概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布教案

第二章随机变量及其分布

一、内容提要

(-)随机变量

1.随机变量的定义设随机试验£的样本空间为Q={«},如果对于任意的。eQ,都有唯一

的实数X(。)与之对应,则称X(。)是定义在样本空间C上的一个随机变量。

随机变量常用大写字母X,几Z等表示。

2.随机变量的两种主要类型

(1)离散型随机变量X:X只能取有限个值或可列个值。

(2)连续型随机变量X:若存在一定义在(-8,+8)内的非负函数网，使对任意的a,b{a<坛,

都有

P[a<XW。}=jp(x)dx,

则称X为连续型随机变量。

连续型随机变量X可取某个有限区间[a,句上或无限区间(-00,+00)内的一切值。

3.随机变量的分布函数：设X是一随机变量，则称函数

F(x)-P[X<x},—oo<x<+<x>

为％的分布函数，它表示事件{X4A)的概率。

(1)分布函数的基本性质

①为非负、单值不减函数，即对任意*1〈及，有片,1)48及);

②F(-^x))-limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1;

XT-00XT+CO

③04F(x)Wl;

④片M为右连续函数，即对任意x有片x+0)=HM.

这一分布函数的定义，对离散型或连续型随机变量都适用。

(2)分布函数8用能全面完整地描述随机变量，是描述随机变量的重要工具之一。

①对任意6,有P{XW圻=F(b),即X取值不超过任意实数b的概率，等于其分布函数在这

一点的函数值。

②对任意a<b,有P{a<X<例=F(b)-F(a)，即Xe(a,b］的概率等于其分布函数在该区

间上的改变量。

③对任意/?,有尸{X=4=F⑸-F(b-0),即X取任一点的概率，等于其分布函数在该点

的函数值与左极限的差。

(二)离散型随机变量的概率分布

1.离散型随机变量的概率分布(或分布列)

设离散型随机变量X可能取到的值为Xl,X2.................X取各个值的相应的概率为

P{X=xJ=Pk，*=1,2,3,…)，则称P{X=xj=Pk为X的概率分布。

分布列有时也由表格给出

XAiX2

PPlPl...Pk

2.分布列的基本性质

(1)以20#=1,2，…;

(2)±Pk=L

k=\

3.分布列与分布函数的关系：分布列与分布函数可以相互唯一确定，并都能对随机变量进行完

整描述：

(1)若已知P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，则X的分布函数为

F(x)=P{X<x}=^pk,-oo<x<+oo;

(2)若已知X的分布函数GM,则的各间断点就是X的可能值，且

%=P{X=xJ=F(Xk)-F(x「0),k=1,2,….

4.几种常用的离散型分布

(1)两点分布(贝努里分布)

P[X=k}=pk(l-p)'-k,k=0,\.

即

X01

P1-pp

(2)二项分布

如果随机变量X的概率分布为

P{X=4}水=0,1,2,…〃.其中0＜夕＜1,g=l”，则称X服从参数为夕的二

项分布，记作X~B(〃R).

若用X表示在〃重贝努里试验中事件/发生的次数，则

X~B^n.p),其中p=RA)。

特别地，当〃=1时，二项分布化为

P{X=k}=pkqi,(k=0,l)

这就是两点分布(0—1分布).

(3)泊松分布

如果随机变量X的概率分布为

P{X=%}=^^,d,1,2,…).

则称X服从参数为入(入>0)的泊松分布，记作x~Ti(x).

泊松定理设随机变量Xn,(77=L2,...)服从二项分布，其分布为

k

p{xn=k}=c：p：(1-P,y-=0,1,2,••.,/?)

此处?是与〃有关的数.又设np“—+oo),则有

忸P{X”=止4一/

由此定理可见，若x~,则当“较大，。较小时，有近似公式

-2

P{X=曷=C：p"“T«——,(k=0,1,2,…,〃)，其中\=np.

(4)几何分布

如果随机变量X的概率分布为

P{X=灯=〃/T,(左=1,2,…).

其中0</?<1,q=l-p,则称X服从参数为夕的几何分布。

(5)超几何分布

如果随机变量X的概率分布为

其中M,N,〃都是正整数，目ji£N—M,l=min(M,n),则称X服从超几何分布。

(三)连续型随机变量的密度函数

L*的密度函数：设X为随机变量，为其分布函数，如果存在非负可积函数AM,使对一

切实数x,有

尸(x)=JLp(t)dt.

