福州金山中学2024届九年级上学期月考数学试卷(含解析)

数学试卷完成时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.赵爽弦图 B.笛卡尔心形线C.科克曲线 D.斐波那契螺旋线答案：C解析：详解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C．2.下列图形中表示的角是圆心角的是（）A. B. C. D.答案：A解析：详解：根据圆心角的定义：顶点在圆心的角是圆心角可知，B，C，D项图形中的顶点都不在圆心上，所以它们都不是圆心角．故选A．3.一根排水管的横截面如图所示．已知排水管的横截面圆的半径，圆心O到水面的距离是3，则水面的宽是（）A.8 B.5 C.4 D.3答案：A解析：详解：解：∵截面圆圆心O到水面的距离OC是3，∴，∴，在中，，，∴∴．4.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=35°，则∠AOB的度数为（）A.65° B.55° C.45° D.35°答案：B解析：详解：解：∵AB为⊙O切线，∴∠OAB=90°，∵∠B=35°，∴∠AOB=90°-∠B=55°．故选：B．5.如图，在矩形中，，，若以点D为圆心，12为半径作，则下列各点在外的是（）A.点A B.点B C.点C D.点D答案：B解析：详解：解：由题意可得，，，∴，∴点A在圆上，B在圆外，C在圆内，D是圆心，故选B．6.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（）A.1.6 B.1.8 C.2 D.2.6答案：A解析：详解：由旋转的性质可知，，∵，，∴为等边三角形，∴，∴，故选A．7.如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点P B.点Q C.点R D.点M答案：B解析：详解：解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．故选：B．

8.如图，将绕点按逆时针方向旋转，得到．若点恰好在线段BC的延长线上，且，则旋转角的度数为（）A.60° B.70° C.100° D.110°答案：C解析：详解：绕点按逆时针方向旋转，得到，，，，，，，故选：C．9.已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A.∠COM=∠COD B.若OM=MN，则∠AOB=20°C.MN∥CD D.MN=3CD答案：D解析：详解：解：由作图知CM=CD=DN，

