考点巩固卷09 解三角形（七大考点）-新课标2025年高考《数学》一轮复习考点通关卷（解析版）

第第页考点巩固卷09解三角形（七大考点）考点01：正余弦定理的应用条件《正弦定理》①正弦定理：②变形：③变形：④变形：⑤变形：《余弦定理》①余弦定理：②变形：核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（

）A． B．4 C． D．5【答案】B【分析】根据正弦定理角化边，由三角形面积公式求，再结合余弦定理，即可求解.【详解】由正弦定理角化边，可知，，且则，，则，则，①由余弦定理，②由①②得，，即.故选：B2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果.【详解】因为，且，则，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，则，所以，又，化简可得，且为锐角三角形，则，所以，即，解得或（舍），所以，当且仅当时，等号成立，则的最大值为.故选：B3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正、余弦定理边角转化可得，再利用正弦定理解得，根据大边对大角结合同角三角关系分析求解.【详解】因为，则，由正弦定理可得，整理可得，则，且，所以.由正弦定理可得，且，则，所以.故选：A.4．在锐角中，，，分别为三个内角所对的边，且，则角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意利用正弦定理边化角，化简整理即可得结果.【详解】因为，由正弦定理可得，且角为锐角，则，可得，即，且角为锐角，所以角为.故选：D.5．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正弦定理可得，结合，可求，可求.【详解】由，由正弦定理得，所以，所以，因为，所以可得，所以，所以，因为，所以.故选：D.6．记的内角的对边分别为，若，则是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得，即可求解.【详解】，由正弦定理得，又，所以，又，所以，因为，所以，即，得，故，则，所以为正三角形.故选：B7．在中，角的对边分别是，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.【详解】在中，由正弦定理及，得，设，，，所以.故选：A8．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（

）A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为【答案】ACD【分析】对于A，由正弦定理进行边角互化可得B，再利用正弦定理可得外接圆的半径；对于BC，利用余弦定理结合基本不等式可得的最值及的最值；对于D，根据向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值.【详解】对于A：，由正弦定理得，即，即，因为，所以，所以，，因为，则，令外接圆的半径为,根据正弦定理可得，即，故A正确；对于C：由余弦定理知，，因为，，所以，，当且仅当时等号成立，因为，所以的最大值为，故C正确；对于B：由C知，则，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错；对于D：因为为边上的中线，所以，，得，因为，所以的最小值为，故D正确；故选：ACD.9．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为.【答案】【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即.【详解】中，，，所以，所以，根据正弦定理，，即，因为，所以，由为三角形内角可知，，根据正弦定理，，所以，其中，，当时取得最大值，所以的最大值为.故答案为：10．已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】因为，由正弦定理得，所以，可得，因为为的内角，所以，则，又因为，可得，所以，因为，由正弦定理得，又因为，所以，则，所以，当时，取得最小值.故答案为：.考点02：三角形的多解问题在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：①若A为锐角时：一解一解两解无解②若A为直角或钝角时：11．记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（

）A．2 B． C． D．4【答案】C【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围.【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：，角要有两解，则需满足且，解得：.故选：C12．在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（

）A．若是边长为1的正三角形，则B．若，则为等腰直角三角形C．若，，，则这样的三角形有且只有两个D．若，，为外心，则【答案】CD【分析】根据向量数量积的定义即可判断A，由正弦定理及二倍角公式可判断B，根据已知两边及一边对角三角形解的个数的判断方法判断C，根据向量的数量积的运算律判断D.【详解】对A，，故A错误；对B，由正弦定理可得，即，由，所以或，即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故B错误；对C，因为，所以三角形有两解，故C正确；对D，如图，取的中点，连接，则，

