《数学》复习人教A（新高考）-第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用

第五章

第3节平面向量的数量积及平面向量的应用知识分类落实考点分层突破课后巩固作业内容索引///////123//////////////知识分类落实夯实基础回扣知识1知识梳理///////1.平面向量数量积的有关概念|a||b|cosθ|b|cosθ2.平面向量数量积的性质及其坐标表示(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).3.平面向量数量积的运算律三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系.4.平面几何中的向量方法1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.解析

(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.×√√×2.已知向量a＝(1，1)，b＝(2，4)，则(a－b)·a＝ (

) A.－14 B.－4 C.4 D.14

解析由题意得a－b＝(－1，－3)，则(a－b)·a＝－1－3＝－4.B3.设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的 (

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析

设a与b的夹角为θ.因为a·b＝|a|·|b|cosθ＝|a|·|b|， 所以cosθ＝1，即a与b的夹角为0°，故a∥b.

当a∥b时，a与b的夹角为0°或180°， 所以a·b＝|a|·|b|cosθ＝±|a|·|b|， 所以“a·b＝|a|·|b|”是“a∥b”的充分而不必要条件.AC5.(多选题)(2021·青岛统检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，

c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则 (

) A.|a|＝|b|

B.a⊥c C.b∥c D.θ＝135°

解析

由a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，得a＝(－1，1)，b＝(2，0)， 则|a|＝，|b|＝2，故A不正确；

a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确； 不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；BD所以θ＝135°，故D正确.综上知选BD.6.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝

________.

解析

由题意知(ka－b)·a＝0，即ka2－b·a＝0.

因为a，b为单位向量，且夹角为45°，考点分层突破题型剖析考点聚焦21.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ (

) A.4 B.3 C.2 D.0

解析

a·(2a－b)＝2|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.考点一平面向量的数量积运算///////自主演练B以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，－1∴P为BC的中点.

解析

如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.＝15－10－12＋6＝－1.－1A故选A.结合几何图形，当点P与F重合时投影最小，当P与点C重合时，投影最大，1.计算平面向量的数量积主要方法：(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)活用平面向量数量积的几何意义.2.解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算.但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补.感悟升华角度1夹角与垂直【例1】(1)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是 (

) A.a＋2b B.2a＋b C.a－2b D.2a－b考点二向量数量积的性质及应用///////多维探究D因此b⊥(2a－b).B解析

法一设a＝(1，0)，b＝(0，1)，解析因为a⊥c，所以a·c＝－2x＋2＝0，解得x＝1，则a＝(1，1)，因为b∥c，所以4＋2y＝0，解得y＝－2，则b＝(2，－2).A【例2】(2)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________________.

解析

法一由a·b＝0，得a⊥b.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.法二由a·b＝0，得a⊥b.由|c－a－b|＝1，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.1.两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.感悟升华因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；BC解析依题意|a|＝|b|＝1，∴θ为锐角，且cosθ＝2sinθ，A考点三平面向量的综合应用///////师生共研所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，【例3】(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，m·n＝sin2C. ①求角C的大小； 解①m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA

＝sin(A＋B)， 在△ABC中，A＋B＝π－C，0<C<π， 所以sin(A＋B)＝sinC， 所以m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，解

②由sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.即abcosC＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.1.以平面几何为载体的向量问题有两种基本解法：(1)基向量法：恰当选择基底，结合共线定理、平面向量的基本定理进行向量运算.(2)坐标法：如果图形比较规则，可建立平面坐标系，把有关点与向量用坐标表示，从而使问题得到解决.2.解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题.感悟升华A解析

以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设点A，B分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，点C为(x，y)，因此点C的轨迹为圆.故选A.解析法一如图，过点D作DF∥CE交AB于点F，由D是BC的中点，可知F为BE的中点.又BE＝2EA，则知EF＝EA，从而可得AO＝OD，∴a2＋b2＝3，

向量具有数形二重性，借助几何直观研究向量，优化解题过程，进而提高解题效率.设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则平面向量与三角形的“四心”

C∴P，C，D三点共线，

∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.解析根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍.在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7.B设△ABC的内切圆的半径为r，则解析

设△ABC外接圆的半径为R，∵O为△ABC的外心，在△AOC中，由余弦定理得AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOCB所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心.课后巩固作业提升能力分层训练3解析

因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.CB解析以A为坐标原点，建立直角坐标系如图.D解析

设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，设向量a＋b与a的夹角为θ，D解析

如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，BCABD由题图可知Rt△ACD∽Rt△ABC，选项D正确.故选ABD.8.(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.∵|a|＝|