2025版 数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版二十四 两角和与差的三角函数含答案

6版数学《高中全程复习方略》（提升版）人教A版二十四两角和与差的三角函数二十四两角和与差的三角函数(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)sin15°cos75°+cos15°sin105°等于 ()A.0 B.12 C.1 D.【解析】选C.sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin15°cos75°+cos15°sin75°=sin(15°+75°)=sin90°=1.2.(5分)已知角α的终边经过点P(sin47°,cos47°),则sin(α-13°)等于 ()A.12 B.32 C.-12 D【解析】选A.由三角函数的定义,得sinα=cos47°,cosα=sin47°,则sin(α-13°)=sinαcos13°-cosαsin13°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=cos(47°+13°)=cos60°=123.(5分)(2023·长沙模拟)1-tan15°1+tan15°A.1 B.3 C.33 D.【解析】选C.1-tan15°1+tan15°4.(5分)已知12sinα+32cosα=45,则sin(α+4π3)的值为A.-235 B.235 C.-45【解析】选C.因为12sinα+32cosα=45,所以sin(α+π3则sin(α+4π3)=sin(π+α+π3)=-sin(α+π3)5.(5分)(2023·西安模拟)已知2cos(α+π6)=sinα,则sinαcosα等于 (A.-34B.34C.-237【解析】选D.2cos(α+π6)=sinα,即2cosαcosπ6-2sinαsinπ6=sinα,即3cosα-sinα=sinα,则tanα=32,所以sinαcosα=sinα6.(5分)(多选题)下列结论正确的是 ()A.sin(α-β)sin(β-γ)-cos(α-β)cos(γ-β)=cos(α-γ)B.315sinx+35cosx=35sin(x+π6C.f(x)=sinx2+cosx2D.sin50°(1+3tan10°)=1【解析】选CD.对于A,左边=-[cos(α-β)cos(β-γ)-sin(α-β)sin(β-γ)]=-cos[(α-β)+(β-γ)]=-cos(α-γ),故A错误;对于B,315sinx+35cosx=65(32sinx+12cosx)=65sin(x+π对于C,f(x)=sinx2+cosx2=2sin(x2+π4),所以f(对于D,由sin50°(1+3tan10°)=sin50°·(1+3sin10=sin50°·cos10°+3sin10°cos107.(5分)满足等式(1+tanα)(1+tanβ)=2的数组(α,β)有无穷多个,试写出一个这样的数组____________.

【解析】由(1+tanα)(1+tanβ)=2,得1+tanβ+tanα+tanαtanβ=2,所以tanβ+tanα=1-tanαtanβ,所以tanβ+tanα1-所以α+β=kπ+π4,k∈Z,所以α可以为0,β可以为π4答案:(0,π4)8.(5分)(2023·青岛质检)已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=2425,则cos(α+π【解析】由题意知,α+β∈(3π2,2π),sin(α+β)=-35<0,所以cos(α+β)=因为sin(β-π4)=2425,β-π4∈(π2,3π4),所以cos(β-所以cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4答案:-49.(10分)在①tan(π+α)=3;②sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α);③3sin(π2+α)=cos(3π2+α已知0<β<α<π2,________,cos(α+β)=-5(1)求sin(α-π4)(2)求β.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】(1)若选①,tan(π+α)=tanα=sinαcosα=3,又因为sin2α+cos2α=1,0<α所以sinα=31010,cosα=1010,所以sin(α-π4)=sinαcosπ=31010×22-1010×若选②,因为sin(π-α)-2sin(π2-α)=cos(-α),化简得sinα=3cosα又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=31010,cosα所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-若选③,因为3sin(π2+α)=cos(3π2+α),化简得3cosα=sin又因为sin2α+cos2α=1,0<α<π2,所以sinα=31010,cosα所以sin(α-π4)=sinαcosπ4-cosαsinπ4=31010×22-(2)因为0<β<α<π2,且cos(α+β)=-55,所以π2<α所以sin(α+β)=1-cos所以sinβ=sin[(α+β)-α]=255×1010-(-55)×31010=22,又因为0<β【能力提升练】10.(5分)(2024·长沙模拟)古希腊数学家泰特托斯详细地讨论了无理数的理论,他通过图来构造无理数2,3,5,…,如图,则cos∠BAD= ()A.26-336 C.23+66 【解析】选B.记∠BAC=α,∠CAD=β,由题图知:sinα=cosα=22,sinβ=33,cosβ=63,所以cos∠BAD=cos∠BAC+∠CAD=cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ=2211.(5分)(多选题)已知α,β,γ∈(0,π2),sinβ+sinγ=sinα,cosα+cosγ=cosβ,则下列说法正确的是 (A.cos(β-α)=32 B.cos(β-α)=C.β-α=π6 D.β-α=-【解析】选BD.