安徽省安庆市梧桐市某中学2025届高三数学阶段性测试试题理

PAGE23-安徽省安庆市梧桐市某中学2025届高三数学阶段性测试试题理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）设集合QUOTE，QUOTE0，1，QUOTE，则QUOTEA.QUOTE1，QUOTE B.QUOTE0，1，QUOTE C.QUOTE0，1，QUOTE D.QUOTE设QUOTE，其中a，b是实数，i为虚数单位，则QUOTEA.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知数列QUOTE是各项均为正数的等比数列，QUOTE，QUOTE，则QUOTEA.15 B.16 C.17 D.若实数x，y满意约束条件QUOTE，则QUOTE的最小值为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.1 D.3我国古代有着辉煌的数学探讨成果，其中QUOTE周髀算经QUOTE、QUOTE九章算术QUOTE、QUOTE海岛算经QUOTE、QUOTE孙子算经QUOTE、QUOTE缉古算经QUOTE有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外爱好拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE如图，四棱柱QUOTE中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，QUOTE上，且QUOTE，G在QUOTE上且平面QUOTE平面QUOTE，则QUOTEA.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE

D.QUOTE

在直角坐标系xOy中，半径为lm的QUOTE在QUOTE时圆心C与原点O重合，QUOTE沿x轴以QUOTE的速度匀速向右移动，QUOTE被y轴所截的左方圆弧长记为x，令QUOTE，则y关于时间QUOTE，单位：QUOTE的函数的图象大致为QUOTEA. B.

C. D.QUOTE的绽开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则绽开式中QUOTE的系数为QUOTEA.40 B.30 C.20 D.设函数QUOTE的部分图象如图所示，假如QUOTE，QUOTE，且QUOTE，则QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知三棱锥QUOTE的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，QUOTE是边长为6的等边三角形，记QUOTE的外心为QUOTE若三棱锥QUOTE的体积为QUOTE则QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE设双曲线QUOTE的左顶点为A，右焦点为QUOTE，若圆A：QUOTE与直线QUOTE交于坐标原点O及另一点E，且存在以O为圆心的圆与线段EF相切，切点为EF的中点，则双曲线的离心率为QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.3函数QUOTE，若关于x的方程QUOTE有四个不等的实数根，则a的取值范围是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE，QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知向量QUOTE与QUOTE的夹角为QUOTE，且QUOTE，则QUOTE______．已知函数QUOTE满意QUOTE，则实数a的值为______．设各项均为正数的数列QUOTE的前n项和QUOTE满意QUOTE，QUOTE，则数列QUOTE的前2024项和QUOTE______．设抛物线QUOTE的焦点为F，准线为1，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若QUOTE，则QUOTE______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）在QUOTE中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满意QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求角B的大小；

QUOTEⅡQUOTE若QUOTE，且BC边上的高为QUOTE，求QUOTE的周长．

如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，QUOTE，且QUOTE以DE为折痕把QUOTE折起，使点A到达点F的位置，且QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求证：平面QUOTE平面BCDE；

QUOTEⅡQUOTE若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为QUOTE，求二面角QUOTE的正弦值．

为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中依据规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量QUOTE单位：QUOTE依据生产阅历，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量听从正态分布QUOTE在一天内抽取的20件产品中，假如有一件出现了主要药理成分含量在QUOTE之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异样状况，需对本次的生产过程进行检查．

QUOTEⅠQUOTE下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：经计算得QUOTE，QUOTE

其中QUOTE为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，QUOTE，2，QUOTE，QUOTE用样本平均数QUOTE作为QUOTE的估计值QUOTE，用样本标准差s作为QUOTE的估计值QUOTE，利用估计值推断是否需对本次的生产过程进行检查？

QUOTEⅡQUOTE假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在QUOTE之外的药品件数，求QUOTE及X的数学期望．

附：若随机变量Z听从正态分布QUOTE，则QUOTE，QUOTE．

已知椭圆QUOTE的左、右焦点分别为QUOTE，QUOTE，过点QUOTE的直线与C交于A，B两点．QUOTE的周长为QUOTE，且椭圆的离心率为QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求椭圆C的标准方程：

QUOTEⅡQUOTE设点P为椭圆C的下顶点，直线PA，PB与QUOTE分别交于点M，N，当QUOTE最小时，求直线AB的方程．

已知函数QUOTE，且QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求a；

QUOTEⅡQUOTE在函数QUOTE的图象上取定两点QUOTE，QUOTE，记直线AB的斜率为k，问：是否存在QUOTE，使QUOTE成立？若存在，求出QUOTE的值QUOTE用QUOTE，QUOTE表示QUOTE；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为QUOTE，直线l的参数方程为QUOTE为参数QUOTE，直线l与曲线C交于M，N两点．

