数学-福建省泉州市2023～2024学年高一下学期期末教学质量监测试题和答案

本试卷共19题，满分150分，共8页。考试用时120分钟。2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(知甲、乙、丙三所学校的学生人数分别为400,700,1000,若按各校人数分层抽样，则A.30°B.60°4.在△ABC中，BM=3MC,则AM=A.960cm³B.976cm³C.2880cm³D.2928cm³A.mcα,n//aB.α/lβ,mcα,ncβC.n//α,n/lβ,α∩β=m图1图2水由(数据来源于中电联)/A=15.(13分)如图，△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为△ABC外一点，AD=1,(1)求b;高一数学试题第4页(共8页)16.(15分)奇数”,事件B₂=“第2次摸到的小球数字为奇数”,求P(AB₁B₂UAB₁B₂UAB₁B₂).高一数学试题第5页(共8页)17.(15分)高一数学试题第6页(共8页) 18.(17分)“泉州：宋元中国的世界海洋商贸中心”于2021年7月25日成功列入《世界遗产名录》成为中国第56处世界遗产.泉州在持续做好世界遗产保护的同时，积极推动文化和旅游的深该景点向游容做随机问卷调查，收集了1000份问卷，并统计每份问卷的得分(百分制),绘频字/组距频字/组距(2)估计该满意度得分的第一四分位数和总体平均数；(3)已知填写问卷的游客中，儿童、中青年人、老年人的比例为1:7:2,其中儿童游客满意度得分的平均数为86,方差为45.15;老年人游客满意度得分的平均数为96,方差为10.55.19.(17分)(2)阅读材料：其中n!=1×2×3×…×n,读作n的阶乘.数学家棣莫弗发现z=re=r(cosθ+isinθ),Z₂=rze=r₂(cos保密★启用前2023—2024学年度下学期泉州市高中教学质量监测高一数学参考答案及评分细则一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数=满足zi=2-i(i为虚数单位),则|z|=【命题意图】本小题主要考查复数的概念、四则运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注.解法二：由zi=2-i,得,所以=|=√(-1)²+(-2)²=√5.解法三：由zi=2-i,得,所以2.从甲、乙、丙三所学校中随机抽取210名学生，接受省级高中体育与健康教育质量监测.已知甲、乙、丙三所学校的学生人数分别为400,700,1000,若按各校人数分层抽样，则从甲学校中应抽取的学生人数为A.40B.50【命题意图】本小题主要考查抽样方法，分层抽样等基础知识；考查运算求解，推理论证等能力，体现基础性、应用性，导向对发展数学运算、数据分析等核心素养的关注.【试题解析】由分层抽样，从甲学校中应抽取的人数为。故选A.高一数学试题第1页(共22页)3亿人都在用的扫描AppA.30°B.60°C.120°【命题意图】本小题主要考查向量的数量积等基础知识，考查运算求解等能力，考查化归与转化等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.整理,故选B.【附：本题也可通过考察平几图形，快速得解】【命题意图】本小题主要考查向量的加法、减法和数乘等基础知识，考查运算求解等能力，考查数形结合和化归与转化等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题解析】如右图故选D.5.右图是一个鲜花包装盒，形状近似于高为12cm的正四棱台，其两个底面边长分别为8cm和10cm.若忽略材料厚度，则该包装盒的容积为A.960cm³B.976cm³C.2880cm³D.2928cm³【命题意图】本小题主要考查棱台的体积公式，考查运算求解能力、空间想象能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学抽象、数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性、应用性.【试题解析】解法一：根据四棱台的体积公式高一数学试题第2页(共22页)3亿人都在用的扫描AppA.9,5故选C.A.mcα,n/lαB.αllβ,mcα,ncβC.nllα,nllβ,α∩β=mD.α⊥β,m⊥α,n/lβ高一数学试题第3页(共22页)3亿人都在用的扫描App【命题意图】本小题主要考查空间线线、线面和面面关系等基础知识；考查空间想象、逻辑推理能力等；考查数形结合、化归与转化思想等；体现基础性，导向发展直观想象等核心素养的命题立意.【试题解析】对于A,记直线BD//平面A'B'C'D',直线A'C'c平面A'B'C'D';但直线BD与直线A'C'为异面直线，故A错误；故B错误；直线A'C'//平面ABCD,但直线BC与直线A'C¹为异面直线，故D错误.