则称/XM为X的概率密度函数。

显然在AM的连续点x处，有F(M=/XM,这就是密度函数与分布函数之间的关系。

2.密度函数/XM的基本性质：

(1)刖0；

(2)JUp(x)公=1；

⑶P{X1<XW々}=J：P⑺4=尸(々)-F(x,);

px+Av

(4)P[x<X<%+Ax}=JpQ)dt=p(x0)Ax,其中x<x0<x+Ax.

(5)对连续型随机变量X在任一指定点府处，其概率为零。

即P{X=x0}=0。

3.几种常用的连续型分布

(1)均匀分布：对有限数a,E(a>母，若X具有密度函数

1

,a<x<b,

P(x)=<b-a

0,其它.

则称X服从均匀分布，记为X~U[a,b]。

分布函数为

0,x<a,

x-a

尸(x)=a<x<b,

b-a

1,x>b.

显然双切20且

0•KC「a1

=

LP（x）公力"一clx10

（2）指数分布：若X具有密度函数

,、及弋x>0,2>0,

p(x)={

0,x<0.

称X服从参数为人的指数分布。

显然双心0

jp(x)dx=J。p(x)dx=1.

分布函数为

l-e-Zt,x>0,

尸（幻=

0,x<0.

指数分布适用于元件寿命、动物寿命、服务时间等实际问题。

(3)正态分布：在理论和实践中，正态分布都是非常重要的一种分布。

1.一般正态分布

①密度函数：若X具有密度函数

](?/

P(X)=--■一,e，-00<%<+00.

则称X服从参数为〃，。的正态分布(高斯分布)，记为X~N(%S)

②密度函数的性质：

1)xXM处处连续；

2);XM>0;

3)(p(x)dx=l;

4)曲线关于后〃对称；

5)p(〃)=I—最大;

72兀o

6)当x=〃±cr时有拐点(〃-a,2—),(//+<7,;

■>j2e7i<j12碇cr

7)渐近线为x轴，即片0;

8)当c固定时，曲线形状不变，而位置随p的不同而改变；当口固定，曲线位置不变，但形

状随c的不同而改变，。越大曲线越扁平，即分布越分散，。越小，曲线越陡峭，即分布越集中。

③分布函数为

](1“I

F(x)=P{X<x}=-p=-「dt.

n.标准正态分布

①密度函数：若x具有密度函数

1H

夕(%)=e2,-oo<x<+oo.

则称X服从标准正态分布(高斯分布)，记为X~N(%『)

②密度函数的性质：有与一般正态分布完全类同的性质。

③分布函数

产1--

①(x)=P{X<%}=[,—e2dt.

2兀

(编有专门的标准正态分布函数表，供查用)

对标准正态分布，必须记住：

①(一口)=1—①(。),(1>0)。

60)=1

2

P[a<x<b]=^(p{x}dx=①(0)-①(a).

m.一般正态分布与标准正态分布的关系：

①若x~N（M，/）,则随机变量y二上幺服从标准正态分布,BPK~/V（O,1）.

（7

②若X~N（M，）,要求P{xt<X<x2}可转化为求

PP<j<»}.

(J(JCT

其中令y=甚二4

即有p{玉<x</}=p{土二幺<丫<三二"}

aa

=o（^^）-a）（^z2£）o（查表）

aa

_~“、zX-[IC-LI.w/C-〃、,__I-、

又P[X<c}=P[——-<--}=O(―竺)。(查表)

(Ja(J

P{X>c}=l-P{X<c}=l-P{立幺<丝幺

(TCT

=1-①（匚4）。（查表）

（7

③“三一b"原则：若*~N（〃Q2）,则有

丫=以

P{〃-cr<x<〃+b}0P{-l<y<l}

=①⑴—①(―1)=0(1)-[1-0(1)]

=2①(1)—1=0.6846

P{〃-2b<X<〃+2cr}=2①⑵-1=0.9545

P{〃-3cr<X<〃+3cr}=2①⑶-1=0.9973

(四)随机变量函数的分布

L随机变量函数的定义：设是一个实函数，若随机变量X取值x时，随机变量卜取值4M,

则称随机变量％是X的函数，记作/=/(A)o

如果X的分布已知，则可以确定其函数上4万的分布。

2.离散型随机变量函数的分布

设离散型随机变量X的概率分布"=&¥=},(4=1,2,...),则上不用也为离散型随机变量，取值

为次""=12...).