所以，又，所以，故D正确；故选：CD13．在，下列说法正确的是（）A．若，则为等腰三角形B．若，则必有两解C．若是锐角三角形，则D．若,则为锐角三角形【答案】BC【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B；由已知得，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.【详解】对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误；对于B，，即，必有两解，故B正确；对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确；对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误.故选：BC.14．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（）A．若，，，则符合条件的恰有两个B．若，则是等腰三角形C．若，则是等腰三角形D．若，则是直角三角形【答案】ABD【分析】对于A，求出与比较即可，对于B，利用正弦定理统一成角的形式再结合三角恒等变换公式化简判断，对于C，利用余弦定理统一成边的形式化简进行判断，对于D，利用三角函数恒等变换公式化简进行判断.【详解】对于A，设边上的高为，则，因为，，所以，所以符合条件的恰有两个，故A正确；对于B,若，由正弦定理得，所以，因为，所以，或（舍去），所以是等腰三角形，故B正确；对于C,若，由余弦定理得，所以，化简得，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D,若，所以，所以，所以，因为，所以，所以．所以或，因为，所以或，所以是直角三角形，故D正确．故选：ABD．15．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则为等腰三角形C．若，则为锐角三角形D．若的三角形有两解【答案】ABD【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数.【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得，，所以，即，故A正确；对于B，由余弦定理得，化简得，故为等腰三角形，故B正确；对于C，由余弦定理，因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；对于D，若，则由正弦定理得，因为，所以三角形有两解，故D正确；故选：ABD.16．在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（

）A．若，则的面积为 B．若，则C．若，则 D．若有两解，则【答案】ACD【分析】根据三角形的面积公式计算即可判断A；根据正弦定理计算即可判断B；根据余弦定理计算即可判断C；根据正弦定理和且即可判断D.【详解】A：若，则，故A正确；B：若，由正弦定理得，即，解得，故B错误；C：若，由余弦定理得，即，整理得，由解得，故C正确；D：由正弦定理得，则，由得，若有两个解，则且，所以，即，解得，故D正确.故选：ACD17．在中，内角所对的边分别为,，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．当时，最小值为C．当有两个解时，的取值范围是D．当为锐角三角形时，的取值范围是【答案】BCD【分析】对于A，利用数量积的定义计算即得；对于B，结合图形，化简，将问题转化成点到直线距离的最小值问题；对于C，利用正弦定理和三角函数的值域，结合图形即得；对于D，利用正弦定理，求得由题意求出，结合正弦函数的图象即得范围.【详解】对于A，因，故，即A错误；

对于B，如图，因当时，与共线，故可设,则,故，由图知，当且仅当时取最小值，此时，即B正确；对于C，由正弦定理，，，当有两个解时，须使且，的取值范围是，故C正确；对于D，因，,当为锐角三角形时，,解得，,则，,由正弦定理，故的取值范围是，故D正确.故选：BCD.18．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则为钝角三角形C．若，则为等腰三角形D．若，的三角形有两解，则的取值范围为【答案】AB【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；对于B，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，故B正确；对于C，因为，所以，即，又，所以，所以或，即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D错误．故选：AB．19．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（）A．若，，，则符合条件的有两个B．若，，，则符合条件的有且只有一个C．若，则一定是锐角三角形D．若，则一定是等腰三角形【答案】AB【分析】对于A，解出可能的即可；对于B，求出可能的即可；对于C，给出反例即可；对于D，给出反例即可.【详解】对于A，由余弦定理可知，即.所以或，经验证和均满足条件，从而的三边共有两种可能的取值情况，所以A正确；对于B，由余弦定理可知，即，且经验证符合条件，从而的三边有唯一的取值情况，所以B正确；对于C，若，则是直角三角形，但，所以C错误；对于D，若，则不是等腰三角形，但此时由可知，故，所以D错误.故选：AB.20．在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为．【答案】5（答案不唯一）【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可.【详解】在中，，，由正弦定理，得，由存在且唯一，知或且，解得或，而，所以的一个取值为5.故答案为：5考点03：判断三角形形状问题Ⅰ：特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余关系：，，；（2）等腰三角形，；Ⅱ：用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；21．在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（

