微专题33 涉及弹簧弹性势能的机械能守恒定律应用问题-2025版高中物理微专题

微专题33涉及弹簧弹性势能的机械能守恒定律应用问题【例题】(2016·全国卷Ⅱ)(多选)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)。在小球从M点运动到N点的过程中()A．弹力对小球先做正功后做负功B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差【解析】因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)，M处的弹簧处于压缩状态，N处的弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后正功再做负功，选项A错误；当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为g；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为g，则有两个时刻的加速度大小等于g，选项B正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力与速度垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项C正确；由动能定理得，WF＋WG＝ΔEk，因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知WF＝0，即WG＝ΔEk，选项D正确。【答案】BCD【变式】(2018·最新高考信息卷)(多选)如图所示，竖直墙上固定有光滑的小滑轮D，质量相等的物体A和B用轻弹簧连接，物体B放在地面上，用一根不可伸长的轻绳一端与物体A连接，另一端跨过定滑轮与小环C连接，小环C穿过竖直固定的光滑均匀细杆，小环C位于位置R时，绳与细杆的夹角为θ，此时物体B与地面刚好无压力．图中SD水平，位置R和Q关于S对称．现让小环从R处由静止释放，环下落过程中绳始终处于拉直状态，且环到达Q时速度最大．下列关于小环C下落过程中的描述正确的是()A．小环C、物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒B．小环C下落到位置S时，小环C的机械能一定最大C．小环C从位置R运动到位置Q的过程中，弹簧的弹性势能一定先减小后增大D．小环C到达Q点时，物体A与小环C的动能之比为eq\f(cosθ,2)ABD[A项：在小环下滑过程中，只有重力势能与动能、弹性势能相互转换，所以小环C、物体A和轻弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；B项：小环C下落到位置S过程中，绳的拉力一直对小环做正功，所以小环的机械能一直在增大，往下绳的拉力对小环做负功，机械能减小，所以在S时，小环的机械能最大，故B正确；C项：由于小环从R到S过程中，小环的机械能一直增大，所以AB弹簧组成的系统机械能减小，由于A的机械能增大，所以弹簧的弹性势能减小，小环从S到Q过程中，小环的机械能减小，AB弹簧组成的系统机械能增大，A的机械能不一定减小，所以弹性势能不一定增大，故C错误；D项：在Q点将小环速度分解可知vA＝vcosθ，根据动能Ek＝eq\f(1,2)mv2可知，物体A与小环C的动能之比为eq\f(cosθ,2)，故D正确．]【例题】(2017·江苏卷)(多选)如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L。B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°，A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则此下降过程中(AB)A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于eq\f(3,2)mgB．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于eq\f(3,2)mgC．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下D．弹簧的弹性势能最大值为eq\f(\r(3),2)mgL[解析]在A的动能达到最大前，A向下加速运动，此时A处于失重状态，则整个系统对地面的压力小于3mg，即地面对B的支持力小于eq\f(3,2)mg，A正确；当A的动能最大时，A的加速度为零，这时系统既不失重，也不超重，系统对地面的压力等于3mg，即B受到地面的支持力等于eq\f(3,2)mg，B项确；当弹簧的弹性势能最大时，A减速运动到最低点，此时A的加速度方向竖直向上，C项误；由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能最大值等于A的重力势能的减少量，即为mg(Lcos30°－Lcos60°)＝eq\f(\r(3)－1,2)mgL，D错误。【变式】(2016·安徽安庆高三月考)如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上；B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证ab段的细线竖直、cd段的细线与斜面平行。