自考4184线性代数(经管类)历年真题答案

全国2008年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案

l.D13ArA1=331Al2=27x（-2）2=108

3k-1

4—1

2.B04-1=3=12（^+1）=0,k=-\

4k

04k

3.D

4,CIA*|=|AI"-I=IAl3=23=8

5.B/?=%4+&2a2=（占的）

6.Ca”。2，…,打的秩不为s。」,。2,…,a,线性相关

7.CAX=0仅有零解="A）="oA的列向量组线性无关

8.D

9.A有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似

10.C当玉=1,必=0,£=0时，/>0；当网=0,芍=1,匕=0时/<0.总之，/有正有负

-326-32■326--1/200-

r1（）2-

12.010AB=01[010=01013.010

142141420-11/2

-20010011200100--1001/200-

010010-010010―010010

022001J0

020-210010-11/2

14.1秩（A）="=3—2=1

15.6几=一2是A的特征值，则;I?+2=(-2)2+2=6是8=42+2E的特征值.

X]=-x2+x3

16,左]（一11,0）,+七（I,。[）'<x2=x2

/3=X3

001f*100、

17.2110-010,秩是2.

0J10

「5200;

18.—Jt,（l,O,O）r+七（0，1，0）7+七（0。I）7（瓦,右，五不全为零）

4=22=4=2

<000、x\=X13[°、

AE-A=000,■x=x,基础解系为0

22°，

<000,巧=巧kJ

-200

19.-161281=230108x(-2)=-16.

001

2

20._/(XI,X2,X3)=XI-%2

1200120()12001200

0120012001200120

三.21.解：———=-15

0012001200120012

20010-4010081000-15

321100-"IOIOOT101001

22.解:111010->111010->01001-1

10100132110002-210-3

1010012020022001-2

->01001-1f01001-1->01001-1

00-21-2-100-21-2-100-21-2-1

1001/2-11/2"1/2-11/2

01001-1,A-l=01-1

001-1/211/2-1/211/2

23.解:由(E-BTA)7/X=E,#[B(E-5_,A)]rX=E,BP(B£-1A)7X=£,

T

-200--200-~\/200-

]

(B-4)，X=E,X-=(B-A),二020=020,X=01/20

001001001

<1-124、‘1-124、-124、-124

0312031203120312

24.解：30714->0312->0000->0000

2156031-2000-4000-4

J-120；k000-4?J)00—4,、0000

%,%，%是一个极大线性无关组.

17117

3211-20-1-2-2-6-23

25.解:A=

01226230122623

54-33-1120-1-8-2-6-23

11117111117

0-1-2-2-6-230-1-2-2-6-23

—>

00000000-6000

00-6000000000

1707100-1-5-16

012262301026230102623

001000T001000T00000

000000000000000000

Xj=-16+X4+5X5

X2=23-2X4-6X5

x3=0,通解为

X4=

%

2-220

26.ft?：\AE-A\=2A-l2=2(2-1)(2-2)-4(2-2)-42=23-322-62+8

022

=(23+8)-32(2+2)=(2+2)(22-22+4)-32(2+2)

=(4+2)(22-52+4)=(2+2)(2-1)(2-4),

特征值4=一2,22=1»4=4.

对于4=一2,解齐次线性方程组(2E-A)x=O：

420](2-10、(2-10、(2-10、

AE-A=2-32->2一3290-22->0-22

.2)102-2)10

、022-2)(00°,

1

r2-10、「20-nq0-1/2、玉二产q/2、

01-i01-io1-1x2=x3,基础解系为ax=1

J)00>90(000>x3=x3

对于4=1,解齐次线性方程组QE-A)x=0：

"-120、"-120、-120、20、-1、

AE-A=202101T021021021

、02、02021,、000>、000,

X]

1101)

011/2基础解系为%=-1/2

、000>1>

£

对于4=4,解齐次线性方程组(AE-A)x=0：

，220、，220、，220、10、p0-2、

AE-A=232012012012-012

,()24,、°24,、°03、00300°,

'2,

%!=2X3

-2

<X2=-2X3,基础解系为出

X3=X3,1

(Ml-12'-200、

令尸=1-1/2-2,则P是可逆矩阵，使。一丁尸=010

、111>1°04;

四.27.证：(1)Ax=0的基础解系由3个线性无关的解向量组成.

(2)是小=°的解向量，则%,%+。2，%+。2+。3也是44。的解向量.

(3)设&]<Z]+七(<7]+々2)+⑥(。1+。2+。3)=0，则

(k[+&2+攵3)。1+(42+的)。2+%3a3=0，

k、+k2+忆3=0111

由名,0；2，。3线性无关，得，七十的=0，系数行列式o11=1^0,只有零解

%3=0001

k]-k2-k3=0,所以(ZI,a,+%，%+%线性无关.