）A．等腰直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可.【详解】因为，由正弦定理可得，所以，又，则，所以或，所以或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：B22．在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状为（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．非等边三角形【答案】B【分析】利用正弦定理边化角，再用内角和为，化，再通过三角恒等变形，即可得证.【详解】由正弦定理知(R为三角形外接圆的半径)，故，所以，即，因为，所以,所以，即．故为等腰三角形．故选：B.23．若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案【详解】设，该三角形的最大角为，由余弦定理得，故为钝角，三角形形状为钝角三角形.故选：C24．记的内角的对边分别为，则（

）A．当时，为直角三角形B．当时，最大角与最小角之和为C．当.时，D．当时，为锐角三角形【答案】ABC【分析】根据余弦定理求解长度，即可判断A，根据余弦定理求解中间角，即可求解B，根据正弦定理即可求解C，利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解D.【详解】对于A,由余弦定理可得,由于，故为直角三角形，A正确，对于B，三角形的三边长分别为，，，，故,则该三角形最大角与最小角之和为,B正确，对于C，由正弦定理可得,由于，故，C正确，对于D，由可得,所以，由于,所以，进而,故，因此三角形为钝角三角形，D错误，故选：ABC25．在中，下列说法正确的有（

）A．若，则B．若为锐角三角形，则C．若，则一定是等腰三角形D．若为钝角三角形，且，则的面积为或【答案】ABD【分析】对于A，可以根据大角对大边知道，再用正弦定理即可．对于B,根据锐角三角形，知道，即，因为且结合在区间单调递增，得到，再用诱导公式即可．对于C，切化弦，再用二倍角公式转化即可．对于D，用余弦定理求出，再分类讨论即可．【详解】对于A：因为，所以，所以，A正确；对于B：因为是锐角三角形，所以，即，因为且，在区间单调递增，所以，B正确；对于C：，即，即，所以，而A,B为三角形内角，所以或者，所以是等腰三角形或者直角三角形，C错误；对于D：易求出，而，所以，化简可得，解得或者，当时，，此时是最大角且，所以满足钝角三角形，此时，当时，，此时为最大角且，所以满足钝角三角形，，此时D正确．故选：ABD.26．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（

）A．若为锐角三角形，则B．若，则为等腰或直角三角形C．若，则不一定为直角三角形D．若，则解的个数为1【答案】ABD【分析】对于A，利用结合诱导公式判断，对于B，利用二倍角公式化简后，再利用正余弦定理统一成边的形式，化简可判断，对于C，先利用二倍角公式化简已知等式，再结合正余弦定理化角为边，化简运算即可判断，对于D，利用余弦定理求出的值，即可判断.【详解】对于A，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以，化简得，所以，所以或，所以为等腰或直角三角形，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以，所以，所以或，所以或，所以一定是直角三角形，所以C错误，对于D，由余弦定理得，所以只有一个解，所以解的个数为1，所以D正确，故选：ABD27．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（

）A．若，则为等腰三角形B．在锐角中，不等式恒成立C．若，，且有唯一解，则或D．若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9.【答案】BC【分析】用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得B选项的真假；根据边角的关系与解的数量判断C的真假；根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出D的真假．【详解】对于A，因为，由余弦定理可得：，所以有，整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B，若为锐角三角形，所以，故，由正弦函数在单调递增，则，故B正确．对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确．选项D，的平分线交于点，，由，由角平分线性质和三角形面积公式得，得，即，得，得，当且仅当，即时，取等号，故D错误．

