高中数学教学案例

☆教学基本信息

课题新课标方程的根与函数零点

作者与

河北省威县其次中学冯慧颖

工作单位

☆指导思想与理论依据

由老师的教向学生的学转化是现代教学观现代教学观要求运用发

展的观点看待学生，着眼于调动学生学习的主动性和主动性，教给学

生学习的方法，培育学生学习实力，即着眼于培育学生不断学习、不

断探究、不断创新的实力，以适应不断变更的世界；由特殊到一般的

认知过程

☆教材分析

函数零点是探讨当函数了⑺的值为零时，相应的自变量，的取值，

反映在函数图象上，也就是函数图象与，轴的交点横坐标。

由于函数"X)的值为零即若方程/(x)・0有解，则函数/(X)存

在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与।轴的交

点横坐标.顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的

问题。

零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。

假如函数/・/卜)在区间b句上的图象是一条连绵不断的曲线，并且满

意/1(a)・/U)<0,则函数・/(1)在区间(a,6)内至少有一个零点，但

零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行推断.定理的逆命题不

成立。

方程的根与函数零点的探讨方法，符合从特殊到一般的相识规律，

从特殊的、详细的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方

程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；

零点存在性的探讨，也同样采纳了类似的方法，同时还运用了“数形

结合思想”与“转化与化归思想”。

方程的根与函数零点的关系探讨，不仅为“用二分法求方程的近似

解”的学习做好打算，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种

联系正是中学数学重要思想方法一一“函数与方程思想”的理论基

础.可见，函数零点概念在中学数学中具有核心地位。

☆学情分析

学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且

解过“当函数值为0时，求相应自变量的值”的问题，初步相识到二

次方程与二次函数的联系，对二次函数图象与，轴是否相交，也有一

些直观的相识与体会。在中学阶段，已经学习了函数概念与性质，驾

驭了部分基本初等函数的图象与性质。

以二次方程与相应的二次函数为例，引入函数零点的概念，

说明方程的根与函数零点的关系，学生并不会觉得困难。学生学习的

难点是精确理解零点存在性定理，并针对详细函数（或方程），能求

出存在零点（或根）的区间。

教学过程中，通过引导学生通过探究，发觉方程的根与函数零点的

关系；而零点存在性定理的教学，则应引导学生视察函数图象与I轴

的交点的状况，来探讨函数零点的状况，加深学生对零点存在性定理

的理解。

☆教学目标

通过本课教学，要求学生：理解并驾驭方程的根与相应函数零点的

关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转化为求相应函数零点

的问题；理解零点存在性定理，并能初步确定详细函数存在零点的区

间。

1.能够结合详细方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数

图象与工轴的交点横坐标以与相应函数零点的关系；

2.正确理解函数零点存在性定理：了解图象连绵不断的意义与作

用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点只能

不止一个；

3.能利用函数图象和性质推断某些函数的零点个数；

4.能顺当将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与

方程对应的函数；并会推断存在零点的区间（可运用计算器）。

☆教学重点和难点

教学重点：函数零点的概念与零点的求法

教学难点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。

☆教学过程

1.方程的根与相应函数图象的关系

复习总结一元二次方程与相应函数与X轴的交点与其坐标的关系：

一元二次方程根的状况推断:______________________

图象与X轴交点个数:______________________

图象与，轴交点坐标:______________________

意图：回顾二次函数图象与工轴的交点和相应方程的根的关系，为一

般函数与相应方程关系作打算。

问题一、上述结论对其他函数成立吗？为什么？

画出函数的图象：，=缄-4、），=同A2）,比较函

数图象与工轴的交点和相应方程的根的关系。

函数J=/«）的图象与x轴交点，即当/卜）=°,该方程有几个根,

厂了⑴的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标。

意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数。

2.函数零点概念

对于函数F■/⑴，把使〃x）・0的实数x叫做函数八/⑴的零点。

说明：函数零点不是一个点，而是详细的自变量的取值。

3.方程的根与函数零点的关系

方程「有实数根<=>函数「广」的图象与，轴有交点

函数有零点

以上关系说明：函数与方程有着亲密的联系，从而有些方程问题可

以转化为函数问题来求解，同样，函数问题有时也可转化为方程问

题.这正是函数与方程思想的基础。

4.零点存在性定理

问题二、视察图象（气温变更图）片段，依据该图象片段，将其补

充成完整函数图象，并问：是否有某时刻的温度为0℃?为什么？（假

设气温是连续变更的）

意图：通过类比得出零点存在性定理。

给出零点存在性定理：假如函数厂/⑴在区间WR上的图象是连绵

不断一条曲线,并且有则,函数厂/⑴在区间（*）内有零

点.即存在"（4叽使得刑这个。也就是方程/⑺的根。

问题三、不是连续函数结论还成立吗？请举例说明。

＞=2+2

结合函数.X'的图象说明。

问题四、若/⑷/加》0,函数齐了⑶在区间在“勾上肯定没有零点

吗？

问题五、若/（仰）＜。,函数六了⑴在区间在口H上只有一个零点

吗？可能有几个？

问题六、〃0/（切＜0时，增加什么条件可确定函数在区间在

[6]上只有一个零点？

意图：通过四个问题使学生精确理解零点存在性定理。

5.例题：求函数〃x，=Mx+2x-6的零点的个数。

问题七、能否确定一个区间，使函数在该区间内有零点。

问题八、该函数有几个零点？为什么？

意图：通过例题分析，学会用零点存在性定理确定零点存在区间，

并且结合函数性质，推断零点个数的方法。

六.目标检测设计

［函数/(x)=(x+4)(x-4)(x+2)在区间［-5,6］上是否存在零点？若

存在，有几个？

2.利用函数图象推断下列方程有几个根

(1)2x(x-2)=-3;

(2)尸+4=4x。

3.指出下列函数零点所在的大致区间

(1)/(X)=-X3-3X+5.

(2)/(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+xo

最终，师生共同小结(略)。

思索题：函数/(x)=lnx+2x-6的零点在区间口引内有零点，如何求

出这个零点？设计意图：为下一节“二分法”的学习做打算。

~W\老师活动~预设学

学环生行为设计意图

节

学生独

立思索完

给出几个详由详细的一元二次方程和

成解答，视

细的一元二次二次函数到一般的一元二次方

创设察、思索、

方程的根与其程和二次函数，既有利于学生

情境总结、概括

相应的二次函驾驭学问，又有助于学生抽象

得出结论，

数的图像思维实力的形成

并进行沟

通

细致理

引导学生细解函数零让学生视察二次函数在区

组织致体会函数零点的意义，间端点上的函数值之积的特

探究点的概念、函数并依据函点，引导学生发觉连续函数在

(1)零点的意义、函数零点的某个区间上存在零点的判定方

数零点的求法意义探究法

其求法

引导学生结分析函

合函数图像，分数，按提示让学生相识到函数图像与

组织

析函数在区间探究，完成基本性质在确定函数零点中的

探究

端点上的函数解答，并细重要作用，提高学生综合运用

(2)

值的符号状况，致思索；结数学学问解决问题的实力

与函数零点是合函数图

否存在之间的像，思索、

关系探讨、总

结、归纳得

出函数零

点存在的

条件，并进

行沟通、评

析

☆板书设计

方程的根与函数的

零y占八、、2.零点的定义

例1

一.复习引导3.零点存在性定理

四.小结

二.新课讲授4.应用

五.作业

1.一元二次方程与二