由已知可得sinγ=sinα-sinβ,cosγsinβ)2+(cosβ-cosα)2=2-2(cosβcosα+sinβsinα)=2-2cos(β-α),所以cos(β-α)=12因为α,β,γ∈(0,π2),则-π2<β-α<π2,因为sinγ=sinα-sinβ>0,函数y=sinx在(0,π2)上单调递增,则α>β,则-π2<β-α<0,故β12.(5分)已知α,β∈(-π2,0),且tanα+tanβ+3tanαtanβ=3,则α+β=________【解析】由tanα+tanβ+3tanαtanβ=3得tan(α+β)=tanα+tanβ又α,β∈(-π2,0),则α+β∈(-π,0),所以α+β=-2π答案:-2π13.(5分)(2024·北京模拟)设A(cosα,sinα),B(2cosβ,2sinβ),其中α,β∈R.当α=π,β=π2时,AB=________;当AB=3时,α-β的一个取值为________【解析】根据题意可得当α=π,β=π2时,可得A-1,0所以AB=-1-02+0-即cosα-2cosβ2即cosα-β=12,可得α-β=±π3+2kπ,所以α-答案:5π314.(10分)已知A,B均为钝角,且sinA=55,sinB=1010,求A+B【解析】因为A,B均为钝角,且sinA=55,sinB=1010,所以cosA=-1-cosB=-1-sin2B=-31010,所以cos(A+B)=cos=-255×(-31010)-55×1010=22.又因为π2<A<π,π2<B<π,所以π<A15.(10分)已知sin(α+β)=12,sin(α-β)=1(1)求证:sinαcosβ=5cosαsinβ;(2)已知0<α+β<π2,0<α-β<π2,求cos2α【解析】(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12,sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=1所以2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,①3sinαcosβ-3cosαsinβ=1,②②-①得sinαcosβ-5cosαsinβ=0,则sinαcosβ=5cosαsinβ.(2)因为sin(α+β)=12,sin(α-β)=13,0<α+β<π2,0<α-β所以cos(α+β)=32,cos(α-β)=223,则cos2α=cos[(α+β)+(α=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=32×223-12×【素养创新练】16.(5分)已知15sinθtanθ+16=0,θ∈(0,π),则cos(θ-π4)=________【解析】由15sinθtanθ+16=0得sin2θ=-1615cosθ,又sin2θ+cos2θ所以cosθ=-35或cosθ=53(舍去),又θ∈(0,π),所以sinθ=1-因此cos(θ-π4)=cosθcosπ4+sinθsinπ4=-35×22+4答案:217.(5分)已知α,β都是锐角,且tanβ=sinα-cosαsin【解析】显然cosα≠0,则tanβ=sinαcosα-1sinαcosα因为α,β都是锐角,所以β=α-π4,所以sinβsinα-答案:2二十五简单的三角恒等变换(时间:45分钟分值:100分)【基础落实练】1.(5分)cos40°cos25°1-A.1 B.3 C.2 D.2【解析】选C.原式=cos220°-sin22.(5分)已知x∈(-π2,0),cos(π-x)=-45,则tan2x等于 (A.724 B.-724 C.247 D【解析】选D.因为x∈(-π2,0),cos(π-x)=-45,所以cosx=45,sinx=-1-cos2x=-35,由同角三角函数的关系得tanx=sinxcosx3.(5分)(2023·枣庄模拟)已知sin(π6-α)=23,则cos(2α-4π3)等于 A.-59 B.59 C.-13 【解析】选A.cos(2α-4π3)=cos(-π+2α-π3)=-cos(2α-π3)=-cos(π=-[1-2sin2(π6-α)]=-(1-2×29)=-4.(5分)(2023•新高考Ⅰ卷)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2β)= (A.79 B.19 C.-19 D【解析】选B.因为sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=12,所以sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα=12+16=23,则cos(2α+2β)=1-2sin2(α+5.(5分)(多选题)(2023·合肥模拟)下列计算结果正确的是 ()A.cos(-15°)=6B.sin15°sin30°sin75°=1C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=-1D.2sin18°cos36°=1【解析】选BD.对于A,cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=6+24,所以A错误;对于B,sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°cos15°=12sin15°cos15°=14sin30°=1sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12对于D,2sin18°cos36°=2cos72°cos36°=2×sin144°2sin72°×sin72°2sin36°6.(5分)(多选题)(2023·长沙模拟)若sinα2=33,α∈(0,π),则 (A.cosα=1B.sinα=2C.sin(α2+π4)D.sin(α2-π4)【解析】选AC.因为sinα2=33,α∈(0,π),所以α2∈(0,π2),cosα2所以cosα=1-2sin2α2=1-2×(33)2=sinα=2sinα2cosα2=2×33×6sin(α2+π4)=sinα2cosπ4+cosα2sinπ4=33×2sin(α2-π4)=sinα2cosπ4-cosα2sinπ4=33×227.(5分)(2024·长春模拟)若cosπ4-θ=12,则sin2【解析】因为cosπ4-θ=12,所以sin2θ=cos(π2-2θ)=cos[2(π4-θ)]=2cos2=2×122-1=-答案:-18.