苏科版八年级数学上册讲练专题1.3全等三角形的判定(下)(原卷版+解析)

专题1.3全等三角形的判定（下）【教学目标】1、全等三角形的判定：角边角，角角边，HL;2、掌握全等三角形的判定和应用，熟练直角三角形全等的判定；【教学重难点】1、全等三角形的判定方法，角边角、角角边和HL；2、熟练运用全等三角形证明边角关系；3、注意特殊的全等模型，如K字形。【知识亮解】知识点一、全等三角形判定3——“角边角”定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.【例1】★某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（）A．① B．② C．③ D．任意一块【例2】★如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）SAS B．HL C．SSS D．ASA【例3】★★如图，在△ABC中，BF⊥AC于点F，AD⊥BC于点D，BF与AD相交于点E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm．则AE=__________cm。【例4】★★如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．知识点二、全等三角形判定4——“角角边”定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.3.三角形证全等思路【例1】★已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2【例2】★★如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝____.【例3】★★已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数．【例4】★★★在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？并说明理由．知识点三、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【例1】★★如图，中，,分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.【例2】★如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为__cm．【例3】★★如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）若∠ABC＝36°，求∠CAO度数．【例4】★★如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12，求BD的长.【亮点训练】1．（2022·福建三明·七年级期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA2．（2022·全国·八年级）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（

）A．40° B．50° C．70° D．71°3．（2022·全国·八年级）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，，，，，，则BE的长是（

）A．10 B．9 C．7 D．55．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（

）A．3cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm26．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件________，使．7．（2022·辽宁营口·二模）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____．9．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使点A、C、E在一条直线上，若米，则的长是_____米．10．（2022·河南周口·八年级期末）如图，在四边形中，，，，的延长线与、相邻的两个角的平分线交于点E，若，则的度数为___________．11．（2022·河北·高阳县教育局教研室八年级期末）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EH，AC=EH．求证：BC=DH．12．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．(1)求证：；(2)若，求四边形ABCD的面积．13．（2022·福建三明·七年级期末）如图，△ABC中，点D在BC边上．(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．14．（2022·山东临沂·九年级开学考试）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D是线段AC上一点（CA>2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F，过点D作BC的垂线，分别交BC、CF于M、N，连接BN．(1)依题意补全图形；(2)求证：①∠BCN=∠ABD；②AD=BN．15．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，是四边形的对角线，，点、分别在、上，，，连接．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【培优检测】1．（2021·浙江温州·八年级阶段练习）如图，在△ABC和△BAD中，已知∠CAB＝∠DBA，添加下列条件，还不一定能判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．BC＝AD D．AM＝BM2．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对3．（2022·河北保定·八年级期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP4．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2021·河北廊坊·一模）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4 B．3 C．2 D．16．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD：_____．7．（2022·四川·岳池县教研室二模）如图，点P在内部，于点M，于点N，且．若，则__________°．8．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，，，，，，则_______．9．（2022·湖南怀化·八年级期末）如图，∠A=∠B=90°，AB=100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2∶3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为__________．10．（2022·江苏南通·一模）图，中，，，点E在上，点F为延长线上一点，且，，则______°．11．（2022·福建三明·二模）如图，AB＝AE，AD＝AC，∠1＝∠2．求证：BC＝ED．12．