2025高考数学一轮复习-4.7-解三角形的应用【课件】

第四章三角函数、解三角形第7节解三角形的应用ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断基础夯实11.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图1).下方2.方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).3.方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.√解析(2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.××√D解析由条件及图可知，A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.2.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(

)A.北偏东10° B.北偏西10°C.南偏东80° D.南偏西80°A解析在△ABC中，由正弦定理得3.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(

)又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.故电视塔的高度为40m.4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角45°，在D点测得塔顶A的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(

)D解析由题意可知∠ACB＝60°，KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破题型剖析2A.39米

B.43米

C.49米

D.53米例1

如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为(结果精确到1米)(

)D解析在△ACB中，AB＝60，BC＝60，∠ABC＝60°，所以AC＝60，在△CDA中，A.346 B.373

C.446 D.473角度2测量高度问题B在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，又在B点处测得A点的仰角为45°，所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE解

如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，例3

已知岛A南偏西38°方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？角度3测量角度问题∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.解析由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，训练1海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________.在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，解

如图所示，在△ABD中，由余弦定理可知，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，在△BCD中，由余弦定理可得，(2)若AB＝2BC，求cos∠BDC.解

设BC＝x，则AB＝2BC＝2x.由余弦定理可知，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD.整理得x2＋2x－2＝0，解

在△APC中，设AC＝x，所以AC＝PC＝AP，此时△APC为等边三角形，解得BC＝5，则BP＝3，作AD⊥BC交BC于D，如图所示.因为△ABC为锐角三角形，解

由题意得f(0)＝k＝0.所以函数f(x)是奇函数，∴k＝0.整理得c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2，经检验，满足题意，FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练巩固提升3解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，A解析设山顶为A，塔底为C，塔顶为D，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点B(图略)，2.如图，在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为(

)A解析在△ABC中，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝180°－30°－105°＝45°，3.如图，设A，B两点在河的两岸，在A所在河岸边选一定点C，测量AC的距离为50m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，则可以计算A，B两点间的距离是(

)A所以在△ACD中，由余弦定理得4.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(

) A.30° B.45°

C.60° D.75°B又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.D解析由题意知，∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°.AC解析由已知得sinA(sinA＋sinC)＝cosA(cosA＋cosC)，∴cos2A－sin2A＝sinAsinC－cosAcosC，∴cos2A＝－cos(A＋C)＝cosB.∵△ABC是锐角三角形，因为M为BC的中点，所以BC＝8.解析连接OC，因为CD∥OA，所以∠DCO＝∠COA，∠CDO＝180°－∠DOA＝180°－120°＝60°.50π因为∠DCO＝∠COA，且0°＜∠COA＜120°，所以∠DCO＝∠COA＝45°，解若选择①，设∠BAC＝∠CAD＝θ，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·设△ABC的外接圆半径为R，12.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(

)A由题设中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，13.如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝AC，∠BAC＝90°.定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