2022届安徽省十校联盟高三下学期4月期中联考数学（文）试题（解析版）

2022届安徽省十校联盟高三下学期4月期中联考数学（文）试题一、单选题1．设复数的实部与虚部分别为a，b，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】利用复数的运算法则，直接计算求解【详解】，所以，；故选：A2．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元一次不等式求集合M，求一次函数值域求集合N，再应用集合的交运算求.【详解】由题设，，，所以.故选：D3．已知向量，，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量线性运算的坐标表示得、的坐标，再根据向量平行的坐标表示列方程求值.【详解】由题设，，，又，则，可得.故选：A4．2022年2月28日，国家统计局发布了我国国民经济和社会发展统计公报，下面两图分别显示的是2017~2021全国居民人均可支配收入及其增长速度和2021年全国居民人均消费支出及其构成，则下列说法正确的是（

）A．2021年全国居民人均可支配收入为35128元，比上年实际增长B．2017年~2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大C．2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比不足D．2021年全国居民人均消费支出，教育文化娱乐占比最小【答案】B【分析】根据统计图及其数据逐个分析判断即可【详解】对于A，2021年全国居民人均可支配收入为35128元，2020年全国居民人均可支配收入为32189元，所以2021年比2020年增长，所以A错误，对于B，由统计图可知2018全国居民人均可支配收入比2017增长，2019全国居民人均可支配收入比2018增长，2020全国居民人均可支配收入比2019增长，2021全国居民人均可支配收入比2020增长，所以2017年~2021年五年时间，全国居民人均可支配收入逐年增加，比上年实际增长先减小后增大，所以B正确，对于C，2021年全国居民人均消费支出，食品烟酒和居住占比为，所以C错误，对于D，由右图可知，2021年全国居民人均消费支出，其他用品及服务占比最小，为，所以D错误，故选：B5．已知函数，下列说法错误的是（

）A．的图象的一个对称中心为B．的图象的一条对称轴为C．在上单调递增D．函数的图象向左平移个单位长度后得到的是一个奇函数的图象【答案】C【分析】代入法验证A、B的正误，应用整体法求的递增区间判断C，根据图象平移及正弦函数的性质判断D.【详解】A：由，故是的一个对称中心，正确；B：由，故是的一个对称轴，正确；C：令且，则且，故当时在上单调递增，当时在上单调递增，错误；D：，显然为奇函数，正确.故选：C6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由三视图知几何体为长方体中去掉一个圆锥体，结合棱柱、圆锥的表面积求法求几何体的表面积即可.【详解】由三视图知：几何体为长方体中去掉一个圆锥体，如下图示，所以圆锥底面半径为3，母线长为，侧面积为，底面积为，则几何体的表面积为.故选：A7．已知，，对于命题；，下列为真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算法则，求出，，判断出p，q命题真假，即可得解.【详解】解：∵，，∴,∵，∴，即，故p为真命题，假命题；∴，故q为假命题，为真命题.∴为真命题，故选：B8．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的前2022项和为（

