考点巩固卷04 指对幂函数（六大考点）-新课标2025年高考《数学》一轮复习考点通关卷（解析版）

第第页试卷第=page22页，共=sectionpages2828页考点巩固卷04指对幂函数（六大考点）考点01：指数基础运算及特殊运算1、有理数指数幂的分类⑴正整数指数幂⑵零指数幂⑶负整数指数幂⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2、有理数指数幂的性质⑴⑵⑶⑷3、根式的定义一般地，如果，那么叫做的次根式，其中叫做根式，叫做根指数，叫做开方数.4、对于根式，要注意以下几点⑴且；⑵当为奇数时，；当为偶数时，；⑶负数没有偶次方根；⑷的任何次方根都是5、多重根号问题，首先先写成指数形式，6、指数的逆运算过程特殊运算：形如，求下列各种形式的值的思路．（1）；根据计算即可；（2）；根据计算即可；（3）．由于，进而根据即可求解.（4）；根据计算即可（5）根据计算即可（6）根据计算即可1．下列各式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质，准确计算，即可求解.【详解】对于A，由指数幂的运算性质，可得，所以A错误；对于B，由指数幂的运算性质，可得，所以B错误；对于C，由指数幂的运算性质，可得，所以C错误；对于D，由指数幂的运算性质，可得，所以D正确.故选：D.2．用分数指数幂的形式表示的结果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据根式与分数指数幂的互化原则直接化简即可.【详解】，.故选；B.3．化简的结果为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用根式的运算性质即可得出答案.【详解】，.故选：D4．计算，结果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.【详解】.故选：B5．函数的导数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把函数化为分数指数幂，根据导数公式可求出结果.【详解】，则.故选：B6．化简的结果为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平方差公式化简即可.【详解】=======故选：B7．已知，则的值是（

）A．15 B．12 C．16 D．25【答案】A【分析】利用分数指数幂的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，又由立方差公式，，故选：A．8．化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先分析的取值范围，再进行根式化简.【详解】由题意得，，即，所以.故选：B9．下列各式中成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数幂的运算性质可判断AC选项；根据根式与指数幂的互化可判断BD选项.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：D.10．设，，为奇函数，则的值为．【答案】【分析】先化简已知函数，再由函数为奇函数可得，由此式可解的值．【详解】要使为奇函数，∵,∴需，∴，由,得,．故答案为：1.考点02：对数基础运算对数运算法则①外和内乘：②外差内除：③提公次方法：④特殊对数：⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：2、对数的定义一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记,其中叫做对数的底数，叫做对数的真数3、换底公式①常用换底②倒数原理③约分技巧④具体数字归一处理：11．下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则及运算性质，逐项计算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以C错误；对于D中，由，所以D错误．故选：A12．若实数，，满足且，则（

）A． B．12 C． D．【答案】D【分析】根据指对数的互化可得，，代入，即可计算得到的值.【详解】因为且，易知且，所以，，所以，，所以，则.故选：D．13．工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量（单位：mg/L）与过滤时间小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（