由(1)(2)(3)可知，%+12，%+&2+々3也是Ax=0的基础解系.

全国2008年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案

a\\5ali〃13a\\2a12〃13

一■、1.C£)|=aaa

2\5a2i23+2\2n22%3=0+20=6•

。315a3ia33。312a32433

2.Ca+h=2,a—h=4,c=0,d=3=>a=3,b=—l,c=0,J=3.

12

3.B4.A5.BIA*|=|Al,,_,=1AI2"1==-2.6.D

34

7.D取Ax=b的特解："=g(/+%)=(1，()，2)JAx=0的基础解系含一个解向量:

£=%-%=(7i+〃3)=(1，2,3)「•

8.D-2不是A的特征值，所以l-2E-AH0,—2E—4可逆9.A/I=2是A的特征

000、000、

则(下八='是(42)7的特征值10.CA=01000100

值,-»，秩为3

400110011

、001000;

二.11.0行成比例值为零.

3212、0、32

12.AP「=

(7434J174

0-1nro01100、fi100n(\0-10n

13.-100000100->00-10f

00J1001J10010(00100J

000n

000.

1°0110°

2222

r-4-1

14.2\A\=230t-4-1=2—t=0,t=2.

-2

3450-2-1

1‘1(11t](\1/、

15._^21-21-0—3\-tT0-3IT秩为2,则r=一2・

JI。32r+lJ[()

「210r+2?

2

16.弓_9,4)=2,即2—2+0+3%=2,k=2/3.

17.0lal=J/?2+-+-=7^71=1,h=0.

V22

18.44=丸2=°，4+42+4=0+2+2,所以4=4.

(1-20、

19.-221

<0I—"

k+\>0k>-\

20>k>2_,k-\>0,,k>1,k>2

k-2>0k>2

111111111111

2000-10-1-10-1-1

三.21.解:=-2

0300-12-100-200-2

10040-1-1300-22000-2

22.

(\000、000、(\000}

解:(1)-100100-1-1-1100-1-1-10

102001°12001100-111

002-0002-1(2-1-0

0-10-221002-22-2(2)

01-11101-111

1°7(°7

'2-1-1W301W5-2-2、

X=A-'B=2-2-1110=4-3-2

114八-223,

(1)r-l11-1、

-11-1-11

23.解：（1）八:篦0二(-1,1,1,-1)=

-11-1-11

C11-17

r-l1111-A<4-4-44、

(2)A2=1-1-1-11-444-4

1-1-1-1-11-444-4

「1111114-4-44,

24.解:（四，％,。3，%）=

->

向量组的秩为3,。1,6/2，。4是一个极大线性无关组，（Z3=3%+。2+0。4.

’102-n(\02-1]p02-1、

25.解：(A,b)=-11-32->01-11->01-11

,2-15a)1°-1a+2,000a+3,

（1）〃工-3时，方程组无解,a=—3时，方程组有解；

♦02-1、=-1-2X

3㈠

。二一时，(

(2)3A,h)f01-11<x2=1+2，全部解为1+k1

1

«000,产3=X31>

2-8-7

26.W：\AE-A\==万—104+9=(4—1)(4—9),特征值4=1,4=9.

—1A—2

-7-7、11

对于4=1,解齐次线性方程组（/£-A）x=0：AE-A=

Tf00,

-1\

2,基础解系为<2]=,对应的全部特征向量为如%（凡是任意非零常数）;

x2=x217

对于4=9,解齐次线性方程组（/lE-A）x=0：AE-A=

X7

；2,基础解系为a2=f\对应的全部特征向量为七夕2（的是任意非零常数）•

X2=X2U>

（_]7、AinA

令尸=,A=,则尸是可逆矩阵，使得pTAP=A.

I1Ul09）

27.证：由A?=A,^(E-2AXE-2A)=E-4A+4A2=E-4A+4A=E,所以E—2A可

逆，且(E-2A)T=E—24.