（2022·全国·八年级）如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F．(1)求证：点F是ED的中点；(2)求证：S△ABC＝2S△BEF．13．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．14．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）模拟预测）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______，(1)求证：；(2)若，，求的面积．15．（2020·全国·八年级期中）在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE＝AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．专题1.3全等三角形的判定（下）【教学目标】1、全等三角形的判定：角边角，角角边，HL;2、掌握全等三角形的判定和应用，熟练直角三角形全等的判定；【教学重难点】1、全等三角形的判定方法，角边角、角角边和HL；2、熟练运用全等三角形证明边角关系；3、注意特殊的全等模型，如K字形。【知识亮解】知识点一、全等三角形判定3——“角边角”定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.【例1】★某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（）A．① B．② C．③ D．任意一块【答案】A【解析】只第①块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合ASA．故选A．【例2】★如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA【答案】D【解析】∵点A、C、E在同一条直线上，∴∠ACB=∠ECD，又∠ABC=∠EDC=90°，BC＝CD，∴△ABC≌△EDC（ASA），故选D【例3】★★如图，在△ABC中，BF⊥AC于点F，AD⊥BC于点D，BF与AD相交于点E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm．则AE=__________cm。【答案】2.【分析】易证∠CAD=∠CBF，即可求证△ACD≌△BED，可得DE=CD，即可求得AE的长，即可解题．【解析】∵BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，∴∠CAD+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，∴∠CAD=∠CBF，∵在△ACD和△BED中，，∴△ACD≌△BED，（ASA），∴DE=CD，∴AE=AD-DE=BD-CD=BC-CD-CD=2；故答案为2．【例4】★★如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．【分析】（1）证明△ABE≌△ACD（ASA），可得出结论；（2）由三角形内角和可求出答案．【解析】（1）∵∠BAC＝∠EAD，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，∴∠BDC＝∠BAC＝50°．知识点二、全等三角形判定4——“角角边”定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.3.三角形证全等思路【例1】★已知：如图所示，B、C、E三点在同一条直线上，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2【答案】D【分析】利用同角的余角相等求出∠A＝∠2，再利用“角角边”证明△ABC和△CED全等，即可解答．【解析】∵∠B＝∠E＝90°，∴∠A+∠1＝90°，∠D+∠2＝90°，∵AC⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，故D错误；∴∠A＝∠2，故B正确；∴∠A+∠D＝90°，故A正确；在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），故C正确；故选D．【例2】★★如图，△ABC中，H是高AD、BE的交点，且BH＝AC，则∠ABC＝____.【答案】45°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠HBD+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠HBD=∠CAD，∵在△HBD和△CAD中，，∴△HBD≌△CAD(AAS)，∴AD=BD，∴∠DAB=∠DBA，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=45°，即∠ABC=45°，故答案为：45°【例3】★★已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠DFC＝40°【详解】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）∵∠A＝120°，∠B＝20°，∴∠ACB＝40°，由（1）知△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴∠DFE＝40°，∴∠DFC＝40°．【例4】★★★在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）求证：DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？并说明理由．【分析】（1）由已知推出∠ADC＝∠BEC＝90°，因为∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，推出∠DAC＝∠BCE，根据AAS可证明△ADC≌△CEB（AAS），依据全等三角形的性质可得到AD＝CE，CD＝BE，然后由ED＝DC+CE可得到问题的答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD＝∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，CD＝BE，最后由CE＝CD+DE可得到问题的答案．【解答】证明：（1）∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∵DC+CE＝DE，∴AD+BE＝DE．（2）DE＝AD﹣BE，理由：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝EC﹣CD＝AD﹣BE．知识点三、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【例1】★★如图，中，,分别是上动点，且，当=_______时，才能使和全等.【答案】3或8【解析】分为两种情况：①当AP=3时，∵BC=3，∴AP=BC，∵∠C=90°，AE⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，，∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），