）（最终结果精确到1h，参考数据：，）A．43h B．38h C．33h D．28h【答案】D【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数，即可解出．【详解】∵废气中污染物含量与过滤时间小时的关系为，令，得废气中初始污染物含量为，又∵前5小时过滤掉了10%污染物，∴，则，∴当污染物过滤掉50%时，，则，∴当污染物过滤掉50%还需要经过.故选：D.14．若，，则（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】A【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.【详解】由，所以故选：A15．设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用换底公式可得，结合对数运算性质分析求解.【详解】根据换底公式有，，可得，整理得.故C正确，检验可知其他选项均不符合.故选：C.16．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即得.【详解】在上的奇函数满足，则，于是，即函数的周期为4，而，则，，又当时，，所以.故选：A17．已知，，用a，b表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由指对互化得，再把利用换底公式计算可得答案.【详解】因为，所以，.故选：C.18．．【答案】【分析】根据给定条件，利用换底公式及对数运算性质计算即得.【详解】.故答案为：19．方程的正实数解为.【答案】【分析】运用对数的运算性质先证，可得原方程为，，可得，再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到方程的解．【详解】先证（且，且，且），令，，两边取为底的对数，可得，，所以，所以，即，则即为，可得，由于在上单调递增，，在上单调递减，所以，在上单调递减，可得在上单调递减，又时，即时，有，则原方程的解有且只有一个为.故答案为：20．已知，，则．【答案】64【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.【详解】由题，整理得，或，又，所以，故故答案为：64.考点03：指对数函数底数大小的比较形如：图象如下：先画一条的直线，明确交点，由下至上底数越来越大.形如：确定大小关系其中，先画一条的直线，明确交点，由左至右底数越来越大.故21．图中曲线分别表示的图像，，的关系是（）A． B．C． D．解：如图所示：当时，，因为，所以故选：C22．图中曲线分别表示，，，的图象，的关系是（）A．a<b<d<c B．b<a<c<dC．d<c<a<b D．c<d<a<b解：如图所示，在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象向x轴靠近，

可知0＜c＜d＜1＜a＜b，故选：D．23．如图，曲线，，，分别对应函数，，，的图象，则（）A． B．C． D．解：作直线，它与各曲线，，，的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：.故选：A24．如图所示的曲线，，，分别是函数，，，的图象，则的大小关系是（）A． B．C． D．解：作直线，分别与这四条曲线交于点，如下图所示由，解得；，解得；，解得；，解得则由图象可知，对应的底数为．故选：B25、如图是指数函数①；②；③；④的图象，则与的大小关系是（）A． B． C． D．解：根据函数图象可知函数①；②为减函数，且时，②①，所以，根据函数图象可知函数③；④为增函数，且时，③④，所以故选：B26．已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（）A． B． C． D．解：很显然均大于1；与的交点在与的交点上方，故，综上所述:.故选:考点04：指对数函数过定点问题指数函数的图象与性质函数a>10<a<1图象最特殊点即图象都过性质①定义域R值域②即当图象都过定点(0，1)，③即不是奇函数也不是偶函数④当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1④当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1⑤在(－∞，＋∞)上是增函数⑤在(－∞，＋∞)上是减函数对数函数的图象与性质由于对数图象是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只需由相应的指数函数图象关于对称即可，当然也分和两种情况讨论，讨论如下a>10<a<1图象性质①定义域：(0，＋∞)②值域：R③当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)④当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0④当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0⑤在(0，＋∞)上是增函数⑤在(0，＋∞)上是减函数27．函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（

）A． B．9 C． D．8【答案】B【分析】根据指数函数的性质求出定点的坐标，即可得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】对于函数，令，即时，所以函数的图象恒过定点，又定点的坐标满足方程，所以，即，又，，所以，当且仅当，即，时取等号，的最小值为．故选：B．28．已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（

）.A． B．C． D．【答案】B【分析】由指数型函数所过的定点求解即可.【详解】令，解得，则，即过定点.故选：B29．函数，且恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，且求出的值，代入求出对应的函数值即可得出函数恒过定点的坐标.【详解】由已知得，由此可知函数恒过定点，故选：B.30．函数且的图象恒过定点，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令上的指数为0即可得到答案.【详解】对于函数，令，可得，则，所以，函数且的图象恒过定点坐标为．故选：A31．已知函数且的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函数的图象恒过定点，进而可得，结合基本不等式和指数的运算性质进而得到答案．【详解】当时，，故函数的图象恒过定点，由点在直线上，则,故，当且仅当等号成立,故的最小值是.故选：B32．函数的图象恒过定点，且点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（

