新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第二册模块素养检测

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模块素养检测

（120分钟150分）

一、单项选择题（本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.复数为虚数单位）的虚部为（）

1+i

A.1B.-lC.±1D.0

【解析】选B.因为z」i"""j-i,所以复数z的虚部为-1.

（l+i）（l-i）

2.当前，国家正大力建设保障性住房以解决低收入家庭住房困难的问

题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180

户，假设第一批保障性住房中有90套住房用于解决这三个社区中90户

低收入家庭的住房问题,若采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应

从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（）

A.40B.30C.20D.36

【解析】选A.---------X90=40.

360+270+180

3.一组数据中的每一个数据都乘以2,再减去80,得到一组新数据,若求

得新数据的平均数是1.2,方差是4.4,则原来数据的平均数和方差分别

是（）

A.40.6,1.1B.48.4,4.4

C.81.2,44.4D.78.8,75.6

【解析】选A.设原来数据的平均数和方差分别为5和s,

44=22s,r=ll

则2/80=1.2,Mx5=40.6.

4.已知点0,N在4ABC所在平面内，且|而|二|而|=|oc|,NA+NB+NC=0,则

点0,N依次是4ABC的()

A.重心外心B.重心内心

C.外心重心D.外心内心

【解析】选C.由|OA|=|同二|od|知，0AABC的外心；由NA+NB+NC=0,

得病;而讲就，取BC边的中点D,则AN=NB+NC^2ND,知A,N,D三点共线，

且AN=2ND,故点N是ZkABC的重心.

5.一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键,则它敲击两次

(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为

()

9332

A.—B.—C.—D._

100501009

【解析】选A.任意敲击。到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为

(0,i)(i=0,1,2,…,9)；(1,i)(i=0,1,2,…，9)；(2,i)(i=0,1,2,…，9);

•••;(9,i)(i=0,1,2,…，9).故共有100种结果.两个数字都是3的倍数

的结果有

(3,3),(3,6),(3,9),(6,3),(6,6),(6,9),(9,3),(9,6),(9,9),共有9

9

种.故所求概率为——.

100

6.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA，平面

ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是（）

A.PB±AD

B.平面PABL平面PBC

C.直线BC〃平面PAE

D.直线PD与平面ABC所成的角为45°

【解析】选D.选项A,B,C显然错误.因为PA_L平面ABC,所以NPDA是

直线PD与平面ABC所成的角.因为ABCDEF是正六边形，所以AD=2AB.

因为tanZPDA=一二---=1,

AD2AB

所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.

【补偿训练】

在等腰RtaA'BC中,A'B=BC=1,M为A'C的中点，沿BM把它折成二面

角，折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

【解析】选C.如图所示，

由A'B=BC=1,NA'BC=90°,得A'C=&.

因为M为A'C的中点，所以MC=AM=—.

2

且CM_LBM,AM_LBM,所以NCMA为二面角C-BM-A的平面角.因为

AC=1,MC=AM上,所以NCMA=90°.

2

7.在AABC中，若（无+而）•（1-无）=0,则AABC为（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.形状无法确定

【解析】选C.因为（6A+C电）•（CA-CB）=0,

所以次一国二0,CA2=CB2,

所以CA=CB,AABC为等腰三角形.

【补偿训练】

圆0为AABC的外接圆，半径为2,若荏+而2而,且|明=|正|,则向量示

在向量而方向上的投影为（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】选C.因为谶+收2通所以0是BC的中点，故4ABC为直角三

角形.在△A0C中，有|五|二|正所以NB=30。.

由定义，向量BA在向量正方向上的投影为|威|cosB=2jW义卫3.