QUOTEⅠQUOTE若点P的极坐标为QUOTE，求QUOTE的值；

QUOTEⅡQUOTE求曲线C的内接矩形周长的最大值．

已知函数QUOTE，QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE当QUOTE时，求a的取值范围；

QUOTEⅡQUOTE若QUOTE，QUOTE，QUOTE，不等式QUOTE恒成立，求a的取值范围．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：QUOTE，QUOTE0，1，QUOTE，

QUOTE0，1，QUOTE．

故选：C．

可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．

本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算实力，属于基础题．

2.【答案】D

【解析】解：由题意可知：QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

故选：D．

依据复数的基本运算法则进行化简即可．

本题主要考查复数模长的计算，比较基础．

3.【答案】C

【解析】解：QUOTE数列QUOTE是各项均为正数的等比数列，QUOTE，QUOTE，

QUOTE，且QUOTE，

解得QUOTE，

QUOTE．

故选：C．

由等比数列的能项公式得QUOTE，且QUOTE，解得QUOTE，由此能求出QUOTE的值．

本题考查对数值的求法，考查等比数列的性质等基础学问，考查推理实力与计算实力，属于基础题．

4.【答案】B

【解析】解：由题意作平面区域如下，

由QUOTE解得，QUOTE，QUOTE经过可行域的A时，目标函数取得最小值．

故QUOTE的最小值是QUOTE，

故选：B．

由题意作平面区域，QUOTE，从而求最小值

本题考查了线性规划，同时考查了学生的作图实力及数形结合的思想方法应用．

5.【答案】B

【解析】解：我国古代有着辉煌的数学探讨成果，其中QUOTE周髀算经QUOTE、QUOTE九章算术QUOTE、QUOTE海岛算经QUOTE、QUOTE孙子算经QUOTE、QUOTE缉古算经QUOTE有着丰富多彩的内容，

这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外爱好拓展参考书目，

基本领件总数QUOTE，

所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本领件个数QUOTE，

则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为QUOTE．

故选：B．

基本领件总数QUOTE，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本领件个数QUOTE，由此能求出所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率．

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础学问，考查推理实力与计算实力，属于基础题．

6.【答案】B

【解析】解：QUOTE四棱柱QUOTE中，ABCD为平行四边形，

E，F分别在线段DB，QUOTE上，且QUOTE，

QUOTE，平面QUOTE平面QUOTE，

QUOTE在QUOTE上且平面QUOTE平面QUOTE，QUOTE，

QUOTE．

故选：B．

推导出QUOTE，平面QUOTE平面QUOTE，由G在QUOTE上且平面QUOTE平面QUOTE，得QUOTE，从而QUOTE．

本题考查两个线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查推理实力与计算实力，属于中档题．

7.【答案】A

【解析】解：依据题意，QUOTE的半径为1，则其周长QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE被y轴所截的左方圆弧长记为QUOTE，此时QUOTE；

当QUOTE时，QUOTE被y轴所截的左方圆弧长记为QUOTE，此时QUOTE；

当QUOTE时，QUOTE被y轴所截的左方圆弧长记为QUOTE，此时QUOTE；

据此解除BCD；

故选：A．

依据题意，由特别值法分析：令QUOTE、QUOTE、1，求出对应的y的值，据此分析即可得答案．

本题考查函数的图象分析，留意特别值法分析，属于基础题．

8.【答案】D

【解析】解：QUOTE

的绽开式中，各二项式系数和为QUOTE，QUOTE．

再令QUOTE，可得各项系数和为QUOTE，QUOTE，

则绽开式中的通项公式为QUOTE，令QUOTE，可得QUOTE，

故绽开式中QUOTE的系数为QUOTE，

故选：D．

由题意利用二项式系数的性质求出n、m的值，再利用二项绽开式的通项公式，求出绽开式中QUOTE的系数．

本题主要考查二项式定理的应用，二项绽开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

9.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查由三角函数的部分图象求解析式，属于中档题．

由周期求出QUOTE，代点求出QUOTE的值，可得QUOTE的解析式，再利用图象的对称性求得QUOTE的值，可得QUOTE的值．

【解答】

解：依据函数QUOTE的部分图象，

可得QUOTE，QUOTE．

又在图象上，故，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

假如QUOTE，QUOTE，

则QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

则QUOTE

QUOTE，

故选：B．

10.【答案】D

【解析】解：由题意可得：QUOTE，QUOTE，QUOTE．

设点P到平面BAC的高为h，由QUOTE，解得QUOTE．

QUOTE点P所在小圆QUOTE与QUOTE所在平面平行QUOTE上运动，QUOTE．

QUOTE．

QUOTE．

故选：D．

由题意可得：QUOTE，QUOTE，QUOTE设点P到平面BAC的高为h，由QUOTE，解得QUOTE可得点P所在小圆QUOTE与QUOTE所在平面平行QUOTE上运动，即可得出．