）A．7 B．6 C． D．【答案】C【分析】先利用必过定点确定的坐标，后利用基本不等式‘1’的代换处理即可.【详解】在中，当时，，故，将代入直线方程中，化简得，故，当且仅当‘’时取等，即的最小值为.故选：C33．当且时，函数恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指数函数的性质即可求解.【详解】当时，，与无关，则函数恒过定点．故选：B.34．已知函数图象恒过的定点在双曲线的一条渐近线上，双曲线离心率为e，则等于（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用对数函数的性质，求得函数的图象恒过定点，代入双曲线的渐近线方程，求得，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由函数，令，可得，且，所以函数的图象恒过定点，又由双曲线的一条渐近线方程为，将点代入渐近线方程，可得，解得，所以双曲线的离心率为，所以.故选：C.35．若函数，且的图象所过定点恰好在椭圆上，则的最小值为（

）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到m与n的等量关系，再利用基本不等式即可求解.【详解】由题意得，函数，且的图象所过定点为，则，所以，当且仅当，即时等号成立.故选：C.36．函数（且）的图象所过的定点为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的性质即可得解.【详解】因为函数（且），令，解得，则，所以的图象所过的定点为.故选：A.考点05：涉及指对数分段函数判断参数的取值范围形如：①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，.②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，.③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，.④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，.形如：①如果为单调递增函数，满足：为递增函数，为递增函数，.②如果为单调递减函数，满足：为递减函数，为递减函数，.③如果由最大值，满足：为递增函数，为递减函数，.④如果由最小值，满足：为递减函数，为递增函数，.37．已知在上满足，则的取值范围为（）A． B． C． D．解：第一步：因为在上满足，即函数在上单调递增，第二步：所以恒成立，即且恒成立，即的取值范围为，故选D.38．函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．解：第一步：函数在上单调递减，第二步：需，解得.故选:B.39．若函数的值域为，则的取值范围为（）A．， B．， C．， D．，，解：第一步：①若时，则当时，单调递增，当时，在上单调递增，在，上单调递减，若函数值域为则需，解得；第二步：②若时，则当时，单调递减，当时，在上单调递增，在，上单调递减，不满足函数值域为，不符合题意，舍去，综上：的取值范围为，，故选：40．已知函数在上单调,则的取值范围为()A． B． C． D．解：又当时,是单调递减函数在上是单调递减函数根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,也要保证在分界点上单调递减可得:第二步：解得:.故选:A.41．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．解：由题,当时,,则,因为的值域为,则当时,需满足,即,且，当时,,舍去；当时,设,则对称轴为,则,即；当时,有最大值,故舍去综上,故选：B42、设函数有最大值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．解：因为在上单调递增，所以，因为在上单调递减，所以，因为函数有最大值，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选：D43．函数（且）在R上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．解：因为函数（且）在R上单调递减，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：D.44．如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是（）A． B． C． D．解：因为对任意都有成立，所以单调递增，，解得故选：C考点06：指对数大小比较问题指对数大小比较问题已经成为高考的重难点问题，我们这里介绍五大核心思想.核心思想一：同步《升降》次法 形如：注意：一般情况下以为底的对数比较大小，底数真数次方一起同升同降.口诀：为底眼睛亮，底真次方同升降.核心思想二：先分离常数再比大小当底数与真数出现倍数关系，必须先将对数分离常数后作比较. ① ②口诀：底真出现倍数时，分离常数用起来核心思想三：利用糖水变甜不等式比较大小当对数比较大小形式中出现底数与真数成等差数列时，可以采用糖水不等式放缩处理.形如：则存在，或45．设，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用指数函数与对数函数的单调性，求得的取值范围，即求解.【详解】由对数函数的性质，可得，所以.故选：A.46．已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对数函数的单调性求得的范围，根据指数函数的单调性得的范围，即可比较大小.【详解】因为在上单调递减，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，综上，.故选：47．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数单调性得到，利用指对运算和指数函数单调性得到，利用对数函数单调性得到，则比较出大小.【详解】因为，且，则，，所