2021-2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷（解析版）

2021.2022学年浙江省衢州市高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有1项

符合题目要求.

1.已知集合人={1,2,3},B={2,3,则AnB=()

A.{1,2,3,4}B.{2,3}C.{1,2}D.0

2.“%>2”是“N>4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

耳冗

3.已知〃=302,Z?=k)g32,c=tan_7—，贝U()

6

A.c'>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

兀

4.已知sina+4cosa=0,贝Utan(a4^—)的值为()

3

A-VBc—D.

-f55

5.已知函数/（x）的图象如图所示，则/（尤）（）

2

B.f(x)=(x+^)sinx

2]

D.f(x)=cosx-x

6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=4,b=R5(2a-c)cosB,则

△ABC面积为（）

A.2B.2^3C.473D.6

7.随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加92号汽油

两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，哪

种就更经济，则更经济的加油方式为（）

A.第一种B.第二种C.两种一样D.不确定

8.已知函数f(x)=ln“4x2+l-2x)—《，若a,beR,贝ij/(b-2023)+f(“+1)

2X+12

=()

1Q

A.4B.2C.4D.4

24

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

(多选)9.已知复数z=2-i(i是虚数单位)，下列说法正确的是()

A.在复平面内z所对应的点位于第四象限

B.复数Z的虚部是-i

C.若与为z的共辗复数，贝亚=-2+i

D.|z|=V5

(多选)10.下列四个命题为真命题的是()

A.已知平面向量a,b,c>若a//b，bIIC,则a//c

B.若；=(1,-3)，b=(2,6)，则Z,E可作为平面向量的基底

C.若a=(5,0)>b=(4,3)，则软在b上的投影向量为(芈■，W")

DD

D.若|m|=2，In|=3,m,n=3)则|m-n|=V7

Y2_|_QK_q0

(多选)11.已知函数f(x)X,则下列说法正确的是()

lnx-2,x>0

A./(/(1))=-3

B.f(x)的值域为R

C.方程/(x)=上最多只有两个实数解

D.方程/(/(x))=0有5个实数解

(多选)12.在正方体ABC。-AIBCLDI中，E是Ci£h的中点，M是线段4E上的一点.下

列说法正确的有()

A.平面BCCiB\中一定存在直线与平面ACM平行

B.直线。Bi,可以与平面ACM垂直

C.存在一点M使得，NAMC为

O

D.直线AD与平面ACM所成的角为a,平面AD£h4与平面ACM所成的锐二面角为0,

则a<0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分“

13.已知数据XI,XI,为的方差为Si2,数据3X17,3尬-1,…，34-1的方差为S22,

2

则SQ告.

S1

14.若命题N_2x-mWO”是假命题，则实数m的取值范围是.

15.已知正实数a,6满足?吊=1，则(a+1)(6+2)的最小值是.

16.如图，在平面四边形A8C。中，CD=22&,△A3。为等腰直角三角形，且

90°.

A

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17.已知向量a=(m,4)，b=(1,2)-

(1)当机为何值时，a“E；

(2)若GV|=|，求实数相的值.

18.某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解市民的学习成果,

该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，将数据收集,

并整理得到频率分布直方图

（2）估计此样本中的160名市民成绩的平均数彳和第75百分位数.

19.如图，在棱长为2的正方体ABCO-AIBCLDI中，点E,尸分别为棱。C和DiG的中

点.

（1）求证：AF〃平面A£h£；

（1）求函数无）的最小正周期及单调递增区间；

TT

（2）把y=/（x）的图像向左平移、二个单位长度（无）的图像，已知关于x的方程g（x）

-6

IT

x€[0,二丁]上有两个不同的解a,p.

①求实数机的取值范围;

2

②证明：cos(a-B)=.-1-

21.如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,AC=2\/3-且。，E分别为BC,延长CE交AB

n

于点足现将△AC。沿AO翻折至△ACO,使得NC'EF*

困I图2

(1)求证：AD±CF-

(2)点G为线段CD的中点，求直线FG与平面BEC所成角的正弦值.