本题考查了球的性质、勾股定理、等边三角形的面积计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了推理实力与计算实力，属于基础题．

11.【答案】B

【解析】解：联立QUOTE．

QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE．

故选：B．

联立QUOTE，由QUOTE，QUOTE．

本题考查了双曲线的性质、离心率，属于中档题．

12.【答案】D

【解析】解：当QUOTE时，QUOTE，

所以当QUOTE时，QUOTE，QUOTE单调递增；当QUOTE时，QUOTE，QUOTE单调递减，

且QUOTE，当QUOTE时，QUOTE，当QUOTE时，QUOTE单调递减，所以QUOTE的图象如图所示：

令QUOTE，则由上图可知当QUOTE或1时，方程QUOTE有两个实根；

当QUOTE时，方程QUOTE有3个实数根；

当QUOTE时，方程QUOTE有一个实数根，

所以关于x的方程程QUOTE有四个不等的实数根

等价于关于t的方程QUOTE有两个实数根QUOTE，QUOTE或QUOTE，QUOTE，

当QUOTE，QUOTE时，QUOTE，

当QUOTE，QUOTE时，QUOTE，解得QUOTE，

综上所述，QUOTE．

故选：D．

利用导数先推断出函数QUOTE的图象，条件可转化为关于t的方程QUOTE有两个实数根QUOTE，QUOTE或QUOTE，QUOTE，

分状况探讨即可

本题考查方程的根与函数零点的关系，考查数形结合思想，属于中档题．

13.【答案】QUOTE

【解析】解：因为向量QUOTE与QUOTE的夹角为QUOTE，且QUOTE，

所以：QUOTE；

则QUOTE；

故答案为：QUOTE．

由题意可得向量QUOTE的模长，再干脆代入数量积可得．

本题考查平面对量的数量积和夹角，属基础题．

14.【答案】2

【解析】解：QUOTE，

QUOTE函数关于QUOTE对称，

即QUOTE，

即QUOTE，

即QUOTE

即QUOTE，得QUOTE，

得QUOTE，

故答案为：2

结合指数函数的性质，建立指数方程进行求解即可．

本题主要考查函数对称性的应用，结合指数函数的性质建立指数方程是解决本题的关键，难度不大．

15.【答案】QUOTE

【解析】解：依题意，由QUOTE，QUOTE，可得

QUOTE．

QUOTE数列QUOTE的各项均为正数，QUOTE．

QUOTE，QUOTE．

当QUOTE时，QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE．

QUOTE，QUOTE．

QUOTE．

故答案为：QUOTE．

本题先对题干中的等式进行因式分解，依据题意可得QUOTE的表达式，然后依据公式QUOTE可计算出数列QUOTE的通项公式，即可计算出数列QUOTE的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前2024项和QUOTE的值．

本题主要考查数列通项公式的求法，以及运用裂项相消法求前n项和．考查了转化思想，方程思想，分类探讨，逻辑思维实力和数学运算实力．本题属中档题．

16.【答案】QUOTE

【解析】解：如图，作QUOTE于F，作QUOTE于E，令准线于x轴交点为S，AB交准线于K．

设QUOTE，则QUOTE，

QUOTE，QUOTE

则QUOTE，QUOTE．

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE．

QUOTE．

则QUOTE．

故答案为：QUOTE．

作QUOTE于F，作QUOTE于E，令准线于x轴交点为S，AB交准线于QUOTE设QUOTE，则QUOTE，可得QUOTE，QUOTE，QUOTE，即可求解．

，本题考查了抛物线的性质，及平面几何学问，考查了转化思想，属于中档题．

17.【答案】解：QUOTEⅠQUOTE．

QUOTE由正弦定理可得：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE可得：QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，QUOTE．

QUOTEⅡQUOTE如图，QUOTE，QUOTE，则QUOTE，

又QUOTE，在QUOTE中，由余弦定理QUOTE，可得QUOTE，

可得QUOTE的周长为QUOTE．

【解析】QUOTEⅠQUOTE由正弦定理，两角和到正弦函数公式化简已知等式可得QUOTE，结合QUOTE，可得QUOTE，结合范围QUOTE，可求B的值．

QUOTEⅡQUOTE由已知可求c的值，在QUOTE中，由余弦定理可求b到值，即可得解QUOTE的周长．

本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算实力和转化思想，属于基础题．

18.【答案】解：QUOTEⅠQUOTE证明：QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE平面BEF，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE由余弦定理得QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