2

8.已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一球面上,底面ABCD是正方形

且和球心。在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等

于4+4始,则球0的体积等于（）

2B曜n

33

167232V2

C.------nD.--------n

33

【解析】选B.由题意可知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上,

底面ABCD是正方形且和球心。在同一平面内，当体积最大时，可以判定

该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可知底面正方形的对角线长度的

一半为球的半径r,且四棱锥的高h=r,进而可知此四棱锥的四个侧面均

是边长为Jlr的正三角形，底面为边长为&r的正方形，所以该四棱锥

的表面积为S=4X—(V2r)2+(V2r)2=2V3r2+2r2=(2V3+2)r2=4+4V3,因

4

此r2=2,r=y[2,

所以球0的体积V=±nr3=-nX2V^=：-兀

333

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的

得3分,有选错的得0分)

9.奥林匹克会旗中央有5个套连的圆环,颜色自左至右，上方依次为蓝、

黑、红，下方依次为黄、绿,象征着五大洲,I.在手工课上，老师将这5个

环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个,则事件“甲分

得红色”与“乙分得红色”是()

099

A.对立事件

B.互斥事件

C.不对立事件

D.不互斥事件

【解析】选BC.甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件;

又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事

件，故这两个事件不是对立事件.

10.下列说法:①一组数据不可能有两个众数；

②一组数据的方差必须是正数；

③将一组数据中的每个数据都加上或减去同一常数后,方差恒不变；

④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率.

其中错误的有（）

A.①B.②C.③D.④

【解析】选AB.若一组数据中，有两个或几个数据出现的次数相同且最

多，则这几个数据都是这组数据的众数.可见，一组数据的众数可以不

唯一，即①错误.一组数据的方差是标准差的平方，必须是非负数，即②

错误.根据方差的定义知③正确.根据频率分布直方图的定义知④正

确.

11.下列事件中，是随机事件的有（）

A.从集合｛2,3,4,5）中任取两个元素,其和大于7

B.明年清明节这天下雨

C.物体在地球上不受地球引力

D,盒子中有5个白球,2个红球,从中任取3个球,则至少有1个白球

【解析】选AB.A,B是随机事件;C是不可能事件;D是必然事件.

12.如图,在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中,0为底面正方形的中

心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点,判断下列结论正确的是（）

A.PC〃平面OMN

B.平面PCD〃平面OMN

C.OM±PA

D.直线PD与直线MN所成角的大小为90°

【解析】选ABC.连接AC,易得PC〃0M,所以PC〃平面0MN,结论A正确.

同理PD〃0N,所以平面PCD〃平面0MN,结论B正确.由于四棱锥的棱长

均相等，所以AB?+BC2=PA?+PC2=AC?,所以PC_LPA,又PC〃0M,所以0M_LPA,

结论C正确.由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点，所以MN〃AB.又四边形

ABCD为正方形，所以AB〃CD,所以直线PD与直线MN所成的角即为直线

PD与直线CD所成的角，即为NPDC.又三角形PDC为等边三角形，所以N

PDC=60°，故D错误.

三、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分.把答案填在题中

的横线上）

13.a为正实数，i为虚数单位，—=2,则a=.

I

—乙、a+i（a+i）*（-i）.

［解析］.一Fd-ai,

II•（一l）

则"7~|=11-a'I力02+1=2,

所以a2=3.

又因为a为正实数，所以a=J5.

答案：V5

14.如图所示,是在某一年全国少数民族运动会上,七位评委为某民族

舞蹈运动员打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分

后,所剩数据的平均数为,方差为.

79

844647

93

【解析】七位评委为某民族舞蹈运动员打出的分数

是:79,84,84,86,84,87,93,去掉一个最高分和一个最低分后所剩数据

1

是84,84,86,84,87,平均分等于g(84+84+86+84+87)=85,

则方差S2=-[3(84-85)2+(86-85)2+(87-85)2]=1.6.

答案：851.6

15.已知a,b表示不同的直线，a,B,丫表示不重合的平面.

①若aGB=a,bua,a_Lb,贝!Ja±0；

②若aua,a垂直于B内任意一条直线，则a±p；

③若aJ_B,aGB=a,aGy=b，则a±b;

④若a_La,bJ_B,a//b,则a〃B.

上述命题中，正确命题的序号是.

【解析】对①可举反例，如图，需bJ_B才能推出a±0；对③可举反例

说明，当Y不与a,B的交线垂直时，即可知a,b不垂直；根据面面、线

面垂直的定义与判定知②④正确.