故选：BC．28．在中，角，，所对的边依次为，，，已知，则下列结论中正确的是（

）A．B．为钝角三角形C．若，则的面积是D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则【答案】BCD【分析】由正弦定理可得，设，，，即可判断A，利用余弦定理求出，即可判断B，结合A求出边，再结合B求出，最后由面积公式判断C，首先由正弦定理求出，利用等面积法求出，即可判断D.【详解】因为，由正弦定理，可得，设，，，则，故A错误；由题意可知，为最大角，因为，故为钝角，故B正确；若，则，，，又，所以，所以的面积，故C正确；由正弦定理得，，即，由面积公式可得，即，所以，所以，故，故D正确．故选：BCD．29．已知的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（

）A．B．若，则有两解C．当时，为直角三角形D．若为锐角三角形，则的取值范围是【答案】ACD【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通过余弦定理及可得或，即可判断C；通过求的取值范围，并将即可判断D.【详解】对于A，因为，所以由及正弦定理得，，由诱导公式得，，因为，故，所以，化解得，即，所以或，即（舍）或，故A正确；对于B，由余弦定理得，即，得，由，所以(负值舍)，即有一解，故B错误；对于C，因为，两边平方得，由余弦定理得，由两式消得，，解得或，由解得，由解得;故为直角三角形，故C正确；对于D，因为为锐角三角形，且，所以，即，所以，所以，故D正确.故选：ACD.30．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（

）A．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个B．若，则为钝角三角形C．若不是直角三角形，则D．若，则为等腰三角形【答案】ABC【分析】利用正弦定理及三角形的性质可判定A，由正弦定理及余弦定理可判定B，由正切的和角公式可判定C，由正弦定理及二倍角公式可判定D.【详解】对于A，可知，而，则，，即满足条件的C只有一个，故A正确；对于B，若，所以，则，故B正确；对于C，易知，整理得，故C正确；对于D，若，即，又，且的余弦值同号，则，即，所以或，故D错误.故选：ABC考点04：三角形面积定值问题三角形面积公式①②其中分别为内切圆半径及的周长推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式③（为外接圆的半径）推导：将代入可得将代入可得④⑤海伦公式（其中）推导：根据余弦定理的推论令，整理得31．在中，，，，则的面积为.【答案】/【分析】利用余弦定理求出，再求,即可由面积公式求解.．【详解】中，，，，由余弦定理得,由于，所以，所以的面积为：故答案为：32．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为．【答案】【分析】因为，，，利用余弦定理求出，由三角形的面积公式，即可求得.【详解】由余弦定理，，代入，，，得，即，解得或（舍去），则的面积为.故答案为：.33．已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．(1)求角的大小；(2)若，，求的面积．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由余弦定理可得答案；（2）由正弦定理得，结合求出，再由三角形的面积公式可得答案.【详解】（1）由，，由，；（2），由正弦定理得①，又②，联立①②解得，，．34．已知锐角的内角的对边分别为，向量，且．(1)求；(2)若的面积为，求．