）A．2698 B．2697 C．2696 D．2695【答案】C【分析】根据,递推得到数列,然后再得到数列是以6为周期的周期数列求解.【详解】因为所以数列为此数列各项除以4的余数依次构成的数列为:是以6为周期的周期数列,所以.故选：C.9．已知函数，则函数的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性质求出对应区间的值域及单调性，令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.【详解】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：由图知：与有两个交点，横坐标、：当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.综上，的零点共有4个.故选：B10．已知，是双曲线的左､右焦点，点P在双曲线的右支上，且，，则双曲线C的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线的定义及，可得，再由即可建立的方程，即得.【详解】由题意可知，，，又，，即，∴，即，∴.故选：C.11．若关于x的方程有2个不同的实数根，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令且，将问题转化为有两个不同实根，利用导数研究的单调性及区间值域，进而求a的范围.【详解】由题设，有两个实数根，令且，则，而，当时，递增且值域为；当时，递减且值域为.所以，要使有两个不同实根，即，可得.故选：B12．已知正方体的表面积为96，点P为线段的中点，若点平面，且平面，则平面截正方体所得的截面周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中点M，的中点N，可得平面为平面，由题可知正方体的棱长为4，即求；【详解】取的中点M，的中点N，连结则∴平面PCD，，又平面，可得，又∴面，，,面，即平面为面，由题可知，故，，截面的周长为，故选：D.二、填空题13．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为___________.【答案】【分析】由题设画出可行域，结合的最小值的几何意义，与可行域有交点情况下对应直线截距最大即求得的最小值.【详解】由题设画出可行域入如下图，由可得：，作直线沿可行域的方向平移，可知过点时，最大，最小.由得.所以的最小值为：.故答案为：.14．已知，则___________.【答案】【分析】利用诱导公式和余弦倍角公式代入即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以所以，解得，.故答案为：.15．已知抛物线，点A在y轴正半轴上，点B，C为抛物线E上两个不同的点，其中点B在第四象限，且四边形为菱形（为坐标原点，），则菱形的面积为___________.【答案】【分析】设点，，，根据抛物线的方程和菱形的性质建立方程组，求解即可.【详解】解：设点，，，因为点B，C为抛物线E上两个不同的点，且四边形为菱形，所以，解得，所以菱形的面积为，故答案为：.16．已知首项为1的数列的前n项和为，正项等比数列满足，，若，且在数列中，仅有5项不小于实数，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】根据等比数列定义和通项公式求出，从而求出，根据前n项和定义结合累加法求出，作差分析的单调性，从而结合题意求解即可.【详解】设，则根据，得，两式相除得，结合正项等比数列知，所以，所以，因为，所以,即，所以，累加得；n=1成立，，所以当时，所以数列在时单调递减，根据题意需要，所以，则实数的取值范围为：.故答案为：.三、解答题17．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕.某同学为了解本校学生对“2022年北京冬奥会”的关注度，随机抽取了100名学生了解其收看“冬奥会”节目的情况，有1天收看记为1次，有2天收看记为2次，…，有17天收看记为17次（当天多次收看只记1次），并将这100人按次数分组：第1组，第2组，第3组，第4组，得到频率分布直方图如图所示.(1)求a的值，并估计本校学生的平均收看次数（同一组数据用该组数据的中间值代替）；(2)若第4组中有7名女生，其中高一年级3名，高二年级3名，高三年级1名，现从7名女生中随机抽取2人了解该校女生最喜爱的“冬奥会”节日，求所抽取的2人中没有高三年级女生的概率.【答案】(1)；本校学生的平均收看次数为次.(2)【分析】（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，求出a的值，再利用频率分布直方图求平均值的方法计算平均值即可.（2）先计算出从7名女生中随机抽取2人了解该校女生最喜爱的“冬奥会”节日的方法种数，再求所抽取的2人中没有高三年级女生的方法种数，由古典概型公式代入即可.【详解】(1)由频率分布直方图得：，得：.由频率分布直方图得组组数据的平均数：，本校学生的平均收看次数为次.(2)第4组中有7名女生，其中高一年级3名，高二年级3名，高三年级1名，现从7名女生中随机抽取2人了解该校女生最喜爱的“冬奥会”节日，共有种，所抽取的2人中没有高三年级女生，共有：种，设所抽取的2人中没有高三年级女生的概率为事件，则.18．已知△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角B的大小；(2)若，求△周长的取值范围.【答案】(1)；’(2).【分析】（1）利用正弦定理边角关系、三角形内角的性质及和角正弦公式可得，即可求B的大小；（2）由余弦定理及基本不等式可得，注意等号成立条件，结合三角形三边关系确定b的范围，进而可得△周长的取值范围.【详解】(1)由题设，，而，所以，即，又，故且，则.(2)由，故，当且仅当时等号成立，而，所以△周长的取值范围为，即.19．如图，在中，，，，E，F分别为，的中点，是由绕直线旋转得到，连接，，.(1)求证：平面；(2)若，求点E到平面的距离.【答案】(1)详见解析；(2).【分析】（1）由题可知，再由结合线面垂直判定证明即可；（2）利用等积法即求.【详解】(1)因为，，，，又，平面，平面；(2)因为平面，，∴平面，由题可知，∵，，∴，∵，∴，设点E到平面的距离为，由，得，解得.20．已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点，且△面积的最大值为4.(1)求椭圆C的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线和，A，B，D，E都在椭圆C上，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据离心率、焦点三角形的性质及椭圆参数关系列方程求a、b，即可得椭圆方程.（2）讨论直线和的斜率，设直线方程并联立椭圆，应用韦达定理及弦长公式求、，结合直线斜率范围求比值的范围.【详解】(1)由题设，，解得，故椭圆C的方程为.(2)由（1）知：，若直线和的斜率存在，令，则，且，联立与椭圆并整理得：，则，所以，，故，同理，，所以；若直线和，其中一条直线的斜率不存在，当斜率不存在，则斜率为0，此时，，则；当斜率不存在，则斜率为0，此时，，则；综上，的范围为.21．已知函数有两个零点，，且.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：.【答案】(1)；(2)详见解析.【分析】（1）由题可得有两个解，令，利用导数研究函数的性质，数形结合即得；（2）由题可得，进而可转化为证，利用换元即证，再构造函数，利用导数求函数最值即得.【详解】(1)令，则，令，则，所以当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，，又，∴当时，当时，，要使函数的图象与直线有两个交点，则实数a的取值范围为；(2)由题可得，两式相减可得，，要证，即证，即证，也即证，令，则，即证，令，则，所以在上单调递增，∴，所以，故原命题成立.【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；（3）利用导数硏究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数硏究.22．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若过极点O的直线交l于点M，交C于点N，求的最小值.【答案】(1)；；(2)2.【分析】(1)通过消去t求出直线的普通方程，结合即可求出直线的极坐标方程；利用计算即可得出曲线的直角坐标方程；(2)设直线的极角为()，根据题意可得、，由三角恒等变换可得，结合正弦函数的性质即可求得结果.【详解】(1)由(t为参数)，得，又，所以直线的极坐标方程为，即；由，得，又，所以曲线C的直角坐标方程为，即；(2)由(1)知