全国自考2008年7月线性代数（经管类）试卷答案

一.l.C2.A3.C4.D5.B6.C7.D8.B9.D10.B

6-40

020

003

二.11.2412.013.14.315.2

〃=(1,0,0)71+占(-1,1,0y+&(1,0»

1617.318.24

3x,2+2X2-2X)X+2为吊+4XX

20.3223

-141"-14r

2-1-3()95

_—>

-2-81-5-4000

X=

133-6-70

三.21.1822.L11」23.00秩为

2,极大无关组为%,a224.a=T/=°时有无穷多解。通解是

7=(0,1,0/+^(-2,1,1/25.特征值九=4,4=10,九=4的特征向量

口11+3"1-3"

A=—

ML—1）二丸=10的特征向量乂1，-7），“21-3W1+3〃

Zo.L

kld+k2P=0

A(Ka+_0)=AO=O

=Z]Aa+k2Ap

=04-A2b

k2b=0—>=0

四.27.证明:匕a+怎p=0->Ka=0-匕=0

所以a与0线性无关。

全国2009年1月高等教育自学考试线性代数试题及答案

一\1.D2.A3.C4.B5.D6.A7.B8.B9.D10.C

11.(2,3)12.(-4,0,-5,-9)13.414.-115.316.-54

X1=1-2c’7-20、

17.218.x2=2+c,(c为任意常数)19.8120.-310

x3-3-2c,00b

53331433313331333

35331453315330200

三.21.解：D==14=14=112

33531435313530020

33351433513350002

123、‘123、

459011

22.解：故秩为2o

347000

,000,

Hill、111010-2-2A

23.解：系数矩阵A=1244—01330133得同解方程组

23550000,0000,

'2\'2\

占=2/+2勾再令Xo—1Xq—0-3-3

3J3得基础解系:

X2=-3X3-3X4%4=0%4=110

,07<17

110100、10011一2、

24.解：由于同H0,故A可逆。（A石）0-115010010:0-12,故

00%001、001002

7>

11一2、3)

A-10-12,所以X=A%2-1

、002,J0,

y1=X,+2X2

25.解：令丫故得标准型

f=(%|+2x2)"+(x2+3X3)~—6%j2=+3%3

123、

六y：+y22-6y；对于二次型矩阵人=25

0，由于D1〉0,D2>0,D3<0,所以不

03>

是正定性的。

Z-l-2-3

26.解令|2/-A|02-2-3=0即

00A-3

(/I_1)(/1—2)(4—3)=0得特征值4=1，&=2,4=3

将4=1代入(幻-A)x=0即

‘0-2-3、o解此方程组得其基础解系]0；故4的特征向量为k]ojk1*0)

0-1-3x=

、00一2,

同理将&=2,4=3代入(m-A)x=0得相应的特征向量分别为k2

㈤

k33(k3^0)

1

aa

四.27.证：设尸］=。|+2%，尾=2-3>国=ai+2a2

’10nop,

则(笈夕2夕3)=(，a2a3)012,记A=012得|A|=0山于向量组

oj12-1

12-10,

。1，a2,线性无关，故夕夕2，夕3线性相关，即。|+2。3，。2-。3，。1+2a2线性

相关。

全国2009年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

-11

=1.

10

o11%211aw+a\2

2.AP\P>==B.

01a2\a2210a2\127

3.D由ABC=E,得CpTATE,B-'=CA.

<01oYoi0、<00

4.BA2001001000Az的秩为1.

(000人000J100OJ

5.C二1,，［3是,。2，13,24的极大无关组，%,%，%，%的秩为3.

6.A

7.B只有+。2，。2+。3，。3+电线性无关，可以作为基础解系.

-10、

8.C8与A相似，则E—8与E-4相似.

-24J

9.D=2x：-(4xf-4XX+x；)=2%j2-(2x-x)2,

/(X],42，巧)=-4%2+4X2X3-Xj2323

规范形为z：-宕.

10.D

al\2a123a13a\\2%2Ba。a\\a\2〃13

4a226〃23=6

11.2%=2x3xai\2a223。23=2x3x2x3xa2\。22a23

6%29%3

3a3i〃3I2a323a33〃3Ia32。33

a\2a\3

aaa

2\22236

。32。33

12.£>3=021A21+022A22+。23A23=1X(-3)+(-2)X2+3X1=-4.

0202-2-2

13.A2-2A+E=(A-E)2

-1-1A-1-vI•-1

52、

14.将B的第2列的2倍加到第1列可得A=

114J

’001

15.(A,E)=022

、333

’660-602、f6000-32)(1000-1/21/3、

-020-210-020-210->010-11/20

0oj1。

k00100)(0011011007

r0-1/21/3、

A"1=-11/20

00,

1111

1-a-3

16.1-21=1-a-30=6+3〃=0,a=-2

1+2。3

11-21+2。30

17.4-X]=(2,4,6)T(或它的非零倍数).

18.设A=("b\,由A%=>%

\hd)

(\-bb、r\-b+bk'2

d=i-h；由Aa2=2a2,即=2-,可得％=—1.

、bi-WJ、b+(1-b)k3k

19.8+E的特征值为1,-1,4,|B+EI=lx(-l)x4=-4.