②当AP=8时，∵AC=8，∴AP=AC，∵∠C=90°，AE⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，∴在Rt△ABC和Rt△QAP中，，∴Rt△ABC≌Rt△QAP（HL），故答案为3或8．【例2】★如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为__cm．【答案】12【解析】连接BE，∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，,∴∠A=∠BDE=90°，∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，BD=AB(已知)，BE=EB(公共边)，∴Rt△DBE≌Rt△ABE(HL)，∴AE=ED，又∵AE=12cm，∴ED=12cm.。故填12.【例3】★★如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）若∠ABC＝36°，求∠CAO度数．【答案】（1）证明见解析（2）18°【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD即可；（2）利用全等三角形的性质及直角三角形两锐角互余的性质求解即可．【解析】（1）证明：∵∠D＝∠C＝90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC＝∠BAD＝36°，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝54°，∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD=18°．【例4】★★如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS），∴AE＝CD．（2）由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12．∴BD＝6．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件【亮点训练】1．（2022·福建三明·七年级期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA【答案】C【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定，由已知条件可知利用的是ASA，问题得解．【详解】解：在和中，．故选：C．【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，掌握相关知识是解题关键．2．（2022·全国·八年级）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（

）A．40° B．50° C．70° D．71°【答案】C【解析】【分析】先利用三角形内角和算出，再证明得到；再证明，得到，即可算出【详解】根据题意：在中在和中∴∴在和中∴∴在中∴故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用．3．（2022·全国·八年级）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】通过证明△ABC≌△DEF，利用全等的性质即可求解．【详解】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴BC﹣FC＝EF﹣FC，即BF＝CE＝5m，∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14﹣5﹣5＝4（m）；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2022·广西·西林县民族初中八年级期末）如图，，，，，，则BE的长是（

）A．10 B．9 C．7 D．5【答案】C【解析】【分析】根据AC⊥CD，得到∠ACD=90°，推出∠ACB+∠DCE=90°，根据∠B=90°，得到∠A+∠ACB=90°，推出∠A=∠DCE，根据∠B=∠E，AC=CD，推出△ABC≌△CED(AAS)，得到BC=DE=2，CE=AB=5，求出BE=BC+CE=7．【详解】∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∠ACB+∠DCE=90°，∵∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠A=∠DCE，∵∠B=∠E，AC=CD，∴△ABC≌△CED(AAS)，∴BC=DE=2，CE=AB=5，∴BE=BC+CE=7．故选C【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练运用两角一边证明三角形全等，熟练运用全等三角形的对应边相等求BE的长．5．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，△ABC的面积为10cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（

）A．3cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2【答案】B【解析】【分析】延长交于，根据垂直的平分线于，即可求出，又知和等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可得到的面积．【详解】解：延长交于，垂直的平分线于，，又知，，，，，和等底同高，．故选：B．【点睛】本题主要考查三角形全等判定，三角形面积的知识点．证明出三角形的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解题的难点．6．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，请你添加一个条件________，使．【答案】OB=OD（答案不唯一）【解析】【分析】根据SAS添加OB=OD即可【详解】解：添加OB=OD，在△AOB和△COD中，，∴（SAS）故答案为OB=OD（答案不唯一）【点睛】本题考查三角形全等判定添加条件，掌握三角形全等判定方法是解题关键．7．（2022·辽宁营口·二模）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．【答案】2【解析】【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解．【详解】解：AB⊥AD，CE⊥BD，，在与中，，，AD＝5，CD＝7，，BD=CD＝7，故答案为：2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____．【答案】2【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解．【详解】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴BC＝EF，∵BF＝10，BC＝6，∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4，∴EC＝EF﹣CF＝2，故答案为：2．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键．9．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使点A、C、E在一条直线上，若米，则的长是_____米．【答案】25【解析】【分析】由AB、ED均垂直于BD，即可得出∠ABC=∠EDC=90°，结合CD=CB、∠ACB=∠ECD即可证出，由此即可得出AB=ED=25，此题得解．【详解】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC和△EDC中，∴，∴AB=ED=25．故答案为：25．