5.3平面向量基本定理及坐标表示答案

5.3平面向量基本定理及坐标表示课标要求精细考点素养达成1.理解平面向量基本定理及其意义;借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示2.会用坐标表示平面向量的加减运算与数乘运算;能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角3.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件平面向量基本定理的应用通过平面向量基本定理的应用,培养逻辑推理、数学运算的核心素养平面向量的坐标运算通过平面向量的坐标运算,培养数学运算的核心素养向量共线、垂直的坐标表示通过向量共线、垂直的坐标表示,培养数学运算的核心素养1.(概念辨析)(多选)下列说法正确的有().A.平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底B.已知向量a,b是一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2C.平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变D.若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1x答案ABC解析对于D,当a=(0,1),b=(0,2)时,a∥b,但等式x1x2=y1y22.(对接教材)已知点A(1,0),B(2,2),向量BC=(2,1),则向量AC=().A.(1,2) B.(1,2)C.(3,1) D.(3,1)答案C解析由题意,得AB=(1,2),所以AC=AB+BC=(1,2)+(2,1)=(3,1).3.(对接教材)已知平面向量a=(1,3),b=(2,λ),若a∥(ab),则实数λ=.

答案6解析因为a=(1,3),b=(2,λ),所以ab=(1,3λ),又a∥(ab),所以1×(3λ)3×(1)=0,所以λ=6.4.(易错自纠)已知A(1,3),B(4,1),则与向量AB共线的单位向量为.

答案35,-5.(真题演练)(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,1),若(a+λb)⊥(a+μb),则().A.λ+μ=1 B.λ+μ=1C.λμ=1 D.λμ=1答案D解析因为a=(1,1),b=(1,1),所以a+λb=(1+λ,1λ),a+μb=(1+μ,1μ).由(a+λb)⊥(a+μb),可得(a+λb)·(a+μb)=0,即(1+λ)(1+μ)+(1λ)(1μ)=0,整理得λμ=1.平面向量基本定理的应用典例1(1)(多选)设a是已知的平面向量,向量a,b,c在同一平面内且两两不共线,则下列说法正确的是().A.给定向量b,总存在向量c,使a=b+cB.给定向量b和c,总存在实数λ和μ,使a=λb+μcC.给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μcD.若|a|=2,存在单位向量b,c和正实数λ,μ,使a=λb+μc,则λ+μ>2(2)(2024·湖南高三调研)如图,在△ABC中,D为AB上一点,AD=2DB,P为CD上一点,CP=3PD,且AP=mAC+nAB(m,n∈R),则m+n的值为().A.14 B.13 C.12答案(1)ABD(2)D解析(1)对于A,给定向量b,总存在向量c,使a=b+c,即ab=c,显然存在c,所以A正确.对于B,因为向量a,b,c在同一平面内且两两不共线,由平面向量基本定理知,总存在实数λ和μ,使a=λb+μc,所以B正确.对于C,给定单位向量b和正数μ,总存在单位向量c和实数λ,使a=λb+μc,对于给定的a,b,当aλb与c反向时,μ<0,故C错误.对于D,存在单位向量b,c和正实数λ,μ,由a=λb+μc,向量b,c的模均为1,由三角形的三边关系可得λ+μ>2,D正确.(2)因为CP=3PD,AD=2DB,所以CP=34CD,AD=23AB,AP=AC+CP=AC+34CD=AC+34AD34AC=14AC+34×23AB=14AC+12AB,又AP=mAC+n平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.训练1(2024·江苏苏州高三期初调研)在平行四边形ABCD中,点E在线段AC上,且AE=2EC,点F为线段AD的中点,记EF=λAB+μAD(λ,μ∈R),则λ+μ=().A.56 B.16 C.12答案A解析EF=EA+AF=23AC+12AD=23(AB+AD)+12AD=23AB16AD,平面向量的坐标表示典例2(2023·江苏通州中学月考)如图,已知O是平面直角坐标系的原点,∠OAB=∠ABC=120°,|OA|=|BC|=2|AB|=4,若四边形ABCD为平行四边形,则点D的坐标为.

