2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版六十九 二项式定理含答案

8版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版六十九二项式定理六十九二项式定理(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4= ()A.40 B.41 C.-40 D.-41【解析】选B.令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故a4+a2+a0=1+812=412.(5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是 ()A.56 B.84 C.112 D.168【解析】选D.在(1+x)8的展开式中含x2的项为C82x2=28x2,(1+y)4的展开式中含y2的项为C42y2=6y2,所以x2y3.(5分)在(x+13x)24的展开式中,x的指数是整数的项数是 (A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选D.因为(x+13x)24的展开式的通项公式为Tk+1=C24k(x)24-k(13x)k=C24kx12-56k4.(5分)设a=3n+Cn13n-1+Cn23n-2+…+Cnn-1为()A.3 B.4 C.7 D.8【解析】选A.因为Cn03n+Cn13n-1+Cn23n-2+所以a=4n-1,当n=2023时,a=42023-1=4×161011-1=4×[(15+1)1011-1]+3,而(15+1)1011-1=C10110151011+C10111151010+…+C1011101015,故此时5.(5分)(多选题)在(1+2x)8的展开式中,下列说法正确的是 ()A.二项式系数最大的项为1120x4B.常数项为2C.第6项与第7项的系数相等D.含x3的项的系数为480【解析】选AC.因为n=8,所以二项式系数最大的项为T5,T5=C84(2x)4=1120x4,A(1+2x)8展开式的通项为Tk+1=C8k(2x)k=2kC8kxk,令第6项为T6=25C85x5=1792x5,第7项为T7=26C86x6=1792x6,第6项与第7含x3的项为T4=C83(2x)3=448x3,其系数为448,D6.(5分)(多选题)(2023·厦门模拟)若(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论中正确的是 ()A.a0=1B.a1+a2+a3+a4+a5=-25C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=1【解析】选CD.由题意知,令x=0得a0=25,A错误;令x=1得a0+a1+…+a5=1,所以a1+a2+…+a5=1-25,B错误;令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35,C正确;由题意知a0,a2,a4均为正,a1,a3,a5均为负,因此a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,D正确.7.(5分)(2024·桂林模拟)在二项式(2+x)【解析】二项式展开式的通项为C9r·29-r2·xr,当r=1,3,5,7,9时,答案:58.(5分)(2024·潍坊模拟)若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13,则展开式中各项系数和为______.(用数字作答)

【解析】因为(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为3C41+aC40=12+a令x=1,得(3+x)(1+x)4展开式中各项系数和为(3+1)(1+1)4=64.答案:649.(10分)已知二项式(2x+1x)n(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,按要求完成以下问题(1)求n的值;(2)求展开式中1x3(3)计算式子C6026+C6125+C6224+C6323+C6422【解析】由题设知Tr+1=2n-rCn(1)展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是Cn1Cn2=2(2)Tr+1=26-rC6rx6-32r,令6-32r=-3,得r=6.所以展开式中含1x3(3)C6026+C6125+C6224+C6323+C6422+C65【能力提升练】10.(5分)设(5x-x)n的展开式的各项系数之和为M,二项式系数之和为N,M-N=240,则展开式中x3的系数为 ()A.500 B.-500 C.150 D.-150【解析】选C.由题意可得N=2n,令x=1,则M=(5-1)n=4n=(2n)2,所以(2n)2-2n=240,2n=16,n=4.展开式中第k+1项Tk+1=C4k·(5x)4-k·(-x)k=(-1)kC4k54-k·x4-k2.令4-k2=3,11.(5分)在(2x+a)(x+2x)6的展开式中,x2的系数为-120,则该二项展开式中的常数项为 (A.3204 B.-160C.160 D.-320【解析】选D.(x+2x)6Tk+1=C6k·x6-k·(2x)k2xTk+1=C6k·2k+1·x7-2k,由k∈aTk+1=aC6k·2k·x6-2k,令则aC62·22=60a=-120,解得因为7-2k≠0,在-2Tk+1中,令6-2k=0,解得所以展开式中的常数项为-2C63·2312.(5分)(多选题)(2024·宁德模拟)若(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6A.a0=64B.a0+a2+a4+a6=365C.a5=12D.a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=-6【解析】选ABD.令x=-1,则(-1-1)6=a0,即a0=64,故A正确;令x=0,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=(0-1)6=1,令x=-2,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=(-2-1)6=729,则a0+a2+a4+a6=1+7292=365,故B正确(x-1)6=[(x+1)-2]6,则Tk+1=C6k(x+1)6-k(-2)k,令则a5=C61(-2)1=-12,故C由(x-1)6=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+…+a6(x+1)6两边求导,得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.13.(5分)(2024·泉州模拟)已知(x+m)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,且a3+a6=1,则m=________.

