2024秋高中数学单元评估验收一达标检测含解析新人教A版必修5

PAGE1-单元评估验收(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝k，b＝eq\r(3)k(k>0)，A＝45°，则满意条件的三角形有()A．0个 B．1个C．2个 D．多数个解析：由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(\r(6),2)>1，即sinB>1，这是不成立的．所以没有满意此条件的三角形．答案：A2．在△ABC中，已知a＝eq\r(2)，b＝2，B＝45°，则角A＝()A．30°或150° B．60°或120°C．60° D．30°解析：由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得，sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(\r(2),2)sin45°＝eq\f(1,2)，又因为b＞a，故A＝30°.答案：D3．对于△ABC有如下推断，其中正确的推断是()A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形B．若A>B，则sinA>sinBC．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D．若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形解析：在△ABC中，对于A，若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，当A＝B时，△ABC为等腰三角形；当A＋B＝eq\f(π,2)时，△ABC为直角三角形，故A项不正确．对于B项，若A>B，则a>b，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，即sinA>sinB成立．故B项正确．对于C项，由余弦定理可得：b＝eq\r(82＋102－2×8×10×\f(1,2))＝eq\r(84)，只有一解，故C项错误．对于D项，若sin2A＋sin2B<sin2C，由正弦定理得a2＋b2<c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故D项正确．答案：BD4．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB＝()A．±eq\f(\r(5),3) B．eq\f(2,3)C．－eq\f(\r(5),3) D．eq\f(\r(5),3)解析：因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以eq\f(15,sin30°)＝eq\f(20,sinB)，解得sinB＝eq\f(2,3).因为b>a，所以B>A，故B有两解，所以cosB＝±eq\f(\r(5),3).答案：A5．在△ABC中，已知cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形解析：由cosAcosB＞sinAsinB，得cosA·cosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＞0，所以A＋B＜90°，所以C＞90°，C为钝角．答案：C6．如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处须要的时间为()A．eq\f(1,2)小时 B．1小时C．eq\f(3,2)小时 D．2小时解析：在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，eq\f(35,35)＝1(小时)，因此甲船到达B处须要的时间为1小时．答案：B7．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m＞0)，因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＞c，,a＋c＞b，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m（2k＋1）＞2mk，,3mk＞m（k＋1），))所以k＞eq\f(1,2).答案：D8.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为()A．50m B．45mC．50eq\r(7)m D．47m解析：由题知，OD＝100，DC＝150，因为DC∥OA，∠AOB＝120°连接CO在△ODC中，由余弦定理得：OC2＝OD2＋DC2－2OD×DC＝1002＋1502－2×100×150cos60°OC＝50eq\r(7)故选C.答案：C9.如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝eq\f(π,3).若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是()A．△ABC的内角B＝eq\f(π,3)B．△ABC的内角C＝eq\f(π,3)C．四边形ABCD面积的最大值为eq\f(5\r(3),2)＋3D．四边形ABCD面积无最大值解析：因为eq\r(3)(acosC＋ccosA)＝2bsinB所以eq\r(3)(sinAcosC＋sinCcosA)＝2sin2B所以eq\r(3)sin(A＋C)＝2sin2B所以eq\r(3)sinB＝2sin2B所以sinB＝eq\f(\r(3),2)因为∠CAB＝eq\f(π,3)，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，所以B＝eq\f(π,3)，所以C＝π－A－B＝eq\f(π,3)，因此A、B正确；四边形ABCD面积等于S△ABC＋S△ACD＝eq\f(\r(3),4)AC2＋eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(\r(3),4)(AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC)＋eq\f(1,2)AD·DC·sin∠ADC＝eq\f(\r(3),4)(9＋1－6·cos∠ADC)＋eq\f(1,2)×3sin∠ADC＝eq\f(5\r(3),2)＋3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADC－\f(π,3)))≤eq\f(5\r(3),2)＋3，因此C正确，D错误．答案：ABC10．＝eq\f(c－b,2c)，则△ABC的形态为()A．等边三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形解析：由已知可得eq\f(1－cosA,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(b,2c)，即cosA＝eq\f(b,c)，b＝ccosA.法一由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，则b＝c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．法二由正弦定理，得sinB＝sinCcosA.在△ABC中，sinB＝sin(A＋C)，从而有sinAcosC＋cosAsinC＝sinCcosA，即sinAcosC＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosC＝0.由此得C＝eq\f(π,2)，故△ABC为直角三角形．答案：B11．一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶，如图，到A处时测得马路北侧一铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为()A．eq\f(100\r(6),3)m B．50eq\r(6)mC．100eq\r(3)m D．100eq\r(2)m解析：设此铁塔高h(m)，则BC＝eq\r(3)h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝200.依据正弦定理得eq\f(\r(3)h,sin30°)＝eq\f(200,sin45°)，解得h＝eq\f(100\r(6),3)(m)．答案：A12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3若CB＝2CD，cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，则()A．sin∠CDB＝eq\f(3,10)B．△ABC的面积为8C．△ABC的周长为8＋4eq\r(5)D．△ABC为钝角三角形解析：因为cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，所以sin∠CDB＝eq\r(1－cos2∠CDB)＝eq\f(2\r(5),5)，故A项错误；设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，解得a＝eq\r(5)，所以S△DBC＝eq\f(1,2)BD·CD·sin∠CDB＝eq\f(1,2)×3×eq\r(5)×eq\f(2\r(5),5)＝3，所以S△ABC＝eq\f(3＋5,3)S△DBC＝8，故B项正确；因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos∠CDB＝eq\f(\r(5),5)，在＝2eq\r(5)，所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2eq\r(5)＋2eq\r(5)＝8＋4eq\r(5)，故C项正确；因为AB＝8为最大边，所以cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝－eq\f(3,5)<0，即∠C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D项正确．