∴∠COM=∠COD，故A选项正确；

∵OM=ON=MN，

∴△OMN是等边三角形，

∴∠MON=60°，

∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON，

∴∠OCD=∠OCM=，

∴∠MCD=，

又∠CMN=∠AON=∠COD，∴∠MCD+∠CMN=180°，

∴MN∥CD，故C选项正确；

∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，

∴3CD＞MN，故D选项错误；

故选D．10.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点，连接，则的最小值为()A. B. C. D.答案：B解析：详解：解：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N，设Q(，)，则PM=，QM=，∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N，在△PQM和△Q′PN中，，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，∴PN=QM=，Q′N=PM=，∴ON=1+PN=，∴Q′(，)，∴OQ′2=()2+()2=m2﹣5m+10=(m﹣2)2+5，当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.点关于原点对称的点的坐标是________．答案：解析：详解：解：点关于原点对称点的坐标是，故答案为：．12.如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上两点、且∠D=130°，则∠BAC的度数是_____°．答案：40°．解析：详解：试题解析：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=180°-∠D=50°，∴∠BAC=90°-∠B=40°．13.如图，，是的切线，切点分别为A，B．若，，则的长为______．答案：3解析：详解：解：∵，是的切线，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴，故答案：3．14.如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______．答案：1解析：详解：解：连接、，，，，即，解得：，故答案为：1．15.如图，已知中，，将绕顶点C顺时针旋转90°得到，F是中点，连接，则的长为_____．答案：解析：详解：解：作于H，如图，∵将绕顶点C顺时针旋转90°得到，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵F是中点，∴，∴，∴，∴，故答案：．16.如图，四边形和四边形均为正方形，点D为的中点，若，连接，则的长为______．答案：解析：详解：解：如图，连接，让绕点顺时针旋转，此时与重合，得到，连接，四边形和四边形均为正方形，，根据旋转的性质，可得，，，，，，，，，可得三点共线，，，点D为的中点，，设，则，根据勾股定理可得，，即，解得（舍去负值），，，，，，，,故答案为：．三、解答题（共9道题，共86分）17.解方程：．答案：解析：详解：解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．18.已知二次函数的部分图象如图所示．（1）求这个二次函数的解析式：（2）直接写出满足时，x的取值范围．答案：（1）（2）解析：小问1详解：解：由图象可知抛物线的顶点是，经过点，∴可设二次函数的解析式为，把代入得得，，解得，∴这个二次函数的解析式为；小问2详解：当时，，解得，∴抛物线与x轴交点坐标为和，由图象可知：抛物线位于x轴下方的部分，对应的，此时．19.如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点A关于点O的对称点；（2）连接，将线段绕点顺时针旋转90°得点B对应点，画出旋转后的线段；（3）连接，求出四边形的面积．答案：作图见解析；（2）作图见解析；（3）24．解析：详解：如图所示（1）作出点A关于点O的对称点；（2）连接，画出线段；（3）连接，过点A作于点E，过点作于点F；．∴四边形的面积是24．20.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？答案：寸解析：详解：解：连接，∵∴，设圆O的半径的长为x，则∵，∴，在直角三角形中，根据勾股定理得：，化简得：，即，解得：所以（寸）．21.如图，在中，，，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接BE．（1）根据题意将图形补充完整；（要求尺规作图，保留作图狼迹，不写作法）（2）求证：．答案：（1）见解析；（2）见解析．解析：小问1详解：解：根据题意作图如下：小问2详解：证明：将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，，，，，，，在和中，，，，，，．22.如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为1，求的长，答案：（1）见解析（2）解析：小问1详解：证明：连接，如图所示：，，，，∵，∴，，，∵为半径，∴是的切线；小问2详解：解：∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．23.如图，已知AB为⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D是弧BC的中点，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于点E和点F，连接CD、BD．（1）求证：∠A＝2∠BDF；（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的长．

答案：（1）见解析；（2）1解析：详解：（1）证明：连接AD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵EF为切线，∴OD⊥DF，∵∠BDF＋∠ODB＝90°，∠ODA＋∠ODB＝90°，∴∠BDF＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠BDF，∵D是弧BC的中点，∴∠COD＝∠OAD，∴∠CAB＝2∠BDF；（2）解：连接BC交OD于H，如图，∵D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴CH＝BH，∴OH为△ABC的中位线，∴，∴HD＝2.5－1.5＝1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴四边形DHCE为矩形，∴CE＝DH＝1．24.在中，为的平分线，E为边的中点，线段绕点E逆时针旋转得到线段（点F是点A的对应点），旋转角不超过，连接，直线交直线于点G．（1）如图1，当为边长为a的等边三角形且点G恰好与点B重合时，求的长；（2）如图2，点G在边上，与交于点D，，，求证：；（3）如图3，若，过点C作直线于点M，连接，当时，按要求画图并探究与之间的数量关系．答案：（1）（2）证明见解析（3）数量关系为：解析：小问1详解：∵是等边三角形，点E为边的中点，∴，，∴，由旋转可知，，∴；小问2详解：证明：如图2中，∵平分，∴，设，，则，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，∴，∴．小问3详解：如图3中，结论：，理由：连接，∵，∴，∵，∴，∴A，F，M，C四点共圆，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴．25.已知抛物线C：，顶点为．（1）求b，c的值；（2）若，抛物线与直线L：相交，P为y轴右侧抛物线C上一动点，过P作直线轴交x轴于点N，交直线L于M点，设P点的横坐标为m，当时，求m的值；（3）点为y轴正半轴上一定点，点A、B均为y轴右侧抛物线C上两动点，若，求证：直线经过一个定点．答案：（1），（2）m的值是或（3）见解析解析：小问1详解：解：设抛物线表达式为，∵顶点为，∴，，∴