【解析】由题意,可得a3=C63m3,a6=C60=1.因为a3+a6=1,所以a3=0,答案:014.(10分)请从下面三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.①第5项的系数与第3项的系数之比为5∶2;②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为36;③Cn+13-已知在(x-13x)n的展开式中(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中含1x的项【解析】(1)选①,(x-13x)n的展开式通项为Tr+1=(-1)r则第5项的系数为Cn4,第3项的系数为Cn2,所以Cn4∶Cn2=5∶2,若选②,第2项与倒数第3项的二项式系数分别为Cn1和所以Cn1+Cnn-2解得n=-9(舍)或n=8;若选③,由Cn+13-Cn所以(x-13x)8的展开式通项为Tr+1=(-1)r当n=8时,若C8r取得最大值,则r=4,即第5所以展开式中二项式系数最大的项为T5=C84x(2)令24-5r6=-1,解得所以展开式中含1x的项为T7=C86x-115.(10分)(2023·福州模拟)在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数的和为128.这三个条件中任选一个,补充在下面(横线处)问题中,解决下面两个问题.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),________

(1)求a12+a222+(2)求a1+2a2+3a3+…+nan的值.【解析】(1)若选①:因为只有第5项的二项式系数最大,所以展开式中共有9项,即n+1=9,得n=8.若选②:因为第4项与第6项的二项式系数相等,所以Cn3=Cn5若选③:因为奇数项的二项式系数的和为128,所以2n-1=128,解得n=8.因为(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=12,则有(2×12-1)8=a0+a12+a2即有a0+a12+a222+…+a828=0,令x=0,得a0=1,所以a12综上所述:a12+a222+(2)由(1)可知:无论选①,②,③都有n=8,(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,两边求导得16(2x-1)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7,令x=1,则有16=a1+2a2+3a3+…+8a8,所以a1+2a2+3a3+…+8a8=16.【素养创新练】16.(5分)若(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn的展开式中的各项系数和为243,则a1+2a2+…+nan等于 ()A.405 B.810 C.243 D.64【解析】选B.(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,两边求导得,2n(2x+1)n-1=a1+2a2x+…+nan令x=1,则2n×3n-1=a1+2a2+…+na又因为(2x+1)n的展开式中各项系数和为243,令x=1,可得3n=243,解得n=5,所以a1+2a2+…+nan=2×5×34=810.17.(5分)已知Sn是数列{an}的前n项和,若(1-2x)2024=b0+b1x+b2x2+…+b2024x2024,数列{an}的首项a1=b12+b222+…+b202422024,an+1=Sn·A.-12024 B.C.2024 D.-2024【解析】选A.令x=12,得(1-2×12)2024=b0+b12+b22令x=0,得b0=1,所以a1=b12+b222+由an+1=Sn·Sn+1=Sn+1-S得Sn+1-Sn所以1Sn+1所以数列{1Sn}是首项为公差为-1的等差数列,所以1Sn=-1+(n-1)·(-1)=-所以Sn=-1n,所以S2024=-1六十六变量的相关性与一元线性回归模型(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)下列有关线性回归的说法,不正确的是 ()A.具有相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直观地反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任一组数据都有经验回归方程【解析】选D.根据两个变量具有相关关系的概念,可知A正确;散点图能直观地描述具有相关关系的两个变量的相关程度,且回归直线最能代表它们之间的相关关系,所以B,C正确;具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程,所以D不正确.2.(5分)下图是某地区2001年至2021年环境保护建设投资额(单位:万元)的折线图.根据该折线图判断,下列结论正确的是 ()A.为预测该地2026年的环境保护建设投资额,应用2001年至2021年的数据建立回归模型更可靠B.