||n|=8答案:813.(10分)如图,边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M为线段AC的中点.(1)求证:平面BMC1⊥平面A1BC1;【解析】(1)因为四边形A1ACC1为菱形,所以A1C⊥AC1.又因为A1C=3AC1,所以∠ACC1=60°,即△ACC1为等边三角形.因为AC1=CC1,M为线段AC的中点,所以AC⊥C1M.因为AB=BC,M为线段AC的中点,所以AC⊥BM.又因为C1M∩BM=M,所以AC⊥平面BMC1.又因为AC∥A1C1,所以A1C1⊥平面BMC1.又A1C1⊂平面A1BC1,所以平面BMC1⊥平面A1BC1.13.(10分)如图,边长为2的等边△ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,A1C=3AC1,M为线段AC的中点.(2)求点C到平面A1BC1的距离.【解析】(2)因为平面A1ACC1⊥平面ABC,交线是AC,且C1M⊥AC,所以C1M⊥平面ABC.以M为原点,MB,MC,MC1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示:C(0,1,0),B(3,0,0),C1(0,0,3),A1(0,-2,3),则A1C1=(0,2,0),BC1=(-3,0,3设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n·令x=1,则n=(1,0,1),所以点C到平面A1BC1的距离d=|CC1·n14.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,M,N分别是BB1,B1C1的中点.(1)求直线MN到平面ACD1的距离;【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则知点A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,1,0),M(1,1,12),N(1所以AD1=(-1,0,1),MN=(-12所以MN=12因为直线MN与AD1不重合,所以MN∥AD1.又因为MN⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.故直线MN到平面ACD1的距离等于点M到平面ACD1的距离.AC=(-1,1,0),AD1设平面ACD1的一个法向量为m=(x,y,z),所以m·AD令x=1,得y=z=1,所以m=(1,1,1).因为AM=0,所以|AM|=1+14=52.而|m所以点M到平面ACD1的距离为|