22.已知函数f(x)=|x-a|

(1)若/(2)=4,求a的值；

(2)若a>2,求/(尤)在xe[l(a)；

(3)若方程/(尤)-a=0有3个不相等的正实数根xi,xi,X3,且为<X2<X3,证明:

xl+x2

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有1项

符合题目要求.

1.已知集合4={1,2,3},B={2,3,贝（）

A.{1,2,3,4}B.{2,3}C.{1,2}D.0

解：集合A={1,2,3},3,4},2）.

故选：B.

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.“尤>2”是“N>4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：当x>2时，/>8成立，

故“x>2"n“N>3”为真命题

故“尤>2”是“N>4”的充分条件；

当N>4时，尤<-4或x>2

故“炉>7”今“无>2”为假命题

故“x>2”是>4”的不必要条件；

综上“尤>2”是“尤7>茶’的充分不必要条件；

故选：A.

【点评】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中判断“x>2”

n“尤2>4”与“尤2>］，0“尤>2”的真假，是解答本题的关键.

3.已知。=3"2,b=log32,c=tan-7—>则（）

6

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

解：。=3。2>3。=8,

'/log31<log22<log36,.\0<Z?<l,

3H_,K_M

c=tan—_tan—=-——,

663

'.a>b>c,

故选：c.

【点评】本题考查三个数的大小的求法，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用.

兀

4.已知sina+4cosa=0,则tan（a+不）的值为（

A-VBc—D

-15-4

解：sina+4cosa=0,所以tana=-6,

兀)tanCl+13

所以tan(a+45-tanQ

5

故选：D.

【点评】本题考查同角三角函数基本关系式和两角和的正切公式，属于基础题

5.己知函数了（无）的图象如图所示，则无）（）

解：由图象可知/（0）W0,...排除AB；

又了⑴>0,而。选项中/⑴=cos8-1'，

.•.排除。,

故选：C.

【点评】本题考查函数图象上特殊点，排除法，属基础题.

6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=4,b=2近（2a-c）cosB,则

△ABC面积为（）

A.2B.2>/3C.473D.6

解：在△ABC中，角A、B,b,e,且满足Z?cosC=（2〃-c）cosB,

利用正弦定理得2sinAcos3=sinCcos8+sin8cosC=sin（B+C）=sinA,

由于8VAVn,sinAWO,

故COS8=9

o

又

JT

所以解得8=二厂，

又。=4,b=2愿，

所以由余弦定理Z?7=A2+C2-5〃ccos3,可得12=〃+16-2XaX5■，整理可得炉-4〃+4

=4,

解得。=2,

所以△ABC面积S--^,acsinB-XgX4X.

乙乙।

故选：B.

【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，主要

考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.

7.随着社会的发展，小汽车逐渐成了人们日常的交通工具.小王在某段时间共加92号汽油

两次，两次加油单价不同.现在他有两种加油方式：第一种方式是每次加油200元，哪

种就更经济，则更经济的加油方式为()

A.第一种B.第二种C.两种一样D.不确定

解：设第一次的油价为尤1,第二次的油价为X2,且尤5。尤2,

4002xx

第一种加油方式的平均油价为V1=200,200=―二，

x6x2勺+“6

第二种加油方式的平均油价为〉2=306)=x；2

(个二一,

Xq+x?6X1X2(X1-Xo)2

因为y2yi-----------；----------->03>yi,

2x6+x22(X4+X2)

因此，更经济的加油方式为第一种.

故选：A.

【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.

8.已知函数f(x)=ln(Y4x+12x)%■,若q,b(ER,贝2023)(a+1)

2X+12

=()

A.4B.2C.4

D-I

2

解：根据题意，函数f(x)=ln(JZ?^-2x)

则/(-尤)=山q4X2+4+2X)

3+1S

又由。+6=2022,则(6-2023)+(a+1)=a+b-2022=0,

故/(b-2023)+f(a+8)=2,

故选：B.