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）根据向量垂直结论得到三角函数式子，后运用正弦定理进行边角互化即可；（2）运用面积公式得到方程，结合条件,求出,再用余弦定理求即可.【详解】（1）由题意得，由正弦定理得，又，所以，则，即．因为，所以．（2）由，得，结合，得．由余弦定理得，得．35．的内角，，的对边分别为，，，已知.(1)求；(2)若，的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理可得角；（2）根据余弦定理，结合三角形面积，可得，进而可得周长.【详解】（1）因为，由正弦定理得，由余弦定理得，又，则；（2）由已知，即，又，即，所以，所以的周长为.36．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求A；(2)若D为上一点，平分，且，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）用二倍角公式将化为，再边角互化，三角恒等变换化解即可；（2）用等面积法和用余弦定理结合即可求解．【详解】（1）因为由正弦定理得化简得又因为所以由于，所以则，即（2）如图所示，因为所以，即由余弦定理知.即所以，解得或（舍去）所以．37．已知的内角的对边分别为，.(1)求;(2)若的面积为，求和.【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到，则；（2）根据三角形面积公式即可得值，再利用余弦定理即可得到值.【详解】（1）由正弦定理：，那么，由于，则，则，且，故.（2）由于，则，根据余弦定理：，那么.38．在中，．(1)求；(2)若的面积是，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）用余弦定理进行边角互化可解；（2）由面积公式得到，再用余弦定理和基本不等式可解.【详解】（1），用余弦定理得到，，化简得到，则，,则.（2）由于,．由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.39．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，可得，因为，所以，从而，又因为，即，注意到，所以.（2）由（1）可得，，，从而，，而，由正弦定理有，从而，由三角形面积公式可知，的面积可表示为，由已知的面积为，可得，所以.40．平面四边形中，，，，．(1)求；(2)求四边形周长的取值范围；(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得；（2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围；（3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，，所以，在中由余弦定理；（2）在中，即，所以，所以，当且仅当时取等号，又，则，即，所以，所以，即四边形周长的取值范围为；（3）因为，所以，又，所以，，又，所以，在中由余弦定理，即在中由余弦定理，即，又，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，所以..考点05：三角形面积最值问题正规方法：面积公式+基本不等式①②③41．已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，再利用两次基本不等式得到，从而得解.【详解】因为，则，，即，由余弦定理可得，又，所以①，②，①②可得，又，即，则，即，即，解得，当且仅当时，即，时，等号成立，所以面积的最大值为.故选：B.42．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（

