2020-2021学年新教材高中数学数列5.2等差数列5.2.1.2等差数列的性质课时素养检测含解析

四等差数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6= () B.0 【解析】6=2a4-a2=2×2-4=0.2.等差数列{an}中a2=5,a6=33,则a3+a5= () B.38 【解析】3+a5=a2+a6=38.3.等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d= () B.-6 【解析】选B.由等差数列的性质,得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d=QUOTE=-6.4.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37等于()A.0 B.37 C.100 【解析】选C.因为{an},{bn}都是等差数列,所以{an+bn}也是等差数列.又因为a1+b1=100,a2+b2=100,所以an+bn=100,故a37+b37=100.5.在{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),则该数列中相邻两项的乘积为负数的项是()21和a22 22和a2323和a24 24和a25【解析】n+1=3an-2,得an+1=an-QUOTE,所以数列{an1=15,d=-QUOTE,所以an=-QUOTEn+QUOTE,由an>0,得-QUOTEn+QUOTE>0,所以n<QUOTE,所以a23=QUOTE>0,a24=-QUOTE<0,所以a23·a24<0.6.(多选题)若a,b,c成等差数列,则二次函数y=ax2-2bx+c的图像与x轴的交点的个数可能为 ()A.0 B.1 C.2 【解析】选BC.因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.所以二次函数y=ax2-2bx+c的图像与x轴的交点个数为1或2.二、填空题(每小题5分,共10分)7.某工厂的三个车间共生产了3600件产品,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且a,b,c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为______.

【解析】因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,所以QUOTE=b,所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的QUOTE.根据分层抽样的性质,可知第二车间生产的产品数占总数的QUOTE,即为QUOTE×3600=1200.答案:12008.在等差数列QUOTE中,若a2+a8=10.则QUOTE-2a5=__________.

【解析】因为数列QUOTE为等差数列,a2+a8=a4+a6=2a5=10,所以QUOTE-2a5=102-10=90.答案:90三、解答题(每小题10分,共20分)9.两个等差数列{an}:5,8,11,…和{bn}:3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少个相同的项?【解析】方法一:设已知两数列的所有相同的项构成的新数列为{cn},c1=11,又数列5,8,11,…的通项公式为an=3n+2,数列3,7,11,…的通项公式为bn=4n-1,所以数列{cn}为等差数列,且d=12,所以cn100=302,b100=399,所以cn=12n-1≤302,所以n≤25QUOTE,所以已知两数列共有25个相同的项.方法二:因为an=3n+2,bn=4n-1,设an=bm,则有3n+2=4m-1(n,m∈N*)即n=QUOTEm-1(n,m∈N*).要使n为正整数,m必须是3的倍数.设m=3k(k∈N*),代入n=QUOTE≤3k≤100,且1≤4k-1≤100,所以1≤k≤25,所以共有25个相同的项.10.在等差数列{an}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.【解析】方法一:由等差数列的性质得a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.所以(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).所以a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.方法二:因为数列{an}是等差数列,所以a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差数列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差数列,所以30+(a11+a12+…+a15)=2×80,a11+a12+…+a15=130.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.已知函数fQUOTE=QUOTE,在等差数列QUOTE中,a7=7,a9=11,则fQUOTE= () B.2 【解析】7+a9=2a8,即7+11=2a8,所以a8=9,则fQUOTE=fQUOTE=1+log39=3.2.已知等差数列{an}满足a4+a5=24,a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,则{an}的公差为 () B.2 【解析】1+a2+a3+a4+a5+a6=48,所以3(a3+a4)=48,即a3+a4=16①,又因为a4+a5=24②,②-①得a5-a3=8,故d=QUOTE=4.3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5A.1升 B.QUOTE升 C.QUOTE升 D.QUOTE升【解析】选B.设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有QUOTE即QUOTE解得QUOTE所以a5=a1+4d=QUOTE,即第5节的容积为QUOTE升.4.(多选题)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值可以为() B.4 C.5【解析】1,由题意,可知QUOTE解得d>3.所以d的取值范围是(3,+∞).二、填空题(每小题5分,共20分)5.已知△ABC中三边a,b,c成等差数列,QUOTE,QUOTE,QUOTE也成等差数列,则△ABC的形状为________.

【解析】由题可得QUOTE②2-①,得2QUOTE2=ac,又(a+c)2=4b2,即(a+c)2=4ac,所以a2-2ac+c2=0,即(a-c)2=0,所以a=c,代入①,可得a=b=c,所以△ABC为等边三角形.答案:等边三角形6.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a4=________;a1+a2+…+a7=________.

【解析】由a3+a4+a5=3a4=12,所以a4=4,a1+a2+…+a7=7a4=28.答案:4287.在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=________.

【解析】在等差数列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,则log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=log2QUOTE=a1+a2+…+a10=20.答案:208.已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根组成首项为QUOTE的等差数列,则|m-n|=________.

【解析】因为y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴,设四个根分别为x1,x2,x3,x4,不妨设x1,x4为x2-2x+m=0的两根,x2,x3为x2-2x+n=0的两根,则QUOTE不妨令x1=QUOTE,所以x4=QUOTE,x2=QUOTE,x3=QUOTE,所以m=QUOTE,n=QUOTE,所以|m-n|=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)9.设数列{an}是等差数列,bn=QUOTE,且b1+b2+b3=QUOTE,b1b2b3=QUOTE,求通项公式an.【解析】因为b1b2b3=QUOTE,又bn=QUOTE,所以QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以a1+a2+a3=3.又{an}成等差数列,所以a2=1,a1+a3=2.所以b1b3=QUOTE,b1+b3=QUOTE,所以QUOTE或QUOTE所以QUOTE或QUOTE设等差数列{an}的公差为d,当a1=-1,a3=3时,d=2,所以an=-1+2(n-1)=2n-3;当a1=3,a3=-1时,d=-2,所以an=3-2(n-1)=-2n+5.综上所述,an=2n-3(n∈N*)或an=-2n+5(n∈N*).10.已知无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.(1)求b1和b2;(2)求{bn}的通项公式;(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项?【解析】数列{bn}是数列{an}的一个子数列,其序号构成以3为首项,4为公差的等差数列,由于{an}是等差数列,则{bn}也是等差数列.(1)因为a1=3,d=-5,所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项,即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1,所以bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n,即{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N*).(3)b503=13-20×503=-10047,设它是{an}中的第m项,则-10047=8-5m,解得m=2011,即{bn}中的第503项是{an}中的第2011项.11.已知等差数列{an}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=QUOTE(n∈N*),是否存在一个非零常数c,使数列{bn}也为