答案：BCD二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC＝________．解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－eq\f(2,3)ab.依据余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋b2－a2－b2＋\f(2,3)ab,2ab)＝eq\f(1,3)，所以cosC＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)14．＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝eq\f(5b,3)，c＝2a－b＝eq\f(7b,3)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，又0＜C＜π，因此角C＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)15．在△ABC中，A满意eq\r(3)sinA＋cosA＝1，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，则△ABC的面积为________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(3)sinA＋cosA＝1，,sin2A＋cos2A＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinA＝\f(\r(3),2)，,cosA＝－\f(1,2).))所以A＝120°，由正弦定理得eq\f(2,sinC)＝eq\f(2\r(3),sinA)，所以sinC＝eq\f(1,2).因为AB<BC，所以C＝30°，所以B＝30°，所以S＝eq\f(1,2)AB×BC×sinB＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sin30°＝eq\r(3).答案：eq\r(3)16．太湖中有一小岛C，沿太湖有一条正南方向的马路，一辆汽车在马路A处测得小岛在马路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km到达B处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到马路的距离是________km.解析：如图所示，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km)．答案：eq\f(\r(3),6)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB＝3，bsinA＝4.(1)求边长a；(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长l.解：(1)由题意得：eq\f(acosB,bsinA)＝eq\f(3,4)，由正弦定理得：eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)，所以eq\f(cosB,sinB)＝eq\f(3,4)，cos2B＝eq\f(9,16)sin2B＝eq\f(9,16)(1－cos2B)，即cos2B＝eq\f(9,25)，由题意知：a2cos2B＝9，所以a2＝25，得a＝5或a＝－5(舍去)．所以a＝5.(2)因为S＝eq\f(1,2)bcsinA＝2c，所以，由S＝10得c＝5，应用余弦定理得：b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝2eq\r(5).故△ABC的周长l＝a＋b＋c＝2(5＋eq\r(5))．18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cosB＝eq\f(3,5).(1)若b＝4，求sinA的值；(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b、c的值．解：(1)因为cosB＝eq\f(3,5)>0，0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(4,5).由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，所以sinA＝eq\f(a,b)sinB＝eq\f(2,5).(2)因为S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(4,5)c＝4，所以c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝22＋52－2×2×5×eq\f(3,5)＝17，所以b＝eq\r(17)或b＝－eq\r(17)(舍去)．所以b＝eq\r(17).19．(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.(1)求B；(2)若sinAsinC＝eq\f(\r(3)－1,4)，求C.解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝－eq\f(1,2)，又B∈(0°，180°)，因此B＝120°.(2)由(1)知A＋C＝60°，①所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝eq\f(1,2)＋2×eq\f(\r(3)－1,4)＝eq\f(\r(3),2)，又因为－60°<A－C<60°，故A－C＝30°或A－C＝－30°.②由①②得C＝15°或C＝45°.20.(本小题满分12分)“我将来要当一名麦田里的守望者．有那么一群孩子在一大块麦田里玩．几千几万的小孩子，旁边没有一个大人，我是说——除了我．”《麦田里的守望者》中的主子公霍尔顿将自己的精神生活寄予于那广袤无垠的麦田，假设霍尔顿在一块平面四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2eq\r(3).(1)霍尔顿发觉：无论BD多长，eq\r(3)cosA－cosC为一个定值．请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值．(2)霍尔顿发觉：麦田的生长与土地面积的平方呈正相关．记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)的最大值．解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2＝4＋12－8eq\r(3)cosA＝16－8eq\r(3)cosA，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝4＋4－8cosC，所以16－8eq\r(3)cosA＝8－8cosC，则8(eq\r(3)cosA－cosC)＝8，所以eq\r(3)cosA－cosC＝1.所以eq\r(3)cosA－cosC为一个定值，这个定值为1.(2)＝2sinC，因为Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＝12sin2A＋4sin2C＝16－(12cos2A＋4cos2C)，由(1)知，cosC＝eq\r(3)cosA－1，代入上式得Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＝16－12cos2A－4(eq\r(3)cosA－1)2＝－24cos2A＋8eq\r(3)cosA＋12，所以Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＝－24eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosA－\f(\r(3),6)))eq\s\up12(2)＋14，因为cosA∈(－1，1)，当cosA＝eq\f(\r(3),6)时，Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)取到最大值，为14.21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2C＋2eq\r(2)cosC＋2＝0.(1)求角C的大小；(2)若b＝eq\r(2)a，△ABC的面积为eq\f(\r(2),2)sinAsinB，求sinA及c的值．解：(1)因为cos2C＋2eq\r(2)cosC＋2＝0，所以2cos2C＋2eq\r(2)cosC＋1＝0，即(eq\r(2)cosC＋1)2＝0，所以cosC＝－eq\f(\r(2),2).又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(3π,4).(2)因为c2＝a2＋b2－2abcosC＝3a2＋2a2＝5a2，所以c＝eq\r(5)a，即sinC＝eq\r(5)sinA，所以sinA＝eq\f(1,\r(5))sinC＝eq\f(\r(10),10).因为S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，且S△ABC＝eq\f(\r(2),2)sinAsinB，所以eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(2),2)sinAsinB，所以eq\f(ab,sinAsinB