对于C,n//α,作平面y₁,则n//l₂,所以I₁//l₂,l₂cβ,I₁女β,所以l₁//β,I₁cα且α∩β=m,所以I//m,所以m//n,故C正确；故选C.8.《周易·系辞》曰：易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.如图1是八卦模型图，图2是根据八卦图抽象而得的正八边形ABCDEFGH与其内部的圆O,其中AB=2,圆O的直径MN为0为正八边形的中心，P为正八边形边上的动点，则PM.PN的最小值为值为A.AMA.AMCoDNHBGP高一数学试题第4页(共22页)3亿人都在用的扫描App【命题意图】本小题主要考查向量的数量积、余弦定理等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查数形结合、化归与转化等思想，体现综合性、应用性，导向对发展数学直观、数学运算等核心素养的关注.OP₀的长度解法提供以下三种解法：所以最小值为解法二：在△OBC中，设OB=OC=a,由余弦定理得解得所求最小值解法三：由 高一数学试题第5页(共22页)3亿人都在用的扫描App所求最小值为二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分。C.若=²+z²=0,则二=Z₂=0D.==2I=|=ill=₂I【命题意图】本小题主要考查复数的概念、四则运算等基础知识；考查逻辑推理、运算求解等能力；考查化归与转化、函数与方程等思想；体现基础性和应用型；导向对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注.解法二：假设复数z,=₂为三角形式，再根据复数的乘法法则，易证明F₁=₂I=1=11-₂I(过程略),故D正确.故选AD.10.第75届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和.2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰、碳中和的各项工作，大力发展新能源.常见的新能源主要有潮汐能、风能、太阳能和地热高一数学试题第6页(共22页)3亿人都在用的扫描App能等.下图为2015年与2020年我国新增电力装机结构对比，则(数据来源于中电联)A.2015年我国新增电力装机中，火电装机占比最大B.2020年我国新增电力装机中，风电装机数多于火电装机数C.2020年我国水电新增装机数少于2015年D.2020年我国新增电力装机结构中，新能源装机占比大于2015年【命题意图】查扇形统计图的基础知识；考查数学问题与统计图表的阅读理解能力，数据处理、运算求解能力；体现基础性，导向对数据分析等核心素养的关注.【试题解析】对于A,2015年我国新增电力装机中火电装机占比50.65%,显然占比最大，故对于B,2020年我国新增电力装机中风电装机占比37.55%,火电装机占比29.53%,所以新增电力装机中风电装机数大于火电装机数，故B正确；对于C,虽然相对于2015年，2020年我国核电新增装机占比减少，但由于总装机数不确定，所以不能得出核电装机数减少的结论，故C错误；对于D,2015年我国新增电力装机中火电装机占比50.65%,所以新能源装机占比不超过50%,但2020年我国风电和太阳能新增装机占比和为62.8%大于50%,所以2020年我国新增电力装机结构中清洁能源占比增加，故D正确.A.存在点Q,使得DQ1平面BDM高一数学试题第7页(共22页)对于A,若存在DQ⊥平面BDM,因为DQc平面ADDA,因为A₁B⊥平面ADDA,AQc平面ADDA,则∠A₁BQ>30°,所以不存在点Q使BQ与CD所成角为30°,故B正确；对于C,取AD中点G,AB中点H,则GH//BD,GHa平面BDM,BDc平面BDM,则GH//平面BDM,因为B₁H//DM,B₁H女平面BDM,DMc平面BD则B₁H//平面BDM,B₁HNGH=H,所以平面B₁HG//平面BDM,因为GH//B₁D,G,H,B,D₁四点共面，平面B₁HGD//平面对于D,过Q作QQ'//DD₁交AD于Q',过M作MM'//DD₁交CD于M',高一数学试题第8页(共22页)3亿人都在用的扫描AppQQ'//MM'且延长MQ,M'Q'相交于E,E∈平面ABCD,即E,A,B三点共线且连接EN并延长，与AD相交于点R,与DC的延长线相交于点F,EB=CF,连接MF与C₁C相交于点I,所以(连接RQ与A₁A相交于点L,由对称性可得连接LM,IN,则平面MNQ截正方体所得的截面图形为五边形RNIML,三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。【命题意图】本小题主要考查向量的数量积、向量的坐标表示等基础知识，考查运算求解等高一数学试题第9页(共22页)3亿人都在用的扫描App关注.故答案为13.已知△ABC中，AB=2√2,AC=1,/A=【命题意图】本小题主要考查向量的投影向量等基础知识，考查运算求解等能力，考查数形结合等思想，体现综合性，导向对发展数学直观等核心素养的关注.解法二：如图作BO1AC延长线于点O, 由题可知向量AB在向量AC上的投影向量为AO所以或135°14.