为预测该地2026年的环境保护建设投资额,应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠C.投资额与年份负相关D.投资额与年份的相关系数r<0【解析】选B.因为2009年之前与2010年之后投资额变化较大,故为预测该地2026年的环境保护建设投资额,应用2010年至2021年的数据建立回归模型更可靠,所以A错误,B正确;随年份的增长,投资额总体上在增长,所以投资额与年份正相关,r>0,故C,D错误.3.(5分)某单位为了了解办公楼用电量y(kW·h)与气温x(℃)之间的关系,随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温,并制作了对照表:气温(℃)181310-1用电量(kW·h)24343864由表中数据得到经验回归方程=-2x+,当气温为-4℃时,预测用电量为 ()A.68kW·h B.52kW·h C.12kW·h D.28kW·h【解析】选A.由题干表格可知x=10,y=40,根据经验回归直线必过(x,y)得=40+20=60,所以经验回归方程为=-2x+60,因此当x=-4时,=68.4.(5分)下列命题是真命题的为 ()A.经验回归方程=x+一定不过样本点B.可以用样本相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱,r的值越小,说明两个变量线性相关程度越弱C.在回归分析中,决定系数R2=0.80的模型比决定系数R2=0.98的模型拟合的效果要好D.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好【解析】选D.对于A,经验回归方程不一定经过其样本点,但一定经过(x,y),所以A是假命题;对于B,由样本相关系数的意义,当|r|越接近0时,表示变量y与x之间的线性相关程度越弱,所以B是假命题;对于C,用决定系数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好,所以C是假命题;对于D,由残差的统计学意义知,D是真命题.5.(5分)(多选题)(2023·济南模拟)某同学将收集到的六对数据制作成散点图,得到其经验回归方程为l1:=0.68x+,计算其相关系数为r1,决定系数为R12.经过分析确定点F为“离群点”,把它去掉后,再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为l2:=x+0.68,相关系数为r2,决定系数为R22.下列结论正确的是 ()A.r2>r1>0 B.R12C.0<<0.68 D.>0.68【解析】选AC.由题图可知两变量呈正相关,故r1>0,r2>0,去掉“离群点”后,相关性更强,所以r1<r2,故R12<R22,故A正确,B错误;根据题图,当去掉F点后,直线基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上,直线的倾斜程度会略向x轴偏向,故斜率会变小,因此0<<0.68,故C正确6.(5分)(多选题)(2023·福州模拟)为研究混凝土的抗震强度y与抗压强度x的关系,某研究部门得到下表的样本数据:x140150170180195y23a262828若y与x线性相关,且经验回归方程为=0.1x+9.1,则下列说法正确的是 ()A.a=24 B.y与x正相关C.y与x的相关系数为负数 D.若x=220,则y=31.1【解析】选AB.依题意,x=140+150+170+180+1955=167,y=23+a+26+28+28由a+1055=0.1×167+9.1,解得a=24,故A因为经验回归方程=0.1x+9.1中x的系数为正,所以y与x正相关,且相关系数为正数,故B正确,C错误;当x=220时,y的值约为31.1,故D错误.7.(5分)为了研究疫苗的有效率,在某地进行临床试验,对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗,一周后有20人感染,为了验证疫苗的有效率,同期,从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人,分成5组,各组感染人数如下:调查人数x300400500600700感染人数y33667并求得y与x的经验回归方程为=0.011x+,同期,在人数为10000的条件下,以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数,记为N;注射疫苗后仍被感染的人数记为n,则估计该疫苗的有效率为________.(疫苗的有效率为1-nN,结果保留3位有效数字)

【解析】由题表中的数据可得x=500,y=5,故=5-0.011×500=-0.5,故N=0.011×10000-0.5=110-0.5=109.5,而n=20,故疫苗的有效率为1-20109.5≈0.817.答案:0.8178.(5分)两个线性相关变量x与y的统计数据如表:x99.51010.511y1110865其经验回归方程是=x+40,则相应点(9,11)的残差为________.