已知A、B的质量均为m，斜面倾角为θ＝37°，重力加速度为g，滑轮的质量和摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。C释放后沿斜面下滑，当A刚要离开地面时，B的速度最大，(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：(1)从开始到物体A刚要离开地面的过程中，物体C沿斜面下滑的距离；(2)C的质量；(3)A刚要离开地面时，C的动能。【解析】(1)设开始时弹簧压缩的长度为xB，则有kxB＝mg设当物体A刚要离开地面时，弹簧的伸长量为xA，则有kxA＝mg当物体A刚要离开地面时，物体B上升的距离与物体C沿斜面下滑的距离相等，为：h＝xA＋xB解得：h＝eq\f(2mg,k)(2)物体A刚要离开地面时，以B为研究对象，物体B受到重力mg、弹簧的弹力kxA、细线的拉力FT三个力的作用，设物体B的加速度为a，根据牛顿第二定律，对B有：FT－mg－kxA＝ma对C有：mCgsinθ－FT＝mCaB获得最大速度时，有：a＝0解得：mC＝eq\f(10m,3)(3)解法一：由于xA＝xB，弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，弹簧弹力做功为零，且物体A刚要离开地面时，B、C两物体的速度相等，设为v0，由动能定理得：mCghsinθ－mgh＋W弹＝eq\f(1,2)(m＋mC)veq\o\al(2,0)－0其中W弹＝0解得：veq\o\al(2,0)＝eq\f(12mg2,13k)所以EkC＝eq\f(1,2)mCveq\o\al(2,0)＝eq\f(20m2g2,13k)解法二：根据动能定理，对C：mCghsinθ－WT＝EkC－0对B：WT－mgh＋W弹＝EkB－0其中W弹＝0又：eq\f(EkC,EkB)＝eq\f(mC,m)＝eq\f(10,3)解得：EkC＝eq\f(20m2g2,13k)答案(1)eq\f(2mg,k)(2)eq\f(10m,3)(3)eq\f(20m2g2,13k)【巩固习题】1.【淮北一中2016～2017学年度高三第三次月考】如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置、半径为R的光滑圆环顶点P，另一端连接一套在圆环上且质量为m的小球，开始时小球位于A点，此时弹簧处于原长且与竖直方向的夹角为45°，之后小球由静止沿圆环下滑，小球运动到最低点B时速率为v，此时小球与圆环之间压力恰好为零．下列分析正确的是()A．小球过B点时，弹簧的弹力大小为B．小球过B点时，弹簧的弹力大小为C．从A到B的过程中，重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能D．从A到B的过程中，重力对小球做的功等于小球克服弹簧弹力做的功【答案】ABC2.(2015·天津理综)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了eq\r(3)mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变【解析】环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能减少，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故A、D错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不为零，即合外力不为零，故C错误；圆环重力势能减少了eq\r(3)mgl，由能量守恒定律知弹簧弹性势能增加了eq\r(3)mgl，故B正确。【答案】B(2016·河南洛阳高三质检)在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A、B，它们的质量均为m，弹簧劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，当物块B刚要离开C时，A的速度为v，则此过程(弹簧的弹性势能与弹簧的伸长量或压缩量的平方成正比，重力加速度为g)()A．物块A运动的距离为eq\f(2mgsinθ,k)B．物块A加速度为eq\f(F,2m)C．拉力F做的功为eq\f(1,2)mv2D．拉力F对A做的功等于A的机械能的增加量【解析】初始时刻以A为研究对象分析受力可知弹簧弹力F1＝mgsinθ，故可知此时弹簧的压缩量为x1＝eq\f(F1,k)＝eq\f(mgsinθ,k)，同理，当物体B刚要离开C时，以物体B为研究对象分析受力可知弹簧弹力F2＝mgsinθ，此时弹簧的伸长量为x2＝eq\f(mgsinθ,k)，所以可知物体A运动的距离x＝x1＋x2＝eq\f(2mgsinθ,k)，故选项A正确；此时再以物体A为研究对象分析受力有F－mgsinθ－mgsinθ＝ma，故其加速度为a＝eq\f(F,m)－2gsinθ，所以选项B错误；对系统初末状态而言，弹簧的弹性势能没有改变，根据动能定理有，WF－mgxsinθ＝eq\f(1,2)mv2，则WF＝eq\f(1,2)mv2＋mgxsinθ＝ΔEA，所以选项C错误、D正确。