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理（ASA）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．10．（2022·河南周口·八年级期末）如图，在四边形中，，，，的延长线与、相邻的两个角的平分线交于点E，若，则的度数为___________．【答案】【解析】【分析】先证明Rt△CDA≌Rt△CBA得到，再由角平分线的定义求出∠EDC=45°，最后根据三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，，∴∠CDA=∠CBA=90°，在Rt△CDA和Rt△CBA中，，∴Rt△CDA≌Rt△CBA（HL），∴，∵DE平分与∠ADC相邻的角，∠ADC=90°，∴∠EDC=45°，∴∠CED=180°-∠DAE-∠ADC-∠EDC=15°，故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．11．（2022·河北·高阳县教育局教研室八年级期末）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EH，AC=EH．求证：BC=DH．【答案】见解析【解析】【分析】先证明AB=DE，然后证明∠A=∠E，从而证明△ABC≌△EDH，由此即可证明结论．【详解】证明：∵AD=BE，∴AD-BD=BE-BD，∴AB=DE，∵AC∥EH，∴∠A=∠E，又∵AC=EH，∴△ABC≌△EDH（SAS），∴BC=DH．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．12．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，AC平分，垂足分别为B，D．(1)求证：；(2)若，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)12【解析】【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；（2）由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式求出，再根据四边形ABCD的面积求解即可．(1)AC平分，，，；(2)，，，，，四边形ABCD的面积．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．13．（2022·福建三明·七年级期末）如图，△ABC中，点D在BC边上．(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E．（2）利用平行线的性质求解即可．(1)如图，点E即为所求．(2)∠A＝65°，由作图可知，DE//AB，【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键．14．（2022·山东临沂·九年级开学考试）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D是线段AC上一点（CA>2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F，过点D作BC的垂线，分别交BC、CF于M、N，连接BN．(1)依题意补全图形；(2)求证：①∠BCN=∠ABD；②AD=BN．【答案】(1)见详解(2)①见详解；②见详解【解析】【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）①利用等角的余角相等证明即可；②证明△BMD≌△NMC（AAS），推出BD=CN，再证明△ABD≌△BCN（SAS），可得结论．(1)解：补全图形，如图所示，(2)解：①证明：∵CE⊥BE，∴∠CEB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠BCN+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABD=90°，∴∠BCN=∠ABD；②∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ACB=45°，∵DM⊥CM，∴MC=MD，∵∠DBC+∠BCE=90°，∠CNM+∠BCE=90°，∴∠DBM=∠CNM，∵∠CMN=∠DMB=90°，∴△BMD≌△NMC（AAS），∴BD=CN，∵BA=BC，∠ABD=∠BCN，∴△ABD≌△BCN（SAS），∴AD=BN．【点睛】本题考查基本作图，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．15．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心七年级期中）如图，是四边形的对角线，，点、分别在、上，，，连接．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】（1）利用SAS证明，即可得结论；（2）根据全等得到，根据得到，即可得结果．(1)在和中∴∴(2)∵，∴∵∴【点睛】本题考查三角形全等和平行线的性质；本题难点在于全等对应边，对应角的正确判断．【培优检测】1．（2021·浙江温州·八年级阶段练习）如图，在△ABC和△BAD中，已知∠CAB＝∠DBA，添加下列条件，还不一定能判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠C＝∠D B．AC＝BD C．BC＝AD D．AM＝BM【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．【详解】A、添加∠C＝∠D，在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故A不符合题意；B、添加AC＝BD，在△ABC与△BAD中，，∴△ABC≌△BAD（SAS）；故B不符合题意；C、添加BC＝AD，∵AB=BA，BC＝AD，∠CAB＝∠DBA，构成边边角不能得出△ABC与△BAD全等，故C符合题意；D、添加AM＝BM，∵AM=BM，∴∠MAB=∠MBA，即∠DAB=∠CBA，在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故D不符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．2．（2022·河南南阳·八年级期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】D【解析】【分析】根据AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∠CAE=∠BAD，可证明△CAE≌△BAD，得出AD=AE，∠C=∠B，根据AAS可证明△DCO≌△EBO，得出CO=BO，利用SSS证得△ACO≌△ABO，利用HL证得△DAO≌△EAO，由此得出共有全等的三角形的对数为4对．【详解】解：由题意可得△CAE≌△BAD，△DCO≌△EBO，△ACO≌△ABO，△DAO≌△EAO共4对三角形全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2022·河北保定·八年级期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【答案】D【解析】【分析】利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠DAC，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又∵AC=BC，在△CQB与△CPA中，，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ，又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故C正确，∵△CQB≌△CPA，∴AP=BQ，故B正确，∵AD=BE，AP=BQ，∴AD-AP=BE-BQ，即DP=QE，∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，故A正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．