(1)若次“)，(攵=1,2...)的值全不相同，则『=42的概率分布为

Y力yk

PP1P2PiPk

(2)若次")，(代1,2,...)的值有相同的，则把那些相等的值分别合并，并用概率加法公式将

相应的概率值相加，即得至!l『的概率分布。例如在诸心,(〃=1,2,...)中，

有y&i=/(x&i)-/(xk2)=…=/(x*,),

则P{y=%}=P{f(x)=%}=p{x=%}+P{x=42}+-+P{x=Xh}

Pk\+Pk2+…+07。

3.连续型随机变量函数的分布

设X的概率密度为制切，则可以确定其函数上44的概率密度夕«。常采用"求分布函数”

的方法。即先求『=4内的分布函数。

FY（y）=P{Y<y}=P{f（X）<y}=\px（x）dx.

然后对上式两边关于y求导，则可求出P的密度函数。

特别地，若连续型随机变量X的概率密度为

[>0,a<x<b,

，、（咋0,其它.

此处a可以是-8,6可以是+8,且片严格单调，则上”0的概率密度

,,Px（g（y））|g'（y）|，a<y</3,

0,其它.

其中*=则是片七）的反函数,a=min{4a）,e）},/=max伍a）,肌）}.

二、要求

1.充分理解随机变量的概念，并学会用随机变量取某值（某范围内的值）来表示随机事件。

2.深刻理解随机变量的分布函数、离散型的分布列、连续型的密度函数的概念；掌握它们的基

本性质；学会用分布函数或概率分布（密度）来完整地描述随机变量；知道分布列（密度函数）与

分布函数之间的关系。

3.掌握几种常用的一元分布及其适用范围。

(1)二项分布：分布列(〃=1即两点分布)，在〃较小时会计算概率。

(2)泊松分布：分布列、概率计算、二项分布逼近泊松分布。

(3)均匀分布：密度函数、分布函数、计算概率。

(4)指数分布：密度函数、分布函数、计算概率。

(5)正态分布：

①X~N3d)：密度函数、分布函数，计算相应概率、"三。"原则。

②*~2(0,1)：密度函数、分布函数及其性质，熟练使用标准正态分布表，解决概率的计算

问题。

③熟练掌握将一般正态分布通过标准化变量Y=红幺代换，转化为标准正态分布，从而解决

(J

服从分布N(出/)的y在某区间内取值的概率的计算问题。

4.会求离散型随机变量函数的概率分布，会求连续型随机变量函数的概率密度。

三、例题分析

例1袋中有12个大小规格相同的球，其中含有2个红球，从中任取3个球，求取出的3个

球中红球个数的分布列及分布函数。

分析这是一个求离散型随机变量X的分布列问题，其关键就是要分析X所能取哪些值并求出

取得这些值的相应概率。

解设X表示取出的3个球中红球的个数，显然X是离散型，只能取值0,1,2,利用古典概

率计算公式得:

「代。卜管卡。尔

2

P{X=1}=C'CN9=0.409

Cl22

c；c；。_=J-o.O46

P{X=2}==

G；22

所以X的分布列为

X012

P0.5450.4090.046

X的分布函数

/（X）=ZP"

4女

0,x<0,

0.5450<x<1,

即尸（幻=

0.9541<x<2,

1,x>2.

例2设随机变量X的概率分布为

X0246

P0.10.20.30.4

求(1)X的分布函数；(2)P[-1<X<3}；(3)P[2<X<8}；(4)P{X>0}.

分析X服从离散型分布，只能取0,2,4,6这4个值。由F(x)=P{X<x}=£PA知，

为分段函数。利用X的概率分布可求出X取值于任意区间的概率。

解(1)当*<0时，尸(幻=P{乂48=0;

当0”<2时，尸(x)=P{X4x}=P{X=0}=0.1;

当2wx<4时，F(x)=P{X=0}+P{X=2}=0.1+0.2=0.3;

当44x<6时，F(x)=P{X=0}+P(X=2}+P{X=4}

=0.1+0.2+03=0.6;

当X26时，F(x)=P[X=0}+P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}

=0.1+0.2+03+0.4=1.