由QUOTE得QUOTE平面BCDE，

QUOTE平面QUOTE平面BCDE．

QUOTEⅡQUOTE解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，

设QUOTE，则QUOTEa，QUOTE，QUOTE0，QUOTE，QUOTE，

QUOTE直线DF与平面BCDE所成角的正切值为QUOTE，

QUOTE直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为QUOTE，

平面BCDE的法向量QUOTE0，QUOTE，

QUOTE，解得QUOTE，

QUOTE2，QUOTE，QUOTE2，QUOTE，QUOTE2，QUOTE，QUOTE，

设平面EDF的法向量QUOTEy，QUOTE，

则QUOTE，取QUOTE，得QUOTE，

同理得平面DFC的一个法向量QUOTE，

QUOTE，

QUOTE二面角QUOTE的正弦值为QUOTE．

【解析】QUOTEⅠQUOTE由QUOTE，得QUOTE，QUOTE，从而QUOTE平面BEF，进而QUOTE，QUOTE，QUOTE平面BCDE，由此能证明平面QUOTE平面BCDE．

QUOTEⅡQUOTE以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角QUOTE的正弦值．

本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查推理实力与计算实力，属于中档题．

19.【答案】解：QUOTE由QUOTE，QUOTE．

可得：QUOTE，QUOTE，

由样品数据看出有一样药品的主要药理成分QUOTE含量在QUOTE之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查．

QUOTE抽取的一件药品中其主要药理成分含量在QUOTE之内的概率为QUOTE，而主要药理成分含量在QUOTE之内的概率为QUOTE，

故QUOTE，QUOTE．

X的数学期望QUOTE．

【解析】QUOTE由QUOTE，QUOTE可得：QUOTE，QUOTE，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分QUOTE含量在QUOTE之外的药品，即可推断出结论．

QUOTE抽取的一件药品中其主要药理成分含量在QUOTE之内的概率为QUOTE，而主要药理成分含量在QUOTE之内的概率为QUOTE，可得QUOTE，可得QUOTE，及其QUOTE．

本题考查了正态分布与二项分布列的性质，考查了推理实力与计算实力，属于中档题．

20.【答案】解：QUOTEⅠQUOTE由题意可得：QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE椭圆C的方程为：QUOTE；

QUOTEⅡQUOTE点QUOTE，QUOTE，设QUOTE，QUOTE，

明显直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为：QUOTE，则可知QUOTE，

联立方程QUOTE，消去y得：QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

直线PA的方程为：QUOTE，可得QUOTE，

同理QUOTE，

QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE，

由于QUOTE，QUOTE，则QUOTE，此时QUOTE的最小值为QUOTE，在QUOTE处取得，

综上所述，当QUOTE最小时，直线AB的方程为：QUOTE，即QUOTE．

【解析】QUOTEⅠQUOTE由题意可得QUOTE，结合离心率即可求出c，再利用QUOTE即可求出QUOTE，从而求出椭圆C的方程；

QUOTEⅡQUOTE点QUOTE，QUOTE，设QUOTE，QUOTE，明显直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为：QUOTE，则可知QUOTE，与椭圆方程联立，利用韦达定理可求QUOTE，当QUOTE时，QUOTE，当QUOTE时利用基本不等式求得QUOTE的最小值为QUOTE，在QUOTE处取得，所以当QUOTE最小时，直线AB的方程为：QUOTE，即QUOTE．

本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭的位置关系，是中档题．

21.【答案】解：QUOTE若QUOTE，则对一切QUOTE，QUOTE，不符合题意，

若QUOTE，QUOTE，令QUOTE可得QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE，函数QUOTE单调递减，当QUOTE时，QUOTE，函数QUOTE单调递增，

故当QUOTE时，函数取得最小值QUOTE，

由题意可得，有QUOTE，

令QUOTE，则QUOTE，

当QUOTE时，QUOTE，QUOTE单调递增，当QUOTE时，QUOTE，QUOTE单调递减，

故当QUOTE时，QUOTE取得最大值QUOTE，当且仅当QUOTE即QUOTE时QUOTE成立，

综上QUOTE；

QUOTE由题意可知，QUOTE，

令QUOTE，则可知QUOTE在QUOTE上单调递增，

且QUOTE，QUOTE