已知圆锥的顶点S和底面圆周都在球O的球面上，且母线长为2,A,B为其底面圆周上的两点，若△SAB面积的最大值为√3,则球O的表面积为【命题意图】本小题主要考查球的表面积、三角形面积、圆锥的母线与轴截面等基础知识，考查运算求解、数形结合的能力，体现综合性，导向对发展直观想象、数学运算等核心素养的关注.【试题解析】如图所示，因为所以当△SAB为轴截面时，∠ASB最大，3亿人都在用的扫描App则解法一：因为圆锥的母线长为2,所以SE=√3,事事四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)如图，△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,D为△ABC外一点，(2)若B=45°,acosC=b,求△ABC的面积.【命题意图】本小题主要考查解三角形、正余弦定理等基础知识，考查推理论证、运算求解直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养的关注.【试题解析】解法一：(1)在△ACD中，由余弦定理得：高一数学试题第11页(共22页)3亿人都在用的扫描App解得b=2或b=-1(舍去),acosC=b可化为……9分16.(15分)考查了学生推理论证能力、运算求解能力、数学应用能力等；考查或然与必然基本思想、化归与转化思想方法，导向对教学对数学运算、逻辑推理等核心素养的关注，体现基础性、综合性、应用性.【试题解析】(1)解法一：从盒中有放回依次随机摸出两个小球的样本空间是(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},(也可以采用列表、树状图等方法枚举)………所以n(Ω)=16,共有16个样本点.………………2分记事件C=“两次摸到的小球数字之和为偶数”,则C={(1,1),(1,3),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),即两次摸出的小球数字之和为偶数的概率为解法二：记事件C=“两次摸到的小球数字之和为偶数”故有放回地摸两次，两次的小球数字相加情况共有4×4=16种可能，…2分1,2,3,4中共有2个偶数和2个奇数，事件C发生有2×2+2×2=8种可能(2次都摸到偶数和2次都摸到奇数),………6分………7分高一数学试题第13页(共22页)高一数学试题第14页(共22页)17.(15分)的关注.解法一：(1)过点A做AH⊥AC,垂足为H,AHc平面分【线在面内没写扣1分】所以A₁H⊥平面ABC,…【面面垂直与面面交线，缺1个扣1分】所以AC=3,AA²+AC²=AC²,△AAC为直角三角形，………5分解得,………6分3亿人都在用的扫描App【公式1分，计算1分】因为AH⊥平面ABC,HBc平面ABC,所以A₁H⊥HB,……分【公式1分，计算1分】解法二：(1)同解法一；(2)在Rt△A,HC中，HC²=A₁C²-AH²=4,即HC=2,9分…………10分BC²+HB²=HC²,则BC⊥HB,11分又因为A₁H⊥平面ABC,BCc平面ABC,则A₁H⊥BC,分且AH∩HB=H,AH,HBc平面A₁HB,【线在面内没写不扣分】A,Bc平面A₁HB,则BC⊥AB,14分解法三：(1)取AC中点O,连接BO,因为AB=BC,所以BO1AC,因为平面ABC⊥平面ACC₁A,平面ABCN平面ACC₁A₁=AC,BOc平面ABC,高一数学试题第16页(共22页)3亿人都在用的扫描App【以ACC₁A₁为底面，以BO为高，算错扣2分】(2)在Rt△AAC中，………………10分18.(17分)该景点向游客做随机问卷调查，收集了1000份问卷，并统计每份问卷的得分(百分制),绘a高一数学试题第17页(共22页)3亿人都在用的扫描App(2)估计该满意度得分的第一四分位数和总体平均数；(3)已知填写问卷的游客中，儿童、中青年人、老年人的比例为1:7:2,其中儿童游客满意度得分的平均数为86,方差为45.15;老年人游客满意度得分的平均数为96,方差为10.55.请结合频率分布直方图，估计中青年游客对该景点满意度得分的平均数和方差.【命题意图】本题考查频率分布直方图、平均数、百分位数、方差等基础知识；考查数据处理、运算求解等基本能力；体现综合性、创新性、应用性，导向教学对数据处理、数学运算等素养的关注.【试题解析】(1)由频率分布直方图得：0.002×5+0.01×5+0.02×5+0.02×5+a……………6分【等式左边的列式正确得1分，计算1分】1000份问卷的平均分可估计为：x=72.5×0.01+77.5×0.05+82.5×0.1+87.5×0.1+92.5×0.45+97……………8分【列对3、4、5个得1分，列对6个得2分】用样本估计总体，可以估计游客对该景点满意度的总体平均数为91.5.…………10分【说出“用样本估计总体”,才能得此分】(3)由频率分布直方图，1000份问卷的方差可估计为：分高一数学试题第18页(共22页)3亿人都在用的扫描App解得s²=28.75,