北师大版七年级数学下册常考题专练专题09平行线的综合运用(原卷版+解析)

专题09平行线的综合运用题型一平行线中的推理题型1．如图，已知中，于点，为边上任意一点，于点，．求证：．请把证明的过程填写完整．证明：，，（垂直的定义）又（已知）2．阅读下面解答过程，并填空或在括号内填写理由．已知平分交于点，，且，，请说明．解：平分（已知），（角平分线定义）．，．，（已知），（两直线平行，内错角相等），．．．3．已知：如图，，，，，求证：．证明：，（已知）（垂直定义）（已知）（等量代换）（已知）题型二平行线中的动态问题4．如图①，已知，．（1）若点、在线段上，且满足平分，平分，求的度数；（2）若点、在射线上，且满足平分，当点运动时，的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）若点在直线上，且满足，直接写出的值．5．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．（1）①当时，的度数是；②，；（2）当，求的度数（用含的代数式表示）；（3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．（4）当点运动到使时，请直接写出的度数．6．如图，已知直线射线，，是射线上一动点，过点作交射线于点，连接，作，交直线于点，平分，交直线于点．（1）若点，，都在点的右侧，求的度数；（2）在（1）的条件下，若，求的度数；（3）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．7．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．（1）的度数是，的度数是；（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）当点运动到使时，的度数是多少？8．如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分．（1）若点，，都在点的右侧．①求的度数；②若，求的度数．（2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．9．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．（1）求的度数；（2）当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点运动到某处时，，求此时的度数．10．，在的右侧，平分，平分，、所在的直线交于点．．（1）求的度数；（2）若，求的度数；（3）将线段沿方向移动，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．11．如图，已知直线，直线与直线、分别交于点和点，点是直线上一动点，点在直线上，点在直线上，且点和点位于直线同一侧．（1）如图（1），当点在线段（不含端点和上运动时，求证：．（2）如图（2），当点运动到直线上方时，试写出、和三个角的数量关系，并证明．（3）如图（3），当点运动到直线下方时，直接写出、和三个角的数量关系．12．珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯，．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．（1）填空：；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由．13．如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点．（1）直接写出，，之间的关系：；（2）若，求；（3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．14．已知，线段分别与、相交于点、．（1）如图①，当，时，求的度数；（2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论；（3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．题型三平行线中的其他综合问题15．如图，已知直线、被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④16．已知与的两边一边平行，另一边互相垂直，且，则的度数为．17．已知：如图（1）直线、被直线所截，．（1）求证：；（2）如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数．18．已知，如图，把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分．（1）如图1，若，求的度数．（2）若，则的度数为．（3）由（1）和（2），我们发现和之间有什么样的数量关系？（4）若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，试问和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．19．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；（3）如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数20．已知直线、和点在同一平面内，且，．（1）如图1，求和之间的数量关系；（2）如图2，若，垂足为，求证：；（3）如图3，已知点、、都在直线上，且，平分，平分．若，，请直接写出的度数．21．已知，，点为射线上一点．（1）如图1，若，，则．