高中数学 9.4分期付款问题中的有关计算活页训练 湘教版必修4

9.4分期付款问题中的有关计算双基达标(限时20分钟)1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 ()．A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个解析由题意，这种细菌原有的个数，经过20分钟，40分钟，60分钟，…分裂后的个数分别为1，2，22，23，….这是一个等比数列，公比为2.因此经过3小时，这种细菌的个数为a10＝1·210－1＝29＝512.答案B2．有一弹性小球，从100米高处自由落下，着地后又弹跳到原距离的一半的高度，再次落下，这样继续下去，到第10次着地时小球共经过的距离为()．A．300米 B．299eq\f(39,64)米C．299eq\f(25,64)米 D．299eq\f(19,64)米解析共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)＝299eq\f(39,64)(米)．答案B3．夏季高山上气温从山脚起每升高100m就会降低0.7℃，已知山顶气温为14.1℃，山脚气温是26A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m解析由题意知气温值的变化构成了以26℃为首项，公差为－0.7℃差数列，记此数列为{an}，a1＝26℃，d＝－0.7℃，∴14.1＝26＋(n(－0.7)，解得n＝18，∴此山相对于山脚的高度为100×(18－1)＝1700(m)．答案C4．随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低eq\f(1,3)，年价格为8100元的计算机到年时的价格应为________．解析a4＝8100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝2400(元)．答案2400元5．某工厂的月生产总值平均增长率为p，则年平均生产总值的平均增长率为________．答案(1＋p)12－16．从房产公司购买住宅一套，价值22万元．首次付款2万元后，其余按年份分期付款，且每年付款数相同．如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和．问每年应付款多少元(精确到1元)？实际付款总额比一次性付款多付多少元？解设每年付款x元，由题意，得x＋1.03x＋1.032x＋…＋1.0314x＝200000×1.0315，eq\f(1.0315－1,1.03－1)·x＝200000×1.0315，∴x＝eq\f(200000×1.0315×0.03,1.0315－1)，由计算器得x≈16753(元)，实际共付款约为16753×15＋20000＝271295(元)，271295－220000＝51295(元)．所以，每年应付款约为16753元，实际付款总额比一次性付款多付了51295、元．综合提高限时25分钟7．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个死去1个……按照此规律，6小时后细胞存活数是 ()．A．33 B．64 C．65 D．127解析由an＝2an－1－1＝2(2an－2－1)－1＝…＝2n－12a0－(1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2n＋1，a6＝27－26＋1＝65.答案C8．有若干台型号相同的联合收割机收割一片土地上的小麦，若同时投入工作，到收割完毕需用24小时，现每隔相同的时间就有一台收割机投入工作，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完．如果第一台收割机的收割时间是最后一台的3倍，则用这种方法收割完这些小麦需用的时间为 ()．A．28小时 B．32小时 C．36小时 D．40小时解析依题意得，这些联合收割机投入工作的时间构成一个等差数列，按所规定的方法收割，数列的首项即为第一台收割机所需要的时间．设这n台收割机的工作时间依次为a1，a2，…，an小时，则数列{an}是一个等差数列，且每台收割机的工作效率为eq\f(1,24n)，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝3an，,\f(a1,24n)＋\f(a2,24n)＋…＋\f(an,24n)＝1，))eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(①,②))由②得a1＋a2＋…＋an＝24n，即eq\f(n（a1＋an）,2)＝24n，∴a1＋an＝48. ③①③联立解得a1＝36，故用这种方法收割完这些小麦共需36小时．答案C9．某地年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市的人口平均增长率为1%，为使年底该城市人均住房面积增加到至少7m2解析设该城市平均每年新增住房面积为x万m2，依题意得eq\f(6×500＋10x,500（1＋1%）10)≥7，化简得x≥350(1＋1%)10－300＝350(1＋Ceq\o\al(1,10)0.01＋Ceq\o\al(2,10)0.012＋…＋0.0110)－300≈350×1.1046－300≈86.6.∴该城市平均每年至少新增住房面积87万m2.答案8710．如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…)，则第n－2个图形中共有________个顶点．解析由五个图形观察可知，第n个图形是由正n＋2边形的每个边都向外“扩展”一个新的正n＋2边形而得到的，故第n个图形的顶点个数为(n＋2)＋(n＋2)2＝(n＋2)·(n＋3)．从而第n－2个图形顶点个数为n(n＋1)＝n＋n2.答案n＋n211．某地区位于沙漠边缘地区，人与自然进行了长期顽强的斗争，到年底，全地区的绿化率已达到30%，从年开始，预计出现以下变化：原有沙漠面积的16%栽上树，并成为绿洲；同时原有的绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．(1)设年底绿化率为a1，年底绿化率为a2，……，试将an＋1用an表示出来，并证明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5)))是等比数列．(2)至少经过多少年的努力，才能使全区的绿洲面积超过60%?(参考数据0.84＝0.4096；0.85＝0.32768；0.86＝0.262144；0.87＝0.2097152)解(1)设总面积为a(a>0)，则a1＝eq\f(3a,10).由题意得：a·an＋1＝a(1－an)·16%＋a·an(1－4%)．即an＋1＝eq\f(4,5)an＋eq\f(4,25).由an＋1－eq\f(4,5)＝eq\f(4,5)(an－eq\f(4,5))得：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5)))是等比数列，公比为eq\f(4,5).(2)由(1)得an－eq\f(4,5)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(4,5)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1).即an＝eq\f(4,5)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1).由an>eq\f(3,5)时，eq\f(4,5)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)>eq\f(3,5)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(n－1)<eq\f(2,5).由给出数据得n－1>4，∴n>5.即至少经过5年的努力，才能使全区的绿洲面积超过60%.12．(创新拓展)有一批影碟机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依此类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低单价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售．某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？解设该单位购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时，售价依台数n成等差数列，设该数列为{an}，则an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n.令800－20n≥440，解得n≤18.当购买台数小于18台时，每台售价为(800－20n)元，当购买台数大于等于18台时，每台售价为440元，到乙商场购买每台售价