高中数学 2-6-1曲线与方程规范训练 苏教版选修2-1

2．6曲线与方程2．6.1曲线与方程双基达标限时15分钟1．点P(2，－3)在曲线x－ay＝1上，则a＝_________________________________________.解析点P(x0，y0)在曲线上的充要条件是f(x0，y0)＝0.∴2－a·(－3)＝1，∴a＝－eq\f(1,3).答案－eq\f(1,3)2．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是____________．解析由eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1写出方程，并注明范围．答案x＋y＝5(0≤x≤5)3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是__________．解析由(x2－4)2＋(y2－4)2＝0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4,y2＝4)).答案四个点4．方程y＝ax2＋bx＋c的曲线经过原点的充要条件________．解析把(0，0)代入方程y＝ax2＋bx＋c即可．答案c＝05．已知曲线x2－5xy＋y2＋x－2y＝0过点M(x0，－1)，则x0＝________.解析将y＝－1代入曲线方程，解方程即可．答案－3±eq\r(6)6．求方程(x＋y－1)eq\r(x－y－2)＝0的曲线．解由方程(x＋y－1)eq\r(x－y－2)＝0可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0,x－y－2≥0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2≥0,\r(x－y－2)＝0))，即x＋y－1＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(3,2)))或x－y－2＝0.因此，表示的曲线为：射线x＋y－1＝0(x≥eq\f(3,2))和直线x－y－2＝0.综合提高限时30分钟7．已知方程ax2＋by2＝25的曲线经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,3)))和点B(1，1)，则a＝________，b＝________．解析由条件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b×\f(25,9)＝25,a＋b＝25))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝9,a＝16)).答案1698．△ABC的顶点坐标分别为A(－4，－3)，B(2，－1)，C(5，7)，则AB边上的中线的方程为________________．解析由AB中点坐标(－1，－2)，得中线方程y－7＝eq\f(7－（－2）,5－（－1）)(x－5)，即得．答案3x－2y－1＝0(－1≤x≤5)9．已知两定点A(－1，0)，B(2，0)，动点P满足eq\f(PA,PB)＝eq\f(1,2)，则P点的轨迹方程是________________．解析设P(x，y)，由eq\f(PA,PB)＝eq\f(1,2)，得eq\f(\r(（x＋1）2＋y2),\r(（x－2）2＋y2))＝eq\f(1,2)，化简得x2＋4x＋y2＝0.答案x2＋4x＋y2＝010．方程x＝eq\r(1－3y2)所表示的曲线是__________．解析原方程可化为x2＋3y2＝1(x≥0)，它表示椭圆的一部分．答案椭圆的一部分11．y＝eq\r(x2＋2x＋1)表示的轨迹图形是__________．解析y＝eq\r(x2＋2x＋1)⇔y＝eq\r(（x＋1）2)＝|x＋1|，即y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1（x≥－1），,－x－1（x<－1），))它表示两条射线．答案两条射线12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明(1)如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，则|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．13．(创新拓展)已知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，P也在曲线g(x，y)＝0上．求证：P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．证明P(x0，y