所以X的分布函数为

0,x<0,

0.1,0<x<2,

F(x)=<0.3,2<x<4,

0.6,4<x<6,

x>6.

(2)P{-1<Xv3}=P{X=0}+P{X=2}=0.1+0.2=0.3.

(3)尸{2<X<8}=P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}=0.2+03+0.4=0.9.

(4)P{X>0}=1-P{X<0}=1-P{X=0}=1-0.1=0.9.

例3某人有5发子弹，向一目标射击，每次命中率均为0.9，若击中目标或子弹用尽就停止射

击，求其射击次数X的概率分布。

分析射击次数X可能取值为1,2,3,5,然后计算取这些值的概率。

解射击次数X所有可能的取值为1,2,3,4,5,其概率分布为

HX=l}=0.9,

RX=20}=0.1x0.9=0.09,

P{X=3}=0.12x0.9=0.009,

P{X=4}=0.13X0.9=0.0009,

P{X=5}=0.14X0.9+0.15=0.0001.

概率分布为

X12345

P0.90.090.0090.00090.0001

例4电话总机站为300个用户服务，一小时内每一用户使用电话的概率为0.01,求在一小时

内：

(1)恰有4个用户使用电话的概率；

(2)最多有4个用户使用电话的概率。

分析这是二项分布问题，既可由二项分布公式计算概率，也可用泊松分布(仍=3)近似计算其

概率。

解设X为在一小时内使用电话的用户数

(1)*~8(300,0.01):按二项分布精确计算得

P{X=4}=4(0.01)4(0.99)%=0.1689

按泊松分布近似计算，由/l=〃p=3«=4

34

得P{X=4}==0.1681。(查表)

4!

43%

(2)P{0<X<4}==°-81530(查表)

&=ok]

例5设X分布列为P{X=灯=。丁，(攵=0,1,2,…">0)，求(1)确定常数C；(2)求

k\

X落在[1,3)内的概率。

分析确定分布列(密度函数)中的常数C,能利用总概率为1的基本性质。

00#

解(1)由不—1,

%=0匕

即ceA=1,

得c=e”.

从而P(X=k}=­e~\

(2)P{l〈X<3}=P{X=l}+P{X=2}=^eT+ge-"=—产厂,

只要给人以定值，则概率就完全确定了。

例6设X服从参数为A的泊松分布，已知P{X=1}=P[X=2},试求P{X=4}.

分析首先要利用所给条件确定参数人。

解因P{X=曷=刀6*(^=0,l,2,---,A>0),

kl

由P{X=1}=P{X=2},

即42—24=0.

得符合条件入>0的解入=2(入=0舍去)

?4?

从而P{X=4}=—e-2=—e-2.

4!3

例7为了保证设备正常工作，需要配备一定数量的维修工人，现有同类型设备300台，各台

设备工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01。在通常情况下，一台设备发生故障只需一个工

人进行维修。问至少配备多少工人才能保证设备发生故障时能及时维修的概率大于0.99?

分析以“表示发生故障的台数，由于每台机器只有"正常"和"发生故障"两种状态，而且

机器的工作是相互独立的，所以X服从二项分布，即X~8(300,0.01),本题要求确定维修工人

数/V使得当设备发生故障时能及时维修的概率大于0.99，即求/V使得P{X4N}>0.99.由于〃=300,

p=0.01满足泊松近似公式的条件，因而RX4M可用泊松分布来作近似计算。

解以X表示机器发生故障的台数，则X~8(300,0.01),设需要配备/V名维修工人，使得

P{X<N}>0.99.

由于〃=300较大，P=0.01较小，入=/70=300x0.01=3,利用泊松定理得：

P{X〈N}=1—P{X>N}

300

=1-^CjooO.OfO.Q^00-*

k=N+l

-1-7—；—.

Jb\

k=N+\

工3心一3

所以1一工-->699,

k=N+l匕

W3〃©一3

即ZjJ〉0.OL

k=N+lk!