答案(2,23)解析作平行四边形ABCD,如图所示.因为AD∥BC,所以∠BAD=180°∠ABC=60°,所以∠OAD=∠OAB∠BAD=60°,由图可知,<OA,AD>=120°.因为|AD|=|BC|=4,所以AD=(4cos120°,4sin120°)=(2,23).易知点A(4,0),则OD=OA+AD=(4,0)+(2,23)=(2,23),因此,点D的坐标为(2,23).求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.(3)妙用待定系数法求系数:利用坐标运算将某向量用基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.训练2在平面直角坐标系xOy中,已知OA=(1,2),若OA绕原点逆时针旋转60°得到OB,则OB的坐标为.

答案1−2解析设OA与x轴正方向的夹角为θ,则点A在角θ的终边上,可得cosθ=55,sinθ=255,则点B在角θ+π3的终边上,坐标为5cosθ+π3,5sinθ+π3,cosθ+π3=55×12255×32=向量共线、垂直的坐标表示典例3已知OA=(3,4),OB=(6,3),OC=(5m,3m).(1)若A,B,C三点不能构成三角形,求m的值;(2)若A,B,C三点构成的三角形为直角三角形,求m的值.解析(1)因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,所以AB∥AC,因为AB=OBOA=(3,1),AC=OCOA=(2m,1m),所以3×(1m)=1×(2m),即m=12所以若A,B,C三点不能构成三角形,则m=12(2)若A,B,C三点构成的三角形为直角三角形,则分情况讨论:①若A为直角,此时AB⊥AC,即AB⊥AC,即AB·AC=0,即3×(2m)+1×(1m)=0,所以m=74②若B为直角,此时AB⊥BC,即AB⊥BC,即AB·BC=0,由BC=OCOB=(1m,m),得3×(1m)+1×(m)=0,所以m=34③若C为直角,此时BC⊥AC,即BC⊥AC,即BC·AC=0,即(1m)×(2m)+(m)×(1m)=0,所以m=1±5综上所述,若A,B,C三点构成的三角形为直角三角形,则m=74或m=34或m=1.运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合.2.根据平行或垂直的条件建立方程求参数,是解决这类题目的常用方法,充分体现了方程思想在向量中的应用.训练3(2023·江苏灌云中学月考)(多选)已知向量a=(2,0),ab=(3,1),则下列结论不正确的是().A.a·b=2 B.a∥bC.b⊥(a+b) D.|a|=|b|答案ABD解析设b=(x,y),因为向量a=(2,0),ab=(3,1),所以2−x=3,0−y=1,解得x=−1,y=−1,所以对于A,因为a·b=2+0=2,故A错误;对于B,因为2×(1)0×(1)≠0,故a与b不共线,故B错误;对于C,a+b=(1,1),所以b·(a+b)=1×1+(1)×(1)=0,所以b⊥(a+b),故C正确;对于D,|a|=2,|b|=1+1=2,所以|a|≠|b|,故D错误.等和线1.等和线定义由平面向量基本定理,得OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),当点P不在直线AB上时,可以过点P作直线AB的平行线,且与OA,OB所在的直线分别交于M,N两点,则由P,M,N三点共线,不难得出OP=xOM+yON,且x+y=1.又由平行线分线段成比例定理,得OM=kOA,ON=kOB其中则OP=xOM+yON=kxOA+kyOB,即λ=kx,μ=ky,故λ+μ=k(x+y)=k.把过点P作直线AB的平行线MN称为等和线.2.等和线的相关结论(1)当等和线恰为直线AB时,k=1;(2)当等和线在点O和直线AB之间时,k∈(0,1);(3)当直线AB在点O和等和线之间时,k∈(1,+∞);(4)当等和线过点O时,k=0;(5)若两等和线关于点O对称,则定值k互为相反数.典例如图,在正六边形ABCDEF中,P是△CDE内(包括边界)的动点,设AP=αAB+βAF(α,β∈R),则α+β的取值范围是.

