高中数学 1-3-1组合与组合数公式规范训练 苏教版选修2-3

1.3组合第1课时组合与组合数公式eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时15分钟)1．给出下面几个问题，其中是组合问题的为________．①由1,2,3,4构成的2个元素集合；②五个队进行单循环比赛的分组情况；③由1,2,3组成两位数的不同方法数；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．答案①②2．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是________．解析分三类：一年级比赛的场数是Ceq\o\al(2,5)，二年级比赛的场数是Ceq\o\al(2,8)，三年级比赛的场数是Ceq\o\al(2,3)，再由分类计数原理求得总赛场数为Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(2,3)＝41.答案413．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，则m＝________.解析由排列组合数公式得m(m－1)(m－2)＝6·eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，解得m＝7.答案74．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成集合的个数为________．解析由Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,2)＝26.答案265．高矮互不相同的5位同学排成一排照相，要求从正中间向两侧均是从高到矮，不同的排法种数为________．解析最高排中间，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)．答案66．要从12人中选出5人参加一项活动，其中A、B、C3人至多2人入选，有多少种不同选法？解法一可分三类：①A，B，C三人均不入选，有Ceq\o\al(5,9)种选法；②A，B，C三人中选一人，有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(4,9)种选法；③A，B，C三人中选二人，有Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,9)种选法．由分类计数加法原理，共有选法Ceq\o\al(5,9)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,9)＝756(种)．法二先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即共有选法Ceq\o\al(5,12)－Ceq\o\al(2,9)＝756(种)．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时30分钟)7．以下四个式子①Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),m！)；②Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；③Ceq\o\al(m,n)÷Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(m＋1,n－m)；④Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(m,n).其中正确的个数是________．解析①式显然成立；②式中Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，Aeq\o\al(m－1,n－1)＝(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)，故②式成立；对于③式Ceq\o\al(m,n)÷Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(C\o\al(m,n),C\o\al(m＋1,n))＝eq\f(A\o\al(m,n)·m＋1！,m！·A\o\al(m＋1,n))＝eq\f(m＋1,n－m)，故③式成立；对于④式Ceq\o\al(m＋1,n＋1)＝eq\f(A\o\al(m＋1,n＋1),m＋1！)＝eq\f(n＋1·A\o\al(m,n),m＋1m！)＝eq\f(n＋1,m＋1)Ceq\o\al(m,n)，故④式成立．答案48．某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种类是________(用数字作答)．解析由题知，按钱数分10元钱，可有两大类，第一类是买2本1元，4本2元的共Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(4,8)种方法；第二类是买5本2元的书，共Ceq\o\al(5,8)种方法．∴共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝266(种)．答案2669．年元旦某班有n个人中每两个人相互之间打了一次问候电话，共打电话28次，则n＝________.解析Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn－1,2)＝28，解得n＝8.答案810．210的正约数有________个．解析由于210＝2×3×5×7，则2、3、5、7中的任意一个数，或两个数之积，或三个数之积，或四个数之积，都是210的约数．又1也是一个约数，所以约数共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＋1＝16(个)．答案1611．求不等式Ceq\o\al(n－4,21)<Ceq\o\al(n－2,21)<Ceq\o\al(n－1,21)的解集．解原不等式可化为eq\f(21！,n－4！25－n！)<eq\f(21！,n－2！23－n！)<eq\f(21！,n－1！22－n！)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(24－n25－n>n－2n－3，,23－n>n－1，))解得n<12.又n－4≥0，所以4≤n<12，又n∈N，故原不等式解集为{4,5,6,7,8,9,10,11}．12．平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可得多少个不同的三角形？解我们把从共线的4个点取点中的多少作为分类的标准：第一类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,8)＝48(个)不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,8)＝112(个)不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有Ceq\o\al(3,8)＝56(个)不同的三角形．由分类计数原理，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(个)．13．(创新拓展)在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？解(1)所求不同的抽法数，即从100个不同元素中任取3个元素的组合数，共有Ceq\o\al(3,100)＝eq\f(100×99×98,3×2×1)＝161700(种)．(2)抽出的3件中恰好有一件是次品这件事，可以分两步完成：第一步，从2件次品中任取1件，有Ceq\o\al(1,2)种方法；第二步，从98件正品中任取2件，有Ceq\o\al(2,98)种方法．根据分步计数原理，不同的抽取方法共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,98)＝2×eq\f(98×97,2×1)＝9506(种)．(3)法一抽出的3件中至少有一件是次品这件事，分为两类：第一类：抽出的3件中有1件是次品的抽法，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)种；第二类：抽出的3件中有2件是次品的抽法，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)种．根据分类计数原理，不同的抽法共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,98)＝9506＋98＝9604(种)．法二从100件产品中任取3件的抽法，有Ceq\o\al(3,100)种，其中抽出的3件中没有次品的抽法，有Ceq\o\al(3,98)种．所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法，共有Ceq\o\al(3,100)－Ceq