（2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，当点在延长线上时，平分，且，，，求的度数．22．已知，点为平面内一点，于．（1）如图1，直接写出和之间的数量关系；（2）如图2，过点作于点，求证：；（3）如图3，在（2）问的条件下，点、在上，连接、、，平分，平分，若，，求的度数．23．某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线，点在、之间，点、分别在直线、上，连接、．（1）如图1，运用上述结论，探究与之间的数量关系．并说明理由；（2）如图2，平分，平分，当时，求出的度数；（3）如图3，若点在的下方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，请直接写出的度数．24．已知，，平分．（1）如图1，若，，求的度数．（2）如图2，若，的2倍与的补角的和为，求的度数．（3）如图3，在（2）的条件下，为射线上一点，为上一点，平分，，平分，，求的度数．专题09平行线的综合运用题型一平行线中的推理题型1．如图，已知中，于点，为边上任意一点，于点，．求证：．请把证明的过程填写完整．证明：，已知，（垂直的定义）又（已知）【解答】解：证明：，已知），（垂直的定义）同位角相等，两直线平行）两直线平行，同位角相等）又（已知）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；2．阅读下面解答过程，并填空或在括号内填写理由．已知平分交于点，，且，，请说明．解：平分（已知），（角平分线定义）．，．，（已知），（两直线平行，内错角相等），．．．【解答】解：平分，（已知）．（角平分线定义），．，（已知）．（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等），，故答案为：；55；；两直线平行，同位角相等；；．3．已知：如图，，，，，求证：．证明：，（已知）（垂直定义）同位角相等，两直线平行（已知）（等量代换）（已知）【解答】解：证明过程如下：证明：，（已知）（垂直定义）（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，内错角相等）（已知）（等量代换）（同位角相等，两直线平行）（两直线平行，同位角相等）（已知）（垂直定义）（等量代换）（垂直定义）．题型二平行线中的动态问题4．如图①，已知，．（1）若点、在线段上，且满足平分，平分，求的度数；（2）若点、在射线上，且满足平分，当点运动时，的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）若点在直线上，且满足，直接写出的值．【解答】解：（1），，，，，，平分，平分，，，；（2）如图，平分，，由（1）得，，，，，，故的度数比值不变，为．（3）①如图，当点在线段上时，由（1）可得，，，又，；②如图，当点在的延长线上时，由（1）可得，，，又，．5．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．（1）①当时，的度数是；②，；（2）当，求的度数（用含的代数式表示）；（3）当点运动时，与的度数之比是否随点的运动而发生变化？若不变化，请求出这个比值；若变化，请写出变化规律．（4）当点运动到使时，请直接写出的度数．【解答】解：（1）①，，，；②，；故答案为：130度，；（2），，，，平分，平分，，，，；（3）不变，．，，，平分，，；（4），，当时，则有，，，平分，平分，，，，，，，即．6．如图，已知直线射线，，是射线上一动点，过点作交射线于点，连接，作，交直线于点，平分，交直线于点．（1）若点，，都在点的右侧，求的度数；（2）在（1）的条件下，若，求的度数；（3）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1），，，，平分，；（2），，，，又，，，平分，，，，，；（3）设，，则，①当点、在点的右侧时，则，，，解得，；②当点、在点的左侧时，则，，，，解得，，，．综上所述：在点的运动过程中，存在，度数为或．7．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．（1）的度数是，的度数是；（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）当点运动到使时，的度数是多少？【解答】解：（1），，，；平分，平分，，，，，故答案为：，；（2）不变，，，，，平分，，；（3），，当时，则有，，由（1），，，，故答案为：．8．如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分．（1）若点，，都在点的右侧．①求的度数；②若，求的度数．（2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①，，，，平分，；②，，又，，，，，；（2）设，，则，①当点、在点的右侧时，则，，，解得，；②当点、在点的左侧时，则，，，，解得，，，．9．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，．（1）求的度数；（2）当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律；（3）当点运动到某处时，，求此时的度数．【解答】解：（1），，又，分别平分和，．（2）不变．理由如下：，，，又平分，，即．（3），，又，，，，．10．，在的右侧，平分，平分，、所在的直线交于点．．（1）求的度数；（2）若，求的度数；（3）将线段沿方向移动，使得点在点的右侧，其他条件不变，若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）．【解答】解：（1）平分，，；（2）（2）过点作，，，，，平分，平分，，，，，；（3）分三种情况：如图所示，过点作，平分，平分，，，，，，，，，．