答案[3,4]解析当P在△CDE内时,直线EC是最近的平行线,过点D的平行线是最远的,所以α+β∈ANAM,ADAM=[3应用等和线解题的步骤(1)确定单位线(当λ+μ=1时的等和线);(2)平移等和线,分析何处取得最值;(3)从长度比计算最值.训练设D,E分别是△ABC边AB,BC上的点,AD=12AB,若DE=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ=答案1解析因为DE=AEAD,所以AEAD=λAB+μAC,因为AD=12AB,所以AE=λ+12AB+μAC,由于此时等和线为BC,所以λ+12+μ=一、单选题1.(2024·江苏南京学情调研)在△ABC中,点D为边AB的中点.记CA=m,CD=n,CB=().A.2m+n B.m+2n C.2mn D.m+2n答案D解析因为点D为边AB的中点,所以AD=DB,CB=CD+DB=n+AD=n+CDCA=n+nm=2nm.2.下列向量组中,能作为基底的是().A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,3),e2=1答案B3.已知平面向量a=(3,2),b=(2,1),若(a+λb)⊥b,则实数λ=().A.45 B.35 C.35 答案D解析平面向量a=(3,2),b=(2,1),则a+λb=(32λ,2+λ),由(a+λb)⊥b,则(a+λb)·b=2(32λ)+2+λ=0,解得λ=454.(2023·全国甲卷)已知向量a=(3,1),b=(2,2),则cos<a+b,ab>=().A.117 B.1717C.5答案B解析因为a=(3,1),b=(2,2),所以a+b=(5,3),ab=(1,1),则|a+b|=52+32=34,|ab|=1+1=2,(a+b)·(ab)=5×1+3×(1)=2,所以cos<a+b,ab>=(a二、多选题5.已知点A(1,0),B(0,2),C(1,2),则以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标可以是().A.(0,4) B.(2,4)C.(2,0) D.(2,1)答案ABC解析设点D的坐标为(x,y),因为平行四边形的四个顶点为A,B,C,D,所以可能有以下三种情形:当AB=DC时,即(1,2)=(1x,2y),解得x=0,y=−4,即点D的坐标为(0当AB=CD时,即(1,2)=(x+1,y+2),解得x=−2,y=0,即点D的坐标为(2当AC=DB,即(2,2)=(x,2y),解得x=2,y=4,即点D的坐标为(2,6.(2024·福建第一次质量检测)已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(m2,n),其中m,n均为正数,且(ab)∥c,则下列说法正确的是().A.a与b的夹角为钝角B.向量a在b方向上的投影为55C.2m+n=4D.mn的最大值为答案CD解析由题意,m,n均为正数,a=(2,1),b=(1,1),c=(m2,n),对于A,因为a·b=21=1>0,所以a与b的夹角不为钝角,A错误;对于B,因为a·b|b|=112+(-1)2=2对于C,因为ab=(1,2),(ab)∥c,所以2(m2)=n,即2m+n=4,C正确;对于D,因为4=2m+n≥22mn,即mn≤2,当且仅当2m=n=2时等号成立所以mn的最大值为2,D正确.三、填空题7.(2023·江苏前黄中学月考)已知e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,且a与b是一组基底,则实数λ的取值范围是.

答案-∞,12解析因为e1与e2不共线,a=e1+2e2,b=λe1+e2,若a与b共线,则a=μb(μ∈R),即a=e1+2e2=μ(λe1+e2),所以λμ=1,μ因为a与b是一组基底,所以a与b不共线,所以实数λ的取值范围是-∞,12∪8.设a,b是两个单位向量,若a+b在b上的投影向量为23b,则cos<a,b>=答案1解析因为a+b在b上的投影向量为23b,所以a+b·b|b|·b|b|=23b,所以a·b=13,又a,b是两个单位向量,即|a|=|b|=四、解答题9.已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,AB=2e1+e2,BE=e1+λe2,EC=2e1+e2,且A,E,C三点共线.(1)求实数λ的值;(2)若e1=(2,1),e2=(2,2),求BC的坐标.解析(1)依题意,AE=AB+BE=(2e1+e2)+(e1+λe2)=e1+(1+λ)e2,因为A,E,C三点共线,又EC≠0,所以存在实数k,使得AE=kEC,即e1+(1+λ)e2=k(2e1+e2),得(1+2k)e1=(k1λ)e2,而e1,e2是平面内两个不共线的向量,因此1+2k=0,所以实数λ的值为32(2)由(1)知BE=e132e2,所以BC=BE+EC=3e112e2=(6,3)+(1,1)=(7,210.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E是AB的中点,P是对角线BD上的动点,若AC=xAP+yDE(x,y∈R).求:(1)AC·AP的最小值;(2)x+y的最大值.解析以E为坐标原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略),则E(0,0),A(1,0),B(1,0),C(1,1),D(1,1),所以直线BD的方程为y=12x+1设Pm,1−m2(1≤m(1)因为AC=(2,1),AP=m+1,所以AC·AP=2m+2+1−m2=因为1≤m≤1,所以AC·AP的最小值是1.(2)因为AC=xAP+yDE,所以(2,1)=xm+1,1−m2+y(所以(m+1)所以x+y=6−4mm+3=因为1