【点评】本题考查函数与方程的关系，注意分析了(x)V(-x)的值，属于基础题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

(多选)9.已知复数z=2-i(i是虚数单位)，下列说法正确的是()

A.在复平面内z所对应的点位于第四象限

B.复数Z的虚部是-i

C.若与为z的共轨复数，则］=-2+i

D.|z|=V5

解：复数z=2-i(i是虚数单位)，

在复平面内z所对应的点为(2,-6),故A正确；

复数Z的虚部为-1,故B错误；

z的共轨复复数，贝ijz=2+i；

|z|=,72+(-1)5=晶,故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的定义、运算法则等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

(多选)10.下列四个命题为真命题的是()

A.已知平面向量a,b»o若a#b，b#u则a//c

B.若-3)，b=(2,6)，则Z,E可作为平面向量的基底

C.若a=(5,0)，b=(4,3)，则软在b上的投影向量为(芈■，¥")

bb

D.若|m|二2，InI=3»mpn=3,则|m-n|二，7

解：对于A,若则Z，W不一定共线，

对于3,・・・1X6W-3X2,即W，E，故W，E可作为平面向量的基底，

对于c,2在E上的投影向量为|Z|cos<；，］>・占=丧号・E=

|b||b|

•~(3,3)芈"，,故C正确,

bb(

对于。，由平面向量数量积可得益-就;2+.2_i»=曲,故。正确,

故选：BCD.

【点评】本题主要考查了平面向量基本定理，考查了投影向量的定义，以及向量数量积

的运算，属于中档题.

x^+2x~3,x40

(多选)11.已知函数f(x)=<,则下列说法正确的是()

lnx-2,x>0

A.f(/(1))=-3

B.f(x)的值域为R

C.方程/(无)=%最多只有两个实数解

D.方程/(/(x))=0有5个实数解

Y2+2K-7Q

解：作出函数f(x)=4'的图象如图,

lnx-2,x>6

/(1)=-2,/(/(1))—f(-2)=(-2)2-4-3—-3,故A正确;

由图可知，/(x)的值域为R；

当时，方程/(无)=上有三个实数解;

(f(x)40/f(x)>0

由无))=0,得

lf4(x)+2f(x)-3=7lln[f(x)]-2=2

解得/(x)=-3或/(x)=e2,

由/(无)=-8,得方程有三个根2,得方程有两个根,

，方程)=。有5个实数解，故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想,

是中档题.

（多选）12.在正方体中，E是GD1的中点，M是线段4E上的一点.下

列说法正确的有（）

___gC!x

„/

4./'、Bl/

A.平面BCCiBi中一定存在直线与平面ACM平行

B.直线£）修，可以与平面ACM垂直

C.存在一点M使得，/AMC为:

O

D.直线AD与平面ACM所成的角为a,平面ADP4与平面ACM所成的锐二面角为0,

则

解：对于A,:平面BCCiS与平面ACM相交，

.•.根据线面平行判定定理可知：

平面BCC2B1内与两平面交线平行的直线与平面ACM平行，故A正确；

对于B,如图,Bi%贝!）8£>UC,

工

；BBgBD=B,则AC_L平面BB1ZXD,：.AC±BiD,

同理可证ADiJ_,

又ACAA£h=A,.，.以。，平面AC03,故B错误;

对于C,VtanAAjC=V2<V4ZAEC=^<4'

52

・・・存在点M,使得NAMC=?；

o

对于。，如图8C1,过MNPO〃4C5,与45,C5d交点分别为P,Q,连接AP,

由题意得PQ//AC,则平面ACMA平面AAID6D=AP,

则可得a=/ZM8,p=ZDGH,

PH

Vsinsin0=

ADDG

；.sinaWsin0,aW0.

故选：ACD.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..

13.已知数据xi,xi,■­■,尤"的方差为sj,数据3尤1-1,3&-1,…，3X"-1的方差为S22,

S1

解：设数据XI,必…，尤"的均值为7，则3尤1-1,3尤2-1,…，3斯-1的均值为3彳-7,

2

r-n!nns：

故s；=—Z（x「x）2且£=—£（3x£-1-5x+1）2=—c52（x「x）2,故一^=9，

1ni=l12n尸81nx=l1s：

故答案为：9.

