1.4.1一元二次函数课件高一上学期数学北师大版

4.1一元二次函数2345探究一

一元二次函数的图像例2.:若函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减,则实数a的取值范围是(

)A.{-3} B.(-3,+∞)C.(-∞,-3] D.[-3,+∞)解析:由函数y=x2+2(2a-1)x+2在区间(-∞,7]上单调递减,结合图象(图略)知-(2a-1)≥7,所以a≤-3.答案:C探究二

一元二次函数的单调性【变式训练2】

已知函数y=x2+(a+1)x+1在区间[-1,1]上为单调函数,则实数a的取值范围是

.

答案:(-∞,-3]∪[1,+∞)探究三

一元二次函数的最值【例3】已知函数y=f(x)=x2-4x-4.若x∈[3,4],求函数f(x)的最值.分析:先配方→结合一元二次函数的图象和已知求解解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8的图象开口向上,对称轴为直线x=2,所以当x∈[3,4]时,函数y=x2-4x-4单调递增,所以当x=3时,f(x)取得最小值9-12-4=-7,当x=4时,f(x)取得最大值16-16-4=-4.1.本例中将“x∈[3,4]”改为“x∈[-3,4]”,其他条件不变,求函数y=f(x)的最值.解:y=x2-4x-4=(x-2)2-8在区间[-3,2]上单调递减,在区间[2,4]上单调递增,所以f(x)的最小值为-8.又因为x=-3时,y=17,x=4时,y=-4,所以f(x)的最大值为17.解法1:y>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对∀x∈[1,+∞)恒成立.设g(x)=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则问题转化为g(x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,又g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,从而g(x)min=3+a.于是当且仅当g(x)min=3+a>0,即a>-3时,g(x)>0对x∈[1,+∞)恒成立,故实数a的取值范围是(-3,+∞).解法2:y>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,等价于x2+2x+a>0对∀x∈[1,+∞)恒成立,即a>-x2-2x对x≥1恒成立.令μ=-x2-2x=-(x+1)2+1,其在区间[1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,μ取得最大值,μmax=-3.因此a>-3.故实数a的取值范围是(-3,+∞).求一元二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值的类型忽视对参数的讨论致误【典例】已知一元二次函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值3,

求实数a的值.错解：由题意,可知该函数的图象为开口向下的抛物线,对称轴为x=a,所以x=a时,y取最大值,ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1.综上所述,a=2或a=-1.正解:由题意,可知该函数的图象的对称轴为直线x=a,(1)当a≤0时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而减小,则函数在x=0处取得最大值,即ymax=1-a=3,得a=-2,满足a≤0,所以a=-2符合条件;(2)当0<a<1时,在区间[0,a]上函数值y随自变量x的增大而增大,在区间[a,1]上函数值y随自变量x的增大而减小,则函数在x=a处取得最大值,即ymax=a2-a+1=3,解得a=2或a=-1,又0<a<1,所以a=-1或a=2都不符合条件;(3)当a≥1时,在区间[0,1]上函数值y随自变量x的增大而增大,则函数在x=1处取得最大值,即ymax=-1+2a+1-a=3,解得a=3满足a≥1,所以a=3符合条件.综上所述,a=-2或a=3.总结：

这是定区间,动对称轴问题,需对它们的关系进行讨论,分对称轴在区间的左、中、右三种情形讨论,确定实数a的值.【变式】

已知一元二次函数y=f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)，满足:其图象的对称轴为直线x=1,且方程y=2x有两个相等的实数根.求:(1)函数y=f(x)的解析式;(2)函数y=f(x)在区间[0,t]上的最大值.解:(1)∵方程y=2x有两个相等的实数根,即ax2+(b-2)x=0(a≠0)有两个相等的实数根,∴Δ=(b-2)2=0,解得b=2.又已知直线x=1是函数图象的对称轴,∴函数的解析式为y=-x2+2x.(2)∵函数y=-x2+2x的图象的对称轴为直线x=1,又x∈[0,t],∴当t≤1时,在区间[0,t]上函数值y随自变量x的增大而增大,∴函数在x=t处取得最大值,即ymax=-t2+2t;