【答案】AD在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为m1、m2，弹簧劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，当物块B刚要离开C时，物块A运动的距离为d，速度为v，重力加速度大小为g，则此时()A．m2gsinθ＝kdB．物块A加速度大小为eq\f(F－kd,m1)C．重力对物块A做功的功率为(kd－m2gsinθ)vD．弹簧的弹力对物块A做功的功率为(kd－m2gsinθ)v解析：选BC开始系统处于静止状态，弹簧弹力等于A的重力沿斜面向下的分力，当B刚离开C时，弹簧的弹力等于B的重力沿斜面向下的分力，故m2gsinθ＝kx2，但由于开始时弹簧是压缩的，故d＞x2，故m2gsinθ＜kd，故A错误；物块A的加速度a＝eq\f(F－kx2－m1gsinθ,m1)，开始弹簧处于压缩状态，压缩量x1＝eq\f(m1gsinθ,k)，又x1＋x2＝d，解得a＝eq\f(F－kd,m1)，故B正确；由于速度v与重力夹角不为零，故重力的瞬时功率等于m1gvsinθ，则由m1gsinθ＝kx1、m2gsinθ＝kx2及x1＋x2＝d得，m1gsinθ＋m2gsinθ＝kd，所以重力做功的功率P＝(kd－m2gsinθ)v，故C正确；当物块B刚要离开C时，弹簧的弹力为m2gsinθ，则弹力对物块A做功的功率为m2sinθ·v，故D错误。3.(2018·四川省宣宾市高三二诊)如图甲所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平面上，自然伸长的轻质弹簧一端固定在斜面底端的挡板上．一质量为m的小球，从离弹簧上端一定距离的位置静止释放，接触弹簧后继续向下运动．小球运动的v－t图象如图乙所示，其中OA段为直线，AB段是与OA相切于A点的平滑曲线，BC是平滑曲线，不考虑空气阻力，重力加速度为g.关于小球的运动过程，下列说法正确的是()A．小球在tB时刻所受弹簧弹力大于eq\f(1,2)mgB．小球在tC时刻的加速度大于eq\f(1,2)gC．小球从tC时刻所在的位置由静止释放后，不能回到出发点D．小球从tA时刻到tC时刻的过程中重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量B[由图象可知，小球在tB时刻加速度大小为零，此时F弹＝mgsin30°＝eq\f(1,2)mg，选项A错误；小球在tC时刻到达最低点，弹力达到最大值；小球在A点的加速度大小为eq\f(1,2)g，由图象可知，在C点的切线的斜率大于在A点的切线的斜率，即小球在tC时刻的加速度大于eq\f(1,2)g，选项B正确；由能量守恒定律可知，小球从tC时刻所在的位置由静止释放后，小球能回到出发点，选项C错误；小球从tA时刻到tC时刻的过程中重力势能的减少量与动能减小量之和等于弹簧弹性势能的增加量，选项D错误；故选B.]4.(2016·山东菏泽高三统考)如图是检验某种平板承受冲击能力的装置，MN为半径R＝0.8m、固定于竖直平面内的eq\f(1,4)光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，OP为待检验平板，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同但质量均为m＝0.01kg的小钢珠，小钢珠每次都在M点离开弹簧枪。某次发射的小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道无作用力，水平飞出后落到OP上的Q点，不计空气阻力，取g＝10m/s2。求：(1)小钢珠经过N点时速度的大小vN；(2)小钢珠离开弹簧枪时的动能Ek；(3)小钢珠在平板上的落点Q与圆心O点的距离s。【解析】(1)在N点，由牛顿第二定律有mg＝meq\f(veq\o\al(2,N),R)解得vN＝eq\r(gR)＝2eq\r(2)m/s。(2)取M点所在的水平面为参考平面。从M到N由机械能守恒定律有Ek＝mgR＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,N)解得Ek＝0.12J。(3)小钢球从N到Q做平抛运动，设运动时间为t，水平方向有x＝vNt，竖直方向有R＝eq\f(1,2)gt2，解得x＝0.8eq\r(2)m。【答案】(1)2eq\r(2)m/s(2)0.12J(3)0.8eq\r(2)m5.(2016·浙江4月选考·20)如图所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成.其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20m、h2＝0.10m，BC水平距离L＝1.00m.轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高.当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点.(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比，g＝10m/s2)(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数；(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动