【点评】本题考查了方差公式的应用，属于基础题.

14.若命题"3xeR,x2-2x-m^0r,是假命题，则实数m的取值范围是（-8,-1）

解：命题“IreR,x2-2x-的否定为：“VxeR,x2-2x-m>4）,.

由“mxER,x21-2x-是假命题，得“VxER,x2,-2x-机〉3”是真命题.

A=4+4m<7,即m<-1.

，实数机的取值范围是（-8,-1）.

故答案为：（-8,-5）.

【点评】本题考查特称命题的否定，考查恒成立问题的求解方法，是基础题.

15.已知正实数a,6满足++3=1，则(a+1)(6+2)的最小值是2\厮+13.

12

解：因为一=6,

ab

所以(4+1)(b+2)=4a+b+ab+2=5a+5b+2=(5a+5b)(-)+4=

&■+型JI包-生+13=5,

baVba

当且仅当工恒a,即6=乂迎也.

ba22

故答案为：2730+13.

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.

16.如图，在平面四边形ABCD中，CD=22版,△A3。为等腰直角三角形，且

90°6

解：设/a）B=e,则由余弦定理可得8=8。2+7-ZXZXBDXCOS。,

故BD6-4BZ)cos0-4=4,

2

\BD\=t,贝!Jcos0=———2-4=7B£)cos0,

2t

因为△AC。为等腰直角三角形，且NABO=90°,AD=近,

在△ACD中，由余弦定理可得AGMAU+CD2-2AOXCOXcos(0+45°),

整理得AC5=281)2+8-BDX叵2+7-4BD(cos0-sine)=2BD2+4-

2

4B£>cosO+65Z)sin0

=BD2+8+7BDsin6=P+8+2/sin3

22

设|AC|=s,贝!Jsin0=5"~,

4t

2_.6__Q.2_J

故(S3+(Az±)2=lf整理得6#-(8+5S2)P+S4-16S2+80=0,

4t3t

故人=(6+2()2_8(54_16^+80)20,

整理得到s4-8S2+144W0,即6WS2W36,即24W2,

当s=6时，,=6+2j36=40心5,此时cose=7臂,

因为8c>8,故此时△8C。唯一存在，AC长的最大值为6.

故答案为：6.

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，以及运算求解能力，属中档题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.

17.已知向量a=（m,4），b=（1.2）.

（1）当相为何值时，a//b；

（2）若G-E।=i，求实数机的值.

解：（1）根据题意，向量a=（m,4），b=（1>3）>

若ZIIb>则2m=2,

（2）根据题意，若|=|；+E|，

则有（£3）J（W+E）2,变形可得；5=0,

解可得：加=-3.

【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量平行和向量模的计算，属于基础题.

18.某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解市民的学习成果,

该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，将数据收集,

并整理得到频率分布直方图

（1）求。的值;

(2)估计此样本中的160名市民成绩的平均数x和第75百分位数.

解：(1)根据频率分布直方图可得：(0.005+0.010+4+6.020+0.040+0.010)X10=2,解

得：a=0.015；

(2)同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，

则彳=0.05X45+2.1X55+0.15X65+7.4X75+0.4X85+0.1X95=74,

设第75百分位数为相曰80,90),

.'.77!=87.6.

【点评】本题考查由频率分布直方图求频率、中位数、平均数，属于基础题.

19.如图，在棱长为2的正方体ABC。-ASCQi中，点E,F分别为棱。C和DiG的中

点.

(1)求证：4尸〃平面AAE；

又点、E,F分别为棱。C和DiCi的中点，

；.EF〃DD4,DD1//AA1,S.EF=DDi,DD1=AA1,

：.EF//AA4,B.EF^AAI,

四边形AEFAi为平行四边形，

：.AyF//AE,又平面ADiE,AEu平面4。归，

〃平面ADrE；

（2）VA.-AED,=VE-AA.D.=^-X4X2X7X1=4.