4．（2021·甘肃兰州·模拟预测）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点D为BC的中点，则AD的长可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．证△ADC≌△EDB（SAS），可得BE＝AC＝2，再利用三角形的三边关系求出AE的范围即可解决问题．【详解】解：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝2，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即2＜2AD＜6，解得1＜AD＜3，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形三边关系定理，熟练证明三角形的全等是解题的关键．5．（2021·河北廊坊·一模）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA<OC，故③错误；即可得出结论．【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA<OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．6．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD：_____．【答案】∠B＝∠C【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：∵BE＝DC，∠A＝∠A，∴根据AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD，故答案为：∠B＝∠C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．7．（2022·四川·岳池县教研室二模）如图，点P在内部，于点M，于点N，且．若，则__________°．【答案】40【解析】【分析】根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；再由全等的性质即可解答；【详解】解：Rt△OPM中，∠OPM=70°，则∠POM=20°，Rt△OPM和Rt△OPN中：OP=OP，PM=PN，∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴∠POM=∠PON=20°，∴∠AOB=40°，故答案为：40；【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，掌握全等的判定和性质是解题关键．8．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，，，，，，则_______．【答案】【解析】【分析】通过ASA证明，得到，从而得到，即可求解．【详解】解：∵∴又∵，∴（ASA）∴∴故答案为：【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质，得到．9．（2022·湖南怀化·八年级期末）如图，∠A=∠B=90°，AB=100，E，F分别为线段AB和射线BD上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为2∶3，运动到某时刻同时停止，在射线AC上取一点G，使△AEG与△BEF全等，则AG的长为__________．【答案】40或75##75或40【解析】【分析】设BE=2t，则BF=3t，使△AEG与△BEF全等，由∠A=∠B=90°可知，分两种情况：当BE=AG，BF=AE时；当BE=AE，BF=AG时，即可求解．【详解】解：根据题意得：设BE=2t，则BF=3t，∵∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：当BE=AG=2t，BF=AE时，∵BF=AE，AB=100，∴3t=100-2t，解得：t=20，∴AG=BE=2t=2×20=40；当BE=AE，BF=AG=3t时，∵BE=AE，AB=100，∴2t=100-2t，解得：t=25，∴AG=BF=3t=3×25=75，综上所述，AG的长为40或75．故答案为：40或75【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．（2022·江苏南通·一模）图，中，，，点E在上，点F为延长线上一点，且，，则______°．【答案】70【解析】【分析】由已知先求出，，再利用“HL”证明，再由全等三角形的性质求出，最后利用求解．【详解】解：∵中，，，∴，．在与中，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求得是解答关键．11．（2022·福建三明·二模）如图，AB＝AE，AD＝AC，∠1＝∠2．求证：BC＝ED．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据SAS只要证明△ABC≌△AED即可解决问题．【详解】证明：∵∴即在和中∴∴【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．12．（2022·全国·八年级）如图．∠C＝90°，BE⊥AB且BE＝AB，BD⊥BC且BD＝BC，CB的延长线交DE于F．(1)求证：点F是ED的中点；(2)求证：S△ABC＝2S△BEF．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，证明再证明△ABC≌△BEM（AAS），可得BD＝EM，再证明△EMF≌△DBF（AAS），从而可得结论；（2）由△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，可得S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，再利用三角形中线的性质可证结论．(1)证明：如图，过点E作EM⊥CF交CF的延长线于M，∵BE⊥AB，∴∠EBM+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∵∠C＝90°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，在△ABC和△BEM中，∵，∴△ABC≌△BEM（AAS），∴BC＝EM，∵BD＝BC，∴BD＝EM，在△EMF和△DBF中，∵，∴△EMF≌△DBF（AAS），∴EF＝DF，∴点F是ED的中点；(2)证明：∵△ABC≌△BEM，△EMF≌△DBF，∴S△ABC＝S△BEM，S△EMF＝S△DBF，∵点F是ED的中点，∴S△BEF＝S△DBFS△BEMS△ABC，∴S△ABC＝2S△BEF．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，三角形的中线的性质，掌握“利用AAS证明三角形全等”是解本题的关键．13．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）在△ABC中，∠