(5分)(2023·青岛模拟)已知tan2θ=-22,π4<θ<π2,则2cos【解析】由tan2θ=-22,即2tanθ1-tan2θ=-22,解得tanθ因为π4<θ<π2,所以tanθ=2且cosθ≠0.则2cos2θ2-sinθ答案:-3+229.(10分)已知函数f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cos2x+a(1)求常数a的值;(2)求使f(x)≥0成立的x的取值集合.【解析】(1)根据三角函数的两角和与差公式可得:f(x)=sin(2x+π6)+sin(2x-π6)+cos2x+a=32sin2x+12cos2x+32sin2x-12=3sin2x+cos2x+a=2sin(2x+π6)+a由于函数的最大值是1,所以2+a=1,即a=-1.(2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+π6)-1,由f(x)≥0得:2sin(2x+π6即sin(2x+π6)≥12,因此π6+2kπ≤2x+π6≤5π6+2k即kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z,故x的取值集合是{x|kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z【能力提升练】10.(5分)(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ=-2,则sinθ(1+sin2θ)A.-65 B.-25 C.25 【解析】选C.由tanθ=-2,得sin2θ=45,sinθcosθ=-2故sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ11.(5分)魏晋南北朝时期,祖冲之利用割圆术以正24576边形,求出圆周率π约等于355113,和真正的值相比,其误差小于八亿分之一,这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin52°,则1-2cos2A.-18 B.-8 C.8 D.【解析】选A.将π=4sin52°代入1-2cos2=-cos14°16sin52°cos52°=-cos14°12.(5分)sin20°=m,cos20°=n,化简1+tan10°1-tan10°-2cos70A.mn B.-mn C.nm D【解析】选A.因为sin20°=m,cos20°=n,所以1+tan10°1=cos10°+sin10°cos10°-sin10=(cos10°+sin10°)2cos210°-13.(5分)已知cos(θ+π4)=1010,θ∈(0,π2),则sin(2θ-π3【解析】由题意可得cos2(θ+π4)=1+cos(2θ+π2)2=110,cos(2θ即sin2θ=45.因为cos(θ+π4)=1010>0,θ∈(0,π2),所以0<θ<π4,2θ∈(0,π2),根据同角三角函数基本关系式,可得cos2θ=35,由两角差的正弦公式,可得sin(2θ-cos2θsinπ3=45×12-35×答案:414.(10分)(2024·上海模拟)设f(x)=2sinxcosx-2sin2(x-π4)(1)求f(x)的单调递增区间及对称中心;(2)当x∈0,π2时,fx+π6【解析】(1)由题意得,f(x)=sin2x+cos(2x-π2)-1=2sin2x由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ(k∈Z),可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ(所以f(x)的单调递增区间是-π4+kπ令2x=kπ,k∈Z,解得x=kπ2,k∈Z,此时函数值为-1,所以对称中心为(kπ2,-1),(2)因为f(x+π6)=2sin(2x+π3)-1=-13,所以sin(2x+π3因为x∈(0,π2),所以2x+π3∈(π3,因为当2x+π3∈(π3,π2)时,sin(2x+π3)>sinπ3=32>13,所以2x+cos(2x+π3)=-1-sincos2x=cos(2x+π3)-π3=cos(2x+π3)cosπ3+sin(2x+π3)sinπ15.(10分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为π3的扇形,点A在PQ上(异于点P,Q),过点A作AB⊥OP,AC⊥OQ,垂足分别为B,C,记∠AOB=θ,四边形ACOB的周长为(1)求l关于θ的函数关系式;(2)当θ为何值时,l有最大值?并求出l的最大值.【解析】(1)AB=OAsinθ=sinθ,OB=OAcosθ=cosθ,AC=OAsin(π3-θ)=sin(π3-θOC=OAcos(π3-θ)=cos(π3-θ),所以l=sinθ+cosθ+sin(π3-θ)+cos(π3-θ)+32cosθ-12sinθ+12cosθ+32sinθ=1+32sinθ+3+32cosθ==(3+1)sin(θ+π3)(0<θ<π3(2)由0<θ<π3,得π3<θ+π3<2π3,当θ+π3=π2,即θ=π6lmax=3+1,所以当θ=π6时,lmax=3+1【素养创新练】16.(5分)(2023·武汉模拟)f(x)满足:∀x1,x2∈(0,1)且x1≠x2,都有x2f(x1)-x1f(x2)(x1-x2)<0.a=sin7°sin83°,bA.f(a)aB.f(a)aC.f(b)bD.f(c)c【解析】选C.a=sin7°sin83°=sin7°cos7°=12sin14°,b=tan8°1+tan28°=sin8°cos8°cos28°+sin28°=12sin16°,c=12cos5π12=12sinπ12=12sin15°,所以a<c<b.由题意得,∀17.(5分)(2023·盐城模拟)已知由sin2x=2sinxcosx,cos2x=2cos2x-1,cos3x=cos(2x+x)可推得三倍角余弦公式cos3x=4cos3x-3cosx,已知cos54°=sin36°,结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18°=______;如图,已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的,则HE·HG=________.