D,

【点评】本题考查线面平行的判定定理，三棱锥的体积，化归转化思想，属基础题.

20.已知函数f(x)=2\^3sirr^-cos^-+cos2-1--sin2-1-

(1)求函数/(%)的最小正周期及单调递增区间；

JT

(2)把的图像向左平移入个单位长度(，)的图像‘已知关于X的方程ga)

JT

x€[0，彳]上有两个不同的解a，p.

①求实数机的取值范围；

m2

②证明：cos(a-B)二

2

X2x2xi

解：(1)f(x)=2>/3si+cos--sin-=V4sinx+cosx=2sin(x+-—),

叼。。可o2b

所以函数/(无)的最小正周期T=8m

兀n兀

令2kn-,k£Z,

42

97T兀

解得-----F2左it,—,ZwZ；

乙o

9JTJT

综上：/(x)的最小正周期T=5TT；单调增区间为[-今一，—+2^71](依Z)；

o4

(2)①g(x)=f(%+；)=6sin(x+3+，？.),

6666

jr

又关于X的方程g(x)-小=0在x€[0,1丁]上有两个不同的解a,B，

.兀7T2l/兀/兀

则x+丁日丁，—7T]V3>g(丁，g(丁，

oo04N

所以迎Wm<8%,2)；

兀71

证明：②由题可知(a+-^)+且g(a)=g(B)=m,

63

兀兀JT兀m

即P+-r-=n-(a+-r-)-T-)=sin(pi,

H323H38

所以cos(a-p)=cos[(a+-—)-(p+―—―)

338

=-[1-2sin8(a+-^-)]

3

【点评】本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于中档题.

21.如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,AC=2逐，且。，£分别为BC,延长CE交A8

兀

于点R现将△AC。沿翻折至△ACD,使得/C'EF=-y

图I图2

(1)求证：ADLCF；

(2)点G为线段的中点，求直线FG与平面8EC所成角的正弦值.

【解答】证明：(1)在图1中，根据题意可得△AC。为等边三角形，

；E为A。的中点，则CFLAD,

即在图2中，CE±AD,CEHFE=E,

.,.AO_L平面C'EF,则A£)_LC'F；

解：(2)根据图8可得48=3AF=6,

在AE,AC上取点M,N,AC=3AN,FM,GN,

'：MN\//CE,

MNC平面BEC',CEu平面BEC',

MN〃平面BEC',

同理可得MF〃平面BEC',

MNCMF=M,则平面MNF|平面BEC',

则直线FG与平面BE。所成角即为直线FG与平面MNF所成角，设为

由（1）可知CE±AD,

jf

:NC'EF=5，即C'E±EF,

EFCAD=E,贝l|UE_L平面A8£）,

同理可证EV_L平面AC，D,则三棱锥尸-GMN的高为EF=1,

'：MN//CE,则MALL平面AB。，

C.MNLMF,

贝UMN=4,GF=2,

o

,,,SAGMN=SAACZD-SANCZG-SAAMN-SAMDGSA]|fflF=y^NXMF=^p-'

设三棱锥G-FMN的高为〃，

则VF-GMN=VG-FMN，

Io

直线FG与平面MNF所成角的正弦值sin®=导电，

GF2

即直线FG与平面BEC所成角的正弦值为YZ.

4

【点评】本题考查了线线垂直的证明和线面角的计算，属于中档题.

22.已知函数f(x)=|x-a|

(1)若/(2)=4,求〃的值；

(2)若〃>2,求/(%)在(。)；

(3)若方程/(%)-〃=。有3个不相等的正实数根X2,X3,且xiV%2V明，证明:

解：(1)由7(2)=4得:

\2-a\-3+〃=4,即|2-a\=6-a,

所以〃W6,

将|2-〃|=4-。两边平方可得：〃=4.

7a-(x+-

解：(2)当。>2时，f(x)=<

因为y=x,,+8)上均为增函数，

x

所以函数/(入