【解析】因为x=15×(9+9.5+10+10.5+11)=10,y=1所以8=10+40,解得=-3.2,所以=-3.2x+40,当x=9时,=11.2,所以残差为11-11.2=-0.2.答案:-0.29.(10分)(2020·全国Ⅱ卷节选)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得=60,=1200,=80,=9000,=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01).附:相关系数r=,2≈1.414.【解析】(1)样区这种野生动物数量的平均数为120=120地块数为200,该地区这种野生动物数量的估计值为200×60=12000.(2)样本(xi,yi)的相关系数r==80080×9000=223≈0.【能力提升练】10.(5分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做了试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m,如表:甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的试验结果体现的A,B两变量有更强的线性相关性 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解析】选D.|r|越接近1,m越小,线性相关性越强.11.(5分)(多选题)(2023·唐山模拟)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准,选择了10名志愿者,对其身高(单位:cm)和臂展(单位:cm)进行了测量,这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示.已知这10名志愿者身高的均值为176cm,根据这10名志愿者的数据求得臂展u关于身高v的经验回归方程为=1.2v-34,则下列结论正确的是 ()A.这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B.这10名志愿者的身高和臂展呈负相关C.这10名志愿者臂展的均值为176.2cmD.根据经验回归方程可估计身高为160cm的人的臂展为158cm【解析】选AD.对于选项A,因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值,而臂展的最小值小于身高的最小值,所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差,故A正确;对于选项B,因为1.2>0,所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系,故B错误;对于选项C,因为这10名志愿者身高的均值为176cm,所以这10名志愿者臂展的均值为1.2×176-34=177.2(cm),故C错误;对于选项D,若一个人的身高为160cm,则由经验回归方程=1.2v-34,可得这个人的臂展的估计值为158cm,故D正确.12.(5分)(多选题)针对某疾病,各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某地开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示,由表格可得y关于x的经验回归方程为=6x2+,则下列说法正确的是 ()周数(x)12345治愈人数(y)2173693142A.=4 B.=-8C.此回归模型第4周的残差为5 D.估计第6周治愈人数为220【解析】选BC.设t=x2,则=6t+,由已知得t=15×(1+4+9+16+25)=11,y=1所以=58-6×11=-8,故A错误,B正确;在=6x2-8中,令x=4,得4=6×42-8=88,所以此回归模型第4周的残差为y4-4=93-88=5,故C正确;在=6x2-8中,令x=6,得6=6×62-8=208,故D错误.13.(5分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.x=46.6,y=563,w=6.8,=1.6,=1469,=108.8,其中wi=xi,w=18.则____________(y=a+bx与y=c+dx二选一)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程,其解析式为______________.

【解析】由题中散点图可以判断,y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型.令w=x,先建立y关于w的经验回归方程.由于==108.81.6=68,=y-w=563-68×6.8=100.6,所以y关于w的经验回归方程为=100.6+68w,因此y关于x的经验回归方程为=100.6+68x.答案:y=c+dx=100.6+68x14.(10分)某地对一家企业进行深入调研,数据显示,该企业近年加大了科技研发资金的投入,其科技投入x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如下:科技投入x1234567收益y19202231405070根据数据特点,甲认为样本点分布在指数型曲线y=的周围,据此他对数据进行了一些初步处理.如表:z514012391492134130其中zi=log2yi,z=17(1)请根据表中数据,建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.1);(2)①乙认为样本点分布在直线y=mx+n的周围,并计算得经验回归方程为=8.25x+3,以及该回归模型的决定系数R乙2=0.893,试比较甲、乙两人所建立的模型,谁的拟合效果更好②由①所得的结论,计算该企业欲使收益达到2.56亿元,科技投入的费用至少要多少百万元?附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其经验回归直线=u+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为==,=v-u,决定系数:.【解析】(1)将y=2bx+a两边取对数得log2y=bx+a,令z=log2y,则=x+,因为x=4,所以根据最小二乘估计可知==149-7×4×5140-7×42≈0.所以=z-x≈5-0.3×4=3.8,所以经验回归方程为=0.3x+3.8,即=.(2)①甲建立的回归模型:R甲2=1-1302134≈0.939>R乙所以甲建立的回归模型拟合效果更好.②由①知,甲建立的回归模型拟合效果更好.设≥256,解得0.3x+3.8≥log2256=8,解得x≥14.所以科技投入的费用至少要14百万元,该企业的收益才能达到2.56亿元.15.(10分)(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i12345根部横截面积xi0.040.060.040.080.08材积量yi0.250.400.220.540.51样本号i678910总和根部横截面积xi0.050.050.070.070.060.6材积量yi0.340.360.460.420.403.9并计算得=0.038,=1.6158,=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近