如图所示，过点作，平分，平分，，，，，，，，，．如图所示，过点作，平分，平分，，，，，，，，，．综上所述，的度数为或．11．如图，已知直线，直线与直线、分别交于点和点，点是直线上一动点，点在直线上，点在直线上，且点和点位于直线同一侧．（1）如图（1），当点在线段（不含端点和上运动时，求证：．（2）如图（2），当点运动到直线上方时，试写出、和三个角的数量关系，并证明．（3）如图（3），当点运动到直线下方时，直接写出、和三个角的数量关系．【解答】（1）证明：如图（1），过点作，，又，，，，即；（2）解：如图（2），，理由是：过点作，，又，，，，即；（3）解：如图（3），，理由如下：过点作，，又，，，，．12．珠江某河段两岸安置了两座可旋转探照灯，．如图1，2所示，假如河道两岸是平行的，，且，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度．（1）填空：60；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前，若两灯发出的射线与交于点，过作交于点，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1），，，故答案为：60；（2）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，①当时，如图1，，，，，，解得；②当时，如图2，，，，，解得，综上所述，当秒或110秒时，两灯的光束互相平行；（3）和关系不会变化．理由：设灯射线转动时间为秒，，，又，，而，，，即，和关系不会变化．13．如图1，，点，分别在直线，上，，过点作的延长线交于点，交于点，平分，交于点，交于点．（1）直接写出，，之间的关系：；（2）若，求；（3）如图2，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．【解答】解：（1）故答案为：；；；（2）设，平分由（1）的结论可得：，；（3）由（2）可得，，，，，①当时②当时③当时④当时，⑤当时，综上所述，的值为：6或12或21或24或30．14．已知，线段分别与、相交于点、．（1）如图①，当，时，求的度数；（2）如图②，当点在线段上运动时（不包括、两点），、与之间有怎样的数量？试证明你的结论；（3）如图③，当点在直线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．【解答】（1）解：过作，，，，当点在线段上运动时，，，，；（2），证明：过作，，，，，；（3）解：①当在线段的延长线上运动时，不成立，关系式是：，理由是：过作，，，，，，即；②当点在线段的延长线上运动时，新的相等关系为．理由：设与相交于，则．，，．③当点在线段上运动时，成立，关系式为，证明：过作，，，，，；综上所述，当点在直线上运动时，（2）中的结论不一定成立．题型三平行线中的其他综合问题15．如图，已知直线、被直线所截，，是平面内任意一点（点不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：（1）如图，由，可得，，．（2）如图，过作平行线，则由，可得，，．（3）如图，由，可得，，．（4）如图，由，可得，．的度数可能为，，，．（5）当点在的下方时，同理可得，或．故选：．16．已知与的两边一边平行，另一边互相垂直，且，则的度数为36或96或108．【解答】解：若是锐角时，过点作，如图1所示：，，又，，又，，又，，，，又，；若是钝角时．过点作，如图2所示：同理可得：，，，又，，，，，又，；当为钝角时，如图3，同理可得，，而，解得，综合所述：的度数为或或，故答案为36或96或108．17．已知：如图（1）直线、被直线所截，．（1）求证：；（2）如图（2），点在，之间的直线上，、分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数．【解答】解：（1）如图1中，，，，．（2）结论：如图2中，．理由：作．，，，，，，，同法可证：，，，，，．（3）如图3中，设，．，则，，，，，，平分，，，平分，，，，，，．18．已知，如图，把直角三角形的直角顶点放在直线上，射线平分．（1）如图1，若，求的度数．（2）若，则的度数为．（3）由（1）和（2），我们发现和之间有什么样的数量关系？（4）若将三角形绕点旋转到如图2所示的位置，试问和之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．【解答】解：（1）如图1，，，，又平分，，，（2）如图1，，，，又平分，，，故答案为：；（3）由（1）和（2）可得：；（4）和之间的数量关系不发生变化，如图2，平分，，，，，即：．19．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数；（3）如图3，若点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数【解答】解：（1）如图1，过作，，，，，，；（2）如图2，过作，过点作，设，，，，，，，，平分，，，，，平分，，，，，，，；（3）如图3，过作，过作，设，，，交于，平分，，，，，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，，，，．20．已知直线、和点在同一平面内，且，．（1）如图1，求和之间的数量关系；（2）如图2，若，垂足为，求证：；（3）如图3，已知点、、都在直线上，且，平分，平分．若，，请直接写出的度数．【解答】解：（1）如图1，，，，，，，故答案为：；（2）如图2，过点作，，，，，，，，，，．（3）如图3，过点作，，，，平分，平分，，，，，，设，，则，，，，，，，，，，中，由得：，，，，，．21．已知，，点为射线上一点．（1）如图1，若，，则