查泊松分布表得

N+l=9,N=8,

即只需配备8名工人即可。

例8一本500页的书，共有500个错字，每个错字等可能地出现在每一页上，试求在给定的

一页上至少有3个错字的概率。

解观察每一个错字是否出现在给定的一页上，共有两种可能，或者是"出现"，或者是"不

1499

出现"。"出现"的概率为〃=三W，"不出现”的概率为q=*•观察500个错字是否出现在给

500500

定的一页上，可看作为500重的贝努里试验。以X表示出现在给定一页上的错字数，则X~B(500,

-7)•所求事件的概率为

50014QQ

P{X23}=之<(」-)*(竺为…

£500500500

由于a=500较大，p=+较小，可利用泊松定理作近似计算，这里\=np=l,所以

P{X>3}=1-P{X<3}

=1-P{X=0}—P{X=1}—P{X=2}

—\—\q

«1—e'——------=1e1~0.08.

1!2!2

或者

5001J.QO

P{X23}=甘4(―)A(—)500-t

金500500500

««o.o8.(查泊松分布表)

Mk!

例9从发芽率为0.99的种子中，随机取出100粒，求发芽数不少于97粒的概率。

分析观察一粒种子发芽与否可看作一次独立试验，随机取100粒种子观察其发芽情况，可看

作100重的贝努里试验。令P表示在100粒种子中发芽的种子数，则八6(100,0.99),所求事

件为名险97},直接用二项分布计算此概率太麻烦。考虑到在泊松定理中，当〃较大，夕较小时有

力

C\pkq"-k«—e-\A=〃p).在本例中，由于a=100较大，夕=0.99也较大，不能直接用泊松定理

k!

进行近似计算。在二项分布中，夕+q=l,夕较大时，g必定较小，因此，设X表示在100粒种子中

不发芽的种子数，则X~B(100,0.01),发芽数不少于97粒，即不发芽数小于等于3粒。所求的

事件可表示为{X43},这时已满足泊松定理的条件，可用泊松定理作近似计算。

解观察1粒种子发芽与否可看一次独立试验观察100粒种子发芽的情况可看作100重的贝

努里试验，以X表示在100粒种子中不发芽的种子数，则X~B(100,0.01),所求事件的概率为

3

P{X«3}=^^0.01*0.9910°-*

k=O

由于n=100较大，p=0.01较小，可利用泊松定理进行近似计算,这里入=〃夕=1.所以

尸{X<3}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

l°e-'I'e-1l2e-'l3e-'

1-----1-----1------1----

0!1!2!3!

o

=-e-1«0.98.

3

或者P{X<3}=1-P{X>3}

100

=1-£。1%。。/899吟

4=4

上

£k!

查表

===1—0.01899=0.98.

评注从例7~例9中可以看出，巧妙地利用二项分布，可以解决许多实际问题，且当满足一

定条件时，可用泊松定理对二项分布进行近似计算。

(1)当〃较大("250),夕较小(。40.1)时，有

n*-a

。34*铝-,(4=印).

KI

(2)当〃较大(77250),夕较大(夕20.9)时，有

C；pkq“-k=

yi-k-A,

«------,(Z=nd).

(n-Q!

例10某商店出售某种商品，据历史记录分析，月销售量遵从泊松分布，参数为5，问在月初

进货时要库存多少此种商品，才能以0.95的概率不脱销。

分析由题意知，月销售量X~n(5),要确定月初的库存数n,使得

P{X<«}>0.95.

解以X表示月销售量，由题意知X~TI(5),设月初要库存n件此种商品，便得

P{X<«}>0.95,

或者P{X>n}<0.05,

即P{X>n}=^-<0.05.

*=»+!k]

查泊松分布表得〃+1=10,77=9.

即月初的库存至少9件，才能以95%的概率不脱销。

例11(1)乘以什么常数将使e5(F<x<y),变成概率密度函数；

(2)设p(x)=("国，验证其为某一随机变量的概率密度。

分析随机变量X的概率密度/XM满足性质①向切20,②「〃(x)dx=1.(1)设乘上常数K,

J-00

使Ke中成为概率密度函数，应满足CKe~^dx=1,由此可确定常数Ko(2)要验证向⑼是否为

J-oo

某一随机变量的密度函数，只需验证/XM是否满足上述两条性质。

解(1)设乘上常数K使Ke^成为概率密度函数，须满足

CKe^dx=l

J-oO

而rKe^dx=2KCexdx^IK,

J-RJ()

所以得K=

2

即乘上常数!，将使6卡成为概率密度函数。

2

(2)因为

①p(x)=ge，">0,

②「,p(x)必：=/用；6一*公=『6-"公=1.

