2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积及其应用【课件】

第五章平面向量、复数第3节平面向量的数量积及其应用ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实1(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.1.平面向量数量积的有关概念|a||b|cosθ|a||b|cosθ2.平面向量数量积的性质及其坐标表示3.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).4.平面几何中的向量方法

三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.×解析(1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a·b＝a·c(a≠0)得|a||b|·cos〈a，b〉＝|a||c|·cos〈a，c〉，所以向量b和c不一定相等.√√×BBDa·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正确；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正确；3.(多选)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则(

) A.|a|＝|b| B.a⊥c C.b∥c D.θ＝135°解析由a·b＝a·c，可得|a||b|cos〈a，b〉＝|a||c|cos〈a，c〉，因为|a|≠0，所以c在a上的投影向量的长度为B解析根据向量数量积的定义可知，若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或零角，若a与b的夹角为锐角，则一定有a·b＞0，所以“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.5.(易错题)已知a，b为非零向量，则“a·b＞0”是“a与b的夹角为锐角”的(

) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件B解析法一

a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，6.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.法二由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2解析如图，在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2.＝15－10－12＋6＝－1.－1∴P为BC的中点.以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，P(2，1)，－1解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，＝2x∈(－2，6).A解析建立如图所示的平面直角坐标系，13解析∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，D角度1夹角与垂直A解析由|a|＝2，|b|＝3，a·b＝4，角度2平面向量的模B解析设a与b的夹角为α，则(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝8－8cosα，因为α∈[0，π]，所以0≤8－8cosα≤16，所以0≤|2a－b|≤4.(2)若向量a，b满足a＝(cosθ，sinθ)(θ∈R)，|b|＝2，则|2a－b|的取值范围为________.[0，4]解析法一由a·b＝0，得a⊥b.(3)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值是________.所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.得(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(1，1)为圆心，1为半径的圆上.法二由a·b＝0，得a⊥b.因为a，b是单位向量，所以|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，a与b垂直，故B正确；训练2

(1)(多选)已知a，b是单位向量，且a＋b＝(1，－1)，则(

)BC解析∵M为BC的中点，所以△ABC的中线和底边垂直，所以△ABC是等腰三角形.A在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系.如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，解

①m·n＝sinA·cosB＋sinB·cosA＝sin(A＋B)，在△ABC中，A＋B＝π－C，0<C<π，所以sin(A＋B)＝sinC，所以m·n＝sinC，又m·n＝sin2C，②由sinA，sinC，sinB成等差数列，可得2sinC＝sinA＋sinB，由正弦定理得2c＝a＋b.即abcosC＝18，ab＝36.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，所以c＝6.解析因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|·cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，训练3(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(

)C解析以BC中点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，B解析由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cosθ，sinθ)，则a＋b＝(2＋cosθ，sinθ)，a－b＝(cosθ－2，sinθ).令y＝|a＋b|＋|a－b|(3)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________.4极化恒等式解析设A，B，C三点所在圆的圆心为O，取AB中点D，因为A，B，C三点在圆上，所以CD长度最大为r＋d，其中d为圆心O到弦AB的距离，BFENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.1.已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝(

)C解析由题意知a，b是相互垂直的单位向量，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，由a·c＝b·c＝2，可得x＝y＝2，即c＝(2，2)，2.已知a，b是相互垂直的单位向量，与a，b共面的向量c满足a·c＝b·c＝2，则c的模为(

)D解析根据数量积的分配律可知A正确；B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确.3.(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是(

) A.(a＋b)·c＝a·c＋b·c B.(a·b)·c＝a·(b·c) C.a·b≤|a|·|b| D.|a－b|≤|a|＋|b|ACD解析设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，4.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(

)D设向量a＋b与a的夹角为θ，A.与圆C的半径有关B.与圆C的半径无关C.与弦AB的长度有关D.与点A，B的位置有关解析如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，BCB解析由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1＋|b|2＝25，7.若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.解析由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，8.已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________.解析依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0