20./(%],苫2，苫3)=(工]—2X]X2+%2)+(%2-2x?尤3+*3)=X]—2X]X?+2x?—2》2》3+,

1一10、

A=-12-1

,0-11

一-23

三.21.解：由A|2=一=~4x=8,得x=-2,所以^2)=—]4=—(—8+3)=5.

22.解：由AX+B=X,得(E—A)X=8,于是

-iyY-11]』1『

X=(E-A)~'B=

1乂02厂31-1210Ml3厂[1/3\)

<1-13-2、-13-2、q3-2、

1-32-60-2-1-40-2-1-4

23.解：->->

15一11006-41200-70

3142>、°4-58,<00-70>

<1-13-2、q-i3-2、-10-2、

0-2-1-40-2-1-40-20-4

T->T

00-7000100010

<000o>00o;,000o>

U-10-2、。000、

01020102

00100010

,0000,10000,

%,仪2，。3是.个极大线性无关组，%=0%+2a2+0•%.

a11a+211111111

24.解：⑴141=1a1=a+2a1=(a+2)1a1=(a+2)0a-10

11aa+21a11a00a-1

=3+2)3—I)2,Q=—2或〃=1时,方程组有非零解:

11-2、11一2、(\0-TX]=x3

(2)。二-2时，A->0-3301-1->01-1X-2~冗3基础解

1°00J(0。0J(°00,巧二巧

11

系为1,全部解为k1k为任意实数;

11

1X]=­x2—x3r-n

。=1时，A->000XQ—X],基础解系为i0,全部解为

1°00JI1J

-i

i+心0,《，七为任意实数•

/I—20一1

A-2-1

25.解：(1)\AE-B\=-3A—1-3=a-i)=(2-l)(22-72+6)

-42-5

-40A-5

=(2—1)2(/1—6),特征值4=22=1,4=6.

对于4=22=1，解齐次线性方程组(4E—8)X=0：

-10-n10nX|=-x3-P

AE-B=

-30-3->000x2=x2，基础解系为P]，Pi-0

「40-4j(000J工3=巧

对于几3=6,解齐次线性方程组（4E—B）x=0：

1

由丁

f40-p10-1/4、‘1/4、

3

AE-B=-35-3->01-3/4x2=—x3,基础解系为p3=3/4

(一4000°><1>

3阶矩阵5有3个线性无关的特征向量,所以8相似于对角阵;

(\00、气-11/4、

(2)令4=010，P=103/4则尸是可逆矩阵，使得P_8P=A.

、006>,011)

0、

26.解：二次型的矩阵为4=-12-1

0-1

2-110210110

12E-A1=1A-2124-2114-21

012-A1A-l12-1

00

10

=/I2-31=2(A—3)=2(2-1)(2-3),

2-1

0A-l

特征值4=0,义？=1，久3=3.

对于4=0,解齐次线性方程组（2£-A）x=0：

z\

r/

10、0-1'X]=x3

ri/

AE-A=1-21->01-1,«X2=X3%=单位化为Pi=-

/

,01-b、000,J3=£7

对于4=1,解齐次线性方程组（/lE-A）x=0：

’010](101、X\=~X3r-n

AE-A=1-11^010<x=0a=0，单位化为p2=

oo82

OJ10

对于;13=3,解齐次线性方程组GE—A)x=O：

，210](\0

AE-A=111-01

12)100

/

-1/V21/V6、'00O'

令

产/

0-2/V6,则P是正交矩阵，使得尸，AP=010,经正交变换

/1/V21/V6

7<003)

x=Py后，原二次型化为标准形7=().y；+y；+3y；.

四.

27.证：设4是A的特征值，则满足方程42+2几=0,只能是％=0或；1二一2.

全国2009年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案

—.l.CA(B+C)=AB+AC,未必等于8A+C4.

2〃]22〃13ana\2%3

2.Ba2\a22a23=2x(-2)xa2\a22。23=2x(—2)x3=-12.

一2a3i一2a32_2aa3\a32“33

3.CA2(A-1)2=(AA-')2=E2=E,所以(42尸=(4-1)2.

4.DA与C都是2x3矩阵，由此可以将前三个选项排除.

5.A整体无关n部分无关.

6.B\A\=O,Ax=0有非零解.

7.BAx=0存在非零解的充要条件是“4)<〃，即A的列向量组线性相关.

9.D

00

k

10.CD=k>0D==k2>0,。3=0k-2二4女伏一l)>0=k>l.

1920

0-24

“1(21]

二.11.ATB=3(2,1)=63

I"

210

12.131

k21

13.

002020

A\\==0，=-=-6,=0,

1313=00

2C1010

%=-=-6,A22==3,=0,

一030320

2012

An==2，A=-=-1,

012301

0-60