所以P")=10川为某一随机变量X的概率密度。

例12设随机变量X的密度函数为

-1

5，1<x<2,

p(x)=1Cx,2vxe3,

0,其它.

求（1）常数C；（2）P{-1<X<2},P{|X|>2）,P{X<|}.

分析（1）常数C,可由「p（x）dx=1来确定.（2）有关事件的概率，可利用性质"连续型

J-00

随机变量取值于某一区间的概率等于其密度函数在相应区间上积分"来求出。

解由于/XM是随机变量X的概率密度，所以有

p(x)dx=1

(•21.3

]—<Zr+Cxdx

解得

1<x<2,

所以P(x)=<2<x<3,

其它.

(2)P{—l<X<2}=J：〃(x)dx

plf2]

[Odx+\—dx

3Ji2

P{|X|>2}=P{X<—2救>2}=P{X>2}+P{X<-2}

3If+=cf-2|

—dx+[Odx+[Odx=—,

J25J3Jy2

5

P{X<-}=p〃(x)dx

2J-8

i214129

=f[Odx+f[—dx+\2-xdx=—.

J-Ji2J2540

例13设随机变量X的密度函数为

x,0<x<1,

p(x)=<2-x,1<x<2,

0,其它.

求分布函数

分析已知随机变量X的密度函数双切，可以求出X的分布函数汽。由定义F(x)=「p⑴dt.

J-QO

在本题中，由于被积函数夕(M是一个分段函数，因此「「⑺刈应根据x的取值分段进行计算。

J-QO

解当x<0时，

F(x)=P{X<x}=fp(t)dt—[Odt=0;

J-coJ-00

当0<x<l时,

2

F(x)=J：pQ)八+5-

当l<x<2时,

尸(x)=「p⑴出

J-oo

当止2时，

=「p(t)dt

J-oo

=Jf(),O4+]flj4+Jf2(2-f)d/+J”,O4=l。

0,x<0,

x2

0<x<I,

~2,

所以F(x)=<

-----F2x-I,I<x<2,

2

],x>2.

例14设连续型随机变量X的概率密度为

/A,|x|<1,

p（x）=<71-x2

0,|x|>l.

求（1）系数A,（2）随机变量X落在（T，g）内的概率，（3）分布函数虫）.

解（1）因为「'〃（幻心=1,

J-00

所以有

解得

71

|x|<1,

于是有P(x)=

|x|>1..

⑵叫菽i

1-12

—arcsinx2_

—"3

712

(3)因为F(x)=[,“⑺今,所以有

当x<-l时，F(x)=「Odf=O;

J-co

当-14X<1时

尸(x)=「'Odr+「一萼—

J"%近方

1.i11

=—arcsinx.=—+—arcsinx;

711-1271

当应1时，/(x)=/0d/+f,+「04=1.

0,xW-1,

即F(x)=<—+—arcsinx,-1<x<1,

271

1,x>1.

评注由例11~例14可以看出：对于连续型的随机变量X而言

(1)若概率密度函数/XM中含有待定常数，可利用性质「"p(x)dx=1求出该常数.

J-00

(2)若已知X的概率密度函数凤M,可由P{Xe。}=Jp(x)dx求出x取值于区间D上的概

D

率。当夕(M是分段函数时，积分Jp(x)dx要采用分段积分。

D

(3)若已知X的密度函数网,可以确定X的分布函数,即/(x)=「〃。)以当/XM是

J-OC

一个分段函数时，积分「p(r)，〃必须根据/XM的分段情况，分别进行计算，从而求出在不同的分

J—00

段区间上的表达式，然后合并写出分布函数3

例15设连续型随机变量X的分布函数为

[0,x<-a.

C.X

F(x)=<A+oarcsin—,-a<x<a,

a

1,x>a.

其中a>0,试求(1)常数A8;(2)P]|X|<今；(3)密度函数出).

解(1)因为GM在(-8,+8)上连续，所以有

F(-a4-0)=F(—a),F(a+0)=F(a)。

7TJI

即A--B=0,A+-B=l

2