高中数学 1.1.1 正弦定理活页训练 新人教B版必修5

【创新设计】-学年高中数学（人教B版）必修51.1.1正弦定理eq\a\vs4\al\co1(双基达标限时20分钟)1．在△ABC中，若∠B＝135°，AC＝eq\r(2)，则eq\f(BC,sinA)＝()．A．2 B．1C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)解析△ABC中，由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝eq\f(\r(2),sin135°)＝2.答案A2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于 ()．A．1∶2∶3 B．2∶3∶4C．3∶4∶5 D．1∶eq\r(3)∶2解析A＋B＋C＝π，且A∶B∶C＝1∶2∶3，∴A＝eq\f(π,6)，B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,2).由正弦定理：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝1∶eq\r(3)∶2.答案D3．在△ABC中，∠B＝45°，c＝2eq\r(2)，b＝eq\f(4\r(3),3)，则∠A的大小为()．A．15° B．75°C．105° D．75°或15°解析由eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得：sinC＝eq\f(2\r(2)·sin45°,\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2)，又c>b，∴∠C>45°，∴∠C＝60°或120°.∴∠A＝75°或15°.答案D4．在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝30°，a＝8，则c＝.解析c＝180°－120°－30°＝30°.则由正弦定理，得c＝eq\f(a·sinC,sinA)＝eq\f(8·sin30°,sin120°)＝eq\f(8\r(3),3).答案eq\f(8\r(3),3)5．在△ABC中，b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，则a＝.解析由正弦定理：eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(sin\f(2π,3),\r(3))＝eq\f(1,2).∴C为钝角，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(π,6)∴a＝b＝1.答案16．在△ABC中，∠A、∠B、∠C分别对应边a、b、c，若b＝acosC，判定△ABC的形状．解∵b＝acosC，由正弦定理得：sinB＝sinA·cosC，∵∠B＝π－(∠A＋∠C)，∴sin(A＋C)＝sinA·cosC，即sinAcosC＋cosAsinC＝sinA·cosC.∴cosA·sinC＝0，∵∠A、∠C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴cosA＝0，∴∠A＝eq\f(π,2).故△ABC为直角三角形．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝eq\r(3)a，B＝30°，那么角C等于()．A．120°B．105°C．90°D．75°解析∵c＝eq\r(3)a，∴sinC＝eq\r(3)sinA＝eq\r(3)sin(180°－30°－C)＝eq\r(3)sin(30°＋C)．即：sinC＝eq\r(3)·(eq\f(\r(3),2)sinC＋eq\f(1,2)cosC)，∴sinC＝－eq\r(3)cosC，tanC＝－eq\r(3)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.答案A8．在△ABC中，已知∠A＝30°，a＝8，b＝8eq\r(3)，则△ABC的面积S等于()．A．32eq\r(3)B．16C．32eq\r(6)或16D．32eq\r(3)或16eq\r(3)解析由正弦定理，知sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(8\r(3)sin30°,8)＝eq\f(\r(3),2)，又b>a，∴∠B>∠A.∴∠B＝60°或120°.∴∠C＝90°或30°.∴S＝eq\f(1,2)absinC的值有两个，即32eq\r(3)或16eq\r(3).答案D9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是.解析因三角形有两解，所以asinB<b<a，即eq\f(\r(2),2)x<2<x，∴2<x<2eq\r(2).答案2<x<2eq\r(2)10．在△ABC中，若tanA＝eq\f(1,3)，∠C＝150°，BC＝1，则AB＝.解析∵tanA＝eq\f(1,3)，A∈(0，π)，∴sinA＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理知eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC).∴AB＝eq\f(BC·sinC,sinA)＝eq\f(1×sin150°,\f(\r(10),10))＝eq\f(\r(10),2).答案eq\f(\r(10),2)11．如右图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝60°，AC＝7，AD＝6，S△ADC＝eq\f(15\r(3),2)，求AB的长．解在△ADC中，由三角形面积公式，知eq\f(1,2)AC·ADsin∠1＝eq\f(15\r(3),2)，即eq\f(1,2)×7×6sin∠1＝eq\f(15\r(3),2)，∴sin∠1＝eq\f(5\r(3),14).又∠1＝∠2，∴sin∠2＝eq\f(5\r(3),14)，∴cos∠2＝eq\f(11,14).在△ABC中，∠ACB＝180°－60°－∠2＝120°－∠2，∴sin∠ACB＝sin(120°－∠2)＝sin120°cos∠2－cos120°sin∠2＝eq\f(4\r(3),7).在△ABC中，由正弦定理得∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin60°)＝eq\f(7×\f(4\r(3),7),\f(\r(3),2))＝8.12．(创新拓展)在△ABC中，已知eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)，且cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求eq\f(a＋c,b)的取值范围．解(1)在△ABC中，由正弦定理知：eq\f(a＋b,a)＝eq\f(sinB,sinB－sinA)＝eq\f(b,b－a)，∴b2－a2＝ab.又∵cos(A－B)＋cosC＝1－cos2C，∴cosA·cosB＋sinA·sinB－cos(A＋B)＝2sin2C.即：sinA·sinB＝sin2C，∴ab＝c2，∴b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.∴△ABC为直角三角形，且B＝90°.(2)∵eq\f(a＋c,b)＝eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝sinA＋sinC＝sinA＋cosA＝eq\r(2)sin(A＋eq\f(π,4))，而由eq\f(a＋b,a)