【解析】因为cos54°=cos(90°-36°)=sin36°,所以4cos318°-3cos18°=2sin18°cos18°,即4cos218°-3=2sin18°,即4(1-sin218°)-3=2sin18°,即4sin218°+2sin18°-1=0,因为0<sin18°<1,解得sin18°=-2+4+168在五角星ABCDE中,EG=EI,HG=HI,HE=HE,故△EHG≌△EHI,从而可得∠HEG=12∠CEB=18°,∠EHG=12∠过点H作HM⊥BE,垂足为点M,如图,则∠GHM=18°,于是cos∠GHM=HMGH从而有HM=GHcos∠GHM=2cos18°,于是EH=HMsin∠HEG=2cos18°sin18°,所以HE·HG=|HE|·|HG|cos54°=2×2cos18°sin18°×sin36°=8cos=8-(3-5)=5+5.答案:5-14二十一导数的不等式问题(时间:45分钟分值:40分)1.(10分)已知函数f(x)=ax+xlnx,且曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线4x-y+1=0平行.(1)求实数a的值;(2)求证:当x>0时,f(x)>4x-3.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=lnx+1+a,由题意知,f'(e)=2+a=4,则a=2.(2)由(1)知,f(x)=2x+xlnx,令g(x)=f(x)-(4x-3)=xlnx-2x+3,则g'(x)=lnx-1,由lnx-1>0得x>e,由lnx-1<0得0<x<e,故g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(e)=3-e>0,即g(x)>0,即f(x)>4x-3.【加练备选】(2023·沧州七校联考)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1.【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,得f'(x)=ex-2,x∈R,令f'(x)=0,得x=ln2.于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:x(-∞,ln2)ln2(ln2,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减2(1-ln2+a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞).f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=2(1-ln2+a),无极大值.(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln2-1时,g'(x)的最小值为g'(ln2)=2(1-ln2+a)>0,于是对任意x∈R,都有g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增,于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0,即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.2.(10分)(2023·合肥模拟)已知函数f(x)=ex+x2-x-1.(1)求f(x)的最小值;(2)证明:ex+xlnx+x2-2x>0.【解析】(1)由题意可得f'(x)=ex+2x-1,则函数f'(x)在R上单调递增,且f'(0)=0.由f'(x)>0,得x>0;由f'(x)<0,得x<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(0)=0.(2)要证ex+xlnx+x2-2x>0,即证ex+x2-x-1>-xlnx+x-1.由(1)可知当x>0时,f(x)>0恒成立.设g(x)=-xlnx+x-1,x>0,则g'(x)=-lnx.由g'(x)>0,得0<x<1;由g'(x)<0,得x>1,则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而g(x)≤g(1)=0,当且仅当x=1时,等号成立,故f(x)>g(x),即ex+xlnx+x2-2x>0.【加练备选】已知函数f(x)=ex2-xlnx.求证:当x>0时,f(x)<xex+1e【证明】要证f(x)<xex+1e,只需证ex-lnx<ex+1即ex-ex<lnx+1ex.令h(x)=lnx+1ex(x>0),则h'(x)=ex-1ex2,易知h(x)在(0,1e)上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增,则h(x)min=h(1e)=0,所以lnx则φ'(x)=e-ex,易知φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则φ(x)max=φ(1)=0,所以ex-ex≤0.因为h(x)与φ(x)不同时为0,所以ex-ex<lnx+1ex3.(10分)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;(2)证明:ex-e2lnx>0恒成立.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a=1-axx,当a≤0时,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a>0时,令f'(x)=0,得x=1a所以x∈(0,1a)时,f'(x)>0;x∈(1a,+∞)时,f'(所以f(x)在(0,1a)上单调递