）A．B．若，，则满足条件的△ABC有两个C．若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积的最大值为D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是【答案】ACD【分析】A根据面积公式和余弦定理得即可判断；B根据正弦定理结合和角正弦公式可得，根据正弦定理得，结合角的范围即可判断；C根据题意，平方后得，结合基本不等式得，根据面积公式即可判断；D令，则，根据正弦定理得，弦化切后分离常数，结合角的范围即可判断.【详解】对于A，，则，根据余弦定理得，即，由，故A正确；对于B，根据正弦定理可得，,即，由，，根据正弦定理得，，由，故只有一解，故B错误；对于C，，，即，，，即，当且仅当，即时，等号成立，所以，即△ABC面积的最大值为，故C正确；对于D，令，则，在中，根据正弦定理得，，在上单调递减，所以当时，有最大值，当时，有最小值，所以的取值范围是，故D正确.故选：ACD.43．在中，已知点满足.(1)若，求的长度；(2)若，求面积的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）在，中，由正弦定理得，从而确定，再由两边同时平方，即可得.（2）根据题意得，在中，由余弦定理得，则代入即可.【详解】（1）因为，,即,所以，在，中，由正弦定理得,又因为，所以，即，又因为,所以，故，所以，即所以，故.（2）因为，且，所以.在中，由余弦定理得，故，即，当且仅当取等号，所以,所以的面积取值范围为.44．在中，内角所对的边分别为，向量，且．(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值；(3)求的值域【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由向量垂直的坐标表示、余弦定理可得答案；（2）由余弦定理、基本不等式可得答案；（3）由的范围求出的范围，再根据的取值范围可得答案．【详解】（1），，由正弦定理得，，，，且，；（2），根据余弦定理得，即，，，当且仅当时，等号成立，所以，即面积的最大值为；（3），，，，的取值范围是．45．已知在中，，在线段上，且.(1)若是的中点，求面积的最大值；(2)若，求面积的最小值.【答案】(1)2(2)1【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，由是的中点，得，两边平方化简后结合基本不等式可求得，再利用三角形的面积公式可求得其最大值；（2）利用两角差的正弦公式表示出，由结合基本不等式可求得，再利用三角形的面积公式可求得其最小值.【详解】（1）因为，，所以，因为是的中点，所以，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以面积为，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为2；（2）由（1）知，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最小值为1.46．在中，为角对应的边，为的面积.且.(1)求；(2)若，求内切圆半径的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；（2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，又，所以；（2）设内切圆的半径为，则，所以，又，所以，则，由，得，当且仅当时取等号，所以，即内切圆半径的最大值为.47．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.(1)求；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理将化为，再利用余弦定理可求,则得到；（2）由，利用基本不等式可得，又，则利用三角形的面积公式，即可求出面积的最大值.【详解】（1）由余弦定理得，化简得，所以在中由余弦定理可得，又因为，所以.（2）由（1）知，由，，，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，故面积的最大值为.48．在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)若，且的面积为，求的长度；(2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理进行边化角运算，根据展开化简，再由辅助角公式计算可求出的值，再由三角形面积公式和边的等量关系，可求出边，从而求出相应边长，余弦定理即可求出长；（2）法一：根据题意，由余弦定理可求出等量关系，由三角形为锐角三角形建立边的不等式组，求解可解出边的范围，三角形面积公式即可求出结果；法二：正弦定理求解边的范围，代入三角形面积公式可求出结果.【详解】（1）由及正弦定理，得，因为，且，所以，即，因为，所以，即；由的面积为，得，，，又因为，，，，，，在中，由余弦定理，得，所以．（2）法一：由余弦定理，得，将代入，整理，得，因为为锐角三角形，，即，解得：，.法二：，因为为锐角三角形，，，，，.49．如图，已知平面四边形中，.(1)若四点共圆，求；(2)求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；；（2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得.【详解】（1）在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为四点共圆，所以，因此，上述两式相加得：，所以（负值已舍去）.（2）由（1）得：，化简得，则①，四边形的面积，整理得，则②①②相加得：，即，由于，所以当且仅当时，取得最小值，此时四边形的面积最大，由，解得，故四边形面积的最大值为.50．在中，内角的对边分别是，，.(1)求角的大小；(2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；（2）由（1），根据余弦定理可得，利用基本不等式和三角形面积公式知当且仅当时满足题意，结合正弦定理计算即可求解.【详解】（1），所以，由正弦定理得，即，得，又，所以，即，又，所以；（2）由余弦定理得即，而，，即，.当且仅当取等号此时，则，在中，由正弦定理得，即，解得.考点06：三角形周长定值问题类型一：已知一角与两边乘积模型 第一步：求两边乘积第二步：利用余弦定理求出两边之和类型二：已知一角与三角等量模型 第一步：求三角各自的大小第二步：利用正弦定理求出三边的长度51．在中，角所对的边为，已知.(1)求；(2)若，，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及两角和差正弦公式计算求出正切值求角即可；（2）由正弦定理结合和比定理求出进而得出周长即可.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，在中，，，，.（2），，所以的周长为.52．在条件①，②，③中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足______.(1)求；(2)的内角平分线交于点，若的面积为，，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的范围求教即可；（2）把三角形面积结合角平分线得出边长，再应用余弦定理得出,即可得出边长.【详解】（1）若选①，，，由正弦定理得，由余弦定理得，，解得.