答案：②④

16.已知两点A(T,O),B(-1,V3).0为坐标原点，点C在第一象限,且

ZA0C=120°,设心-3而+人而（入£R）,则X=,

【解析】由题意，得od=-3(7,0)+入(-1,V3)-(3-入，人),

因为NA0C=12。，

6心而

所以IOAIIOCl=一一，

2

s3-41

即；二二一,

J(3-2)2+3入22

3

解得人=-.

2

答案:三3

2

四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤)

17.(10分)青海玉树发生地震后,为了重建,对某项工程进行竞标,现共

有6家企业参与竞标,其中A企业来自辽宁省,B,C两家企业来自山东

省,D,E,F三家企业来自河南省,此项工程需要两家企业联合施工，假设

每家企业中标的概率相同.

⑴列举所有企业的中标情况；

(2)在中标的企业中，至少有一家来自山东省的概率是多少？

【解析】(1)所有企业的中标情况为：

AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF.共15种.

⑵在中标的企业中，至少有一家来自山东省的情况

有：AB,AC,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,共9种，在中标的企业中，至少有一

93

家来自山东省的概率是p=—

155

18.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

V3a-2bsinA=0.

(1)求角B的大小；

(2)若a+c=5,且a>c,b=V7,求A电•最的值.

【解析】(1)因为J3a-2bsinA=0,

所以inA_2sinBsinA=0,

因为sinA=AO,所以sinB号

又B为锐角，所以B二一.

3

(2)由(1)知，B=[b=«,

3

所以根据余弦定理得7二a2+c;2-2accos—,

3

整理得(a+c)2-3ac-7,又a+c-5.

所以ac=6,又a>c,所以a=3,c=2,

b2+c2-a27+4-9V7

于是COSA二

2bcm14'

所以靛•AC=IABIIACICOSA=2XV7X—=1.

14

19.(12分)如图,直三棱柱ABC-A.B,C,中,D,E分别是AB,BBi的中点.

⑴证明:BG〃平面ACD;

⑵设AA尸AC=CB=2,AB=2企,求三棱锥C-A,DE的体积.

［解析］(1)连接AC,交AiC于点F,连接DF,

则F为AG的中点.

又D是AB的中点,则BG〃DF.

因为DFu平面A£D,BCQ平面AiCD,

所以BG〃平面A,CD.

⑵因为ABC-ABG是直三棱柱，所以AA」CD.

因为AC=CB,D为AB的中点,

所以CD±AB,又AA,HAB=A,

所以CD_L平面ABBA.

由AAFAC二CB=2,AB=2企得

NACB=90°,CD=衣,A氏庭,DE=，5,AB3,故AMDE?二AE,即DE±A1D.

所以V三棱锥c_A^E=-X-Xy/^Xyf3X\[2=l.

20.(12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取

M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数,根据此数据

作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

频频

分组

数率

[10,0.2

10

15)5

[15,

25n

20)

[20,

mp

25)

[25,0.0

2

30)5

合计M1

（1）求出表中M,p及图中a的值；

⑵若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次

数在区间［10,15）内的人数.

10

【解析】（1）由分组［10,15）内的频数是10,频率是0.25知,一二0.25,

M

所以M=40.

因为频数之和为40,所以10+25+ni+2=40,解得m=3,故p=-=—=0.075.

M40

-24

因为a是对应分组［15,20）的频率与组距的商,所以a=-=0.125.

40X5

⑵因为该校高一学生有360人,分组［10,15）内的频率是0.25,所以估

计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为

360X0.25=90.

21.（12分）在锐角AABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且

V3a=2csinA.

（1）确定角C的大小；

⑵若c=V3,求AABC周长的取值范围.

【解析】（1）已知a,b,c分别为角A,B,C所对的边,由J3a=2csinA,得

V3sinA=2sinCsinA,

又sinA#0,则sinC=?,所以C=g或C=p

因为AABC为锐角三角形，所以C不舍去,

所以C『.

3

⑵因为c=J3,sin，二号，所以由正弦定理得:

a_bc_V3_o

sinAsinBsinC会

2

即a=2sinA,b=2sinB,

又A+B=n-C=—,

3

即B等A,

所以a+b+c=2(sinA+sinB)+V3

=2[sinA+sin(空—A)]+V^

=2(sinA+sin