北师版九上数学1.3 正方形的性质与判定（第一课时） 课件

第一章特殊平行四边形3正方形的性质与判定（第一课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01课前预习1.正方形的定义.有一组

相等，并且有一个角是

⁠的平行四边形

叫做正方形.2.正方形的性质定理.（1）正方形的四个角都是

，四条边

⁠；（2）正方形的两条对角线

且互相

⁠.注：正方形具有一般平行四边形、菱形、矩形的一切性质.邻边

直角

直角

相等

相等

垂直平分

数学九年级上册BS版02典例讲练

下列关于正方形的说法中，正确的是

（填序号）.①它的四条边相等，四个角相等；②两条对角线把正方形分成

四个全等的等腰直角三角形；③是轴对称图形，但不是中心对

称图形；④它的对称轴有4条.【思路导航】根据正方形具有菱形和矩形的所有性质，以及正

方形的特有性质判断即可.①②④

【解析】正方形的四条边相等，四个角都是直角，故①正确；

根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，可得出两条对角线

把正方形分成四个全等的等腰直角三角形，故②正确；正方形

既是中心对称图形，又是轴对称图形，故③错误；正方形有4条

对称轴，故④正确.故答案为①②④.【点拨】（1）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性

质.（2）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰

直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三

角形.（3）正方形既是中心对称图形，它的对称中心是对角线

的交点；又是轴对称图形，它有四条对称轴，分别是对角线所

在的直线和对边中点连线所在的直线.

1.下列描述中，错误的是（

C

）A.正方形的四个角都是直角B.正方形的对角线相等且互相垂直C.菱形、矩形的对角线都相等D.正方形、矩形、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形C2.如图，在正方形

ABCD

中，连接

BD

，点

O

是

BD

的中点.点

M

，

N

是边

AD

上的两点，连接

MO

，

NO

，并分别延长交边

BC

于点

M

'，

N

'，则图中的全等三角形共有（

C

）A.2对B.3对C.4对D.5对C

（2022·恩施）如图，已知四边形

ABCD

是正方形，点

G

为线段

AD

上任意一点，

CE

⊥

BG

于点

E

，

DF

⊥

CE

于点

F

.

求证：

DF

＝

BE

＋

EF

.

【思路导航】先证出△

BCE

≌△

CDF

，即可求得

BE

＝

CF

，

CE

＝

DF

，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.证明：∵四边形

ABCD

是正方形，∴

BC

＝

CD

，∠

BCD

＝90°.∴∠

BCE

＋∠

DCF

＝90°.∵

CE

⊥

BG

，

DF

⊥

CE

，∴∠

BEC

＝∠

CFD

＝90°.∴∠

BCE

＋∠

CBE

＝90°.∴∠

CBE

＝∠

DCF

.

【点拨】利用正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识

点，正确找出两个全等三角形是解题的关键.

如图，在正方形

ABCD

中，已知

AB

＝1，点

E

，

F

分别是正方形的边

BC

，

DC

上的一点，且∠

EAF

＝45°.（1）求证：

EF

＝

BE

＋

DF

；（1）证明：如答图，将△

ADF

绕点

A

按顺时针方

向旋转90°，得到△

ABF

'，则∠1＝∠2，∠

ABF

'＝∠

D

，

AF

'＝

AF

，

BF

'＝

DF

.

∵四边形

ABCD

为正方形，答图

答图（2）求△

CEF

的周长.（2）解：由（1）可知，

EF

＝

BE

＋

DF

.

∵

C△

CEF

＝

EC

＋

FC

＋

EF

，∴

C△

CEF

＝

EC

＋

FC

＋

BE

＋

DF

＝

BC

＋

CD

.

∵四边形

ABCD

为正方形，∴

CD

＝

BC

＝

AB

＝1.∴

C△

CEF

＝1＋1＝2.

如图，已知四边形

ABCD

是正方形，点

F

是线段

AD

上的一个动

点，连接

CF

，以

CF

为对角线作正方形

CGFE

（点

C

，

G

，

F

，

E

按逆时针方向排列），连接

BE

，

DG

.

求证：

（2）如图，在线段

CD

上截取

CH

＝

FD

，连接

HG

，设

FG

与

CD

相交于点

M

.

∵四边形

ABCD

和四边形

CGFE

都是正方形，∴∠

ADC

＝∠

CGF

＝90°，

GC

＝

GF

.

∴∠

MFD

＋∠

FMD

＝90°，∠

MCG

＋∠

CMG

＝90°.∵∠

FMD

＝∠

CMG

，∴∠

MFD

＝∠

MCG

.

在△

FDG

和△

CHG

中，

∴

DG

＝

HG

，∠

DGF

＝∠

HGC

.

∴∠

DGF

＋∠

FGH

＝∠

HGC

＋∠

FGH

＝90°，即∠

DGH

＝90°.在Rt△

DGH

中，∵

DH2＝

DG2＋

HG2＝2

DG2，

∵

CD

－

FD

＝

CD

－

HC

＝

DH

，

【点拨】解与正方形有关的问题时，要充分利用正方形的四边

相等、四个角为直角和对角线互相垂直平分且相等的性质，再

结合全等三角形的性质和判定、勾股定理进行综合运用.

如图，在正方形

ABCD

中，

AB

＝2，点

E

是

BC

边上一动点（不

与点

B

，

C

重合），连接

AE

，以

AE

为边，在

AE

右侧作正方形

AEFG

，连接

CF

.

当点

E

运动时，∠

ECF

的大小会不会发生变

化？如果会变化，请说明理由；如果不会变化，请求出∠

ECF

的度数.解：∠

ECF

的大小不会变化.理由如下：如答图，过点

F

作

FH

⊥

BC

，交

BC

的延长线于点

H

.

∵四边形

ABCD

和四边形

AEFG

都是正方形，∴∠

H

＝∠

ABC

＝∠

AEF

＝90°，

AE

＝

EF

.

∴∠

EAB

＋∠

AEB

＝90°＝∠

AEB

＋∠

FEH

.

∴∠

EAB

＝∠

FEH

.

答图∴△