，.若选②，由正弦定理得，即，，.，，，，.

若选③，由正弦定理得，，即，所以，即，，，整理得，即，，，，即.（2），，即.又，

..，的周长为.53．在中，，在边上，且.(1)若，求的周长;(2)求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求出，，从而求出三角形的周长；（2）设，则，由三角形三边关系求出，由余弦定理得到，表达出的周长为，，构造函数，求导得到其单调性，从而求出最大值.【详解】（1）若，则，又，，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，故，故的周长为；（2）由（1）知，，设，则，由三边关系可得，解得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得故，所以的周长为，令，，则，当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，最大值为.54．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．(1)证明：是锐角三角形；(2)若，求的周长．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先根据正弦定理以及余弦定理求解出的值，然后根据的值分析出的范围，从而确定出的范围，由此可完成证明；（2）先求解出的值，然后根据正弦定理求解出的值，由此可求的周长.【详解】（1），由正弦定理得，整理得．由余弦定理得．，．，，，，均小于，是锐角三角形．（2），，又，，在中，由正弦定理得，即，，，的周长为．55．在中，内角的对边分别为，已知，且．(1)求A；(2)已知角A的平分线交于点M，若，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简求得，得到，即可求解；（2）根据题意，利用，化简得到，再由余弦定理，列出方程求得的值，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，所以，又因为，所以，可得，因为，可得，所以，所以，又因为，所以.（2）解：因为，交的内角平分线交于点，且，，又因为，所以，可得，由余弦定理得：，整理得，解得或（舍去），所以，即的周长为.56．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角的大小；(2)若的面积为，，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小；（2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长.【详解】（1）中，由，得，由余弦定理得，即，由正弦定理得，，，得，，则.（2）若的面积为，则，得，，由余弦定理，得，解得，的周长为.57．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角A的大小;(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，再结合余弦定理即可求得答案；（2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求出的值，即可得答案.【详解】（1）因为，故，而，即，即，所以，因为，故；（2）由（1）可知，的面积为，即，故；又，即，则，故的周长为.58．在中，内角的对边分别为，且满足(1)求；(2)若的面积，求的周长.【答案】(1)；(2)9.【分析】（1）利用正余弦定理计算即可；（2）利用余弦定理及三角形面积公式计算即可.【详解】（1）由正弦定理可知，因为中，，所以；（2）由三角形面积公式及（1）可知：，由余弦定理，所以的周长为.59．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求角A；(2)若，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）已知利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简得，可得角A；（2）利用向量数量积的运算，求出，得为等边三角形，可求周长.【详解】（1）∵中，，由正弦定理知，，由，得，则有，得，又，则有，由，解得．（2），由，则，得，由，有，得，解得，又，为等边三角形，，所以的周长为.60．在中，角，，所对的边分别为，，，，.(1)求的面积；(2)若，求的周长.【答案】(1)(2)3【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的真想公司化简，可得，利用三角形面积公式即可求得答案；（2）由余弦定理推出，继而求出的值，即可得答案.【详解】（1）由已知，在中有，故，即，即，而，所以，又，故的面积为.（2）由余弦定理，得，可得，所以，所以，即，所以的周长为3.考点07：三角形周长最值问题高端结论：在中，已知,其中分别是的系数，其中周长往往求则其中61．在中，，则下列结论正确的是（

）A．若，则有两解 B．面积有最大值C．若是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为 D．周长最大值为6【答案】ABC【分析】对于A，根据判断即可；对于BCD，均可先由正弦定理边化角得，，再依次由、、结合三角恒等变换公式以及三角函数值的范围即可研究面积、高和周长的取值范围.【详解】对于A，由正弦定理得，所以，故有两解，故A正确；对于B，由题及正弦定理得，，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以面积最大值为.故B正确；对于C，因为，所以对于BC边上的高AD，角或角为钝角的情况是等价的，不妨令角C为钝角，因为，所以由选项B有，则由得，所以，所以，所以，所以若是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为.对于D，由选项B得周长为，又，所以，所以，所以最大值为，即周长最大值为.故D错误；故选：ABC.62．已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（

）A． B．边的取值范围是C．面积取值范围是 D．周长取值范围是【答案】ABC【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围.【详解】A选项，由题意得，即，因为，所以，A正确；B选项，由正弦定理得，故，因为锐角中，，所以，解得，故，，B正确；C选项，由B可知，，故，面积取值范围是，C正确；D选项，由正弦定理得，故，因为，所以，故，所以周长取值范围是，D错误.故选：ABC63．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（

）A．若，则 B．若，则该三角形有两解C．周长有最大值12 D．面积有最小值【答案】ABC【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.【详解】对于A，，，由正弦定理得，所以，故A正确；对于B，由正弦定理得得，所以，因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；对于C，由，得，所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大，周长为12，故C正确；对于D，由得,故由于，无最小值，所以面积无最小值，有最大值为，故D错