重难点01平行线（四种模型）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（苏科版）（解析版）

重难点01平行线（四种模型）

目录

题型一：M型（含锯齿形）

题型二：笔尖型

题型三：“鸡翅”型

题型四：“骨折”型

匚技巧方法

模型一：M模型

如图，若AB//CD,你能确定NB、ND与NBED的大小关系吗？

解：NB+ND=NDEB.

理由如下：

过点E作EF//AB

又AB//CD.

:.EF//CD.

ZD=ZDEF.ZB=ZBEF.

ZB+ZD=ZBEF+ZDEF=ZDEB

即NB+ND=NDEB.

模型二、笔尖型

如图，AB//CD,探索NB、ND与NDEB的大小关系？

解：ZB+ZD+ZDEB=360".

理由如下：

过点E作EF//AB.

又VAB//CD.

/.EF//CD.

，ZB+ZBEF=180°.

ZD+ZDEF=180".

，ZB+ZD+ZDEB

-ZB+ZD+ZBEF+ZDEF=360°.

即/B+ND+NDEB=360°.

模型三、“鸡翅”型

如图，已知AB〃CD,试猜想NA、NE、ZC的关系，并说明理由.

解：NAEC=NA-NC,

理由如下：

过点E作EF//AB

又VAB//CD.

，EF//CD.

/.ZA+ZFEA=180°,

ZC+ZFEC=180°

二ZAEC=ZFEC-ZFEA

=180°-ZC-(180°-ZA)

-ZA-ZC

即：ZAEC=ZA-ZC

模型四、“骨折模型”

如图，已知BC〃DE,试猜想NA、NB、ND的关系，并说明理由.

■AG

D*-----------------E

解：NBAD=ND-NB,

理由如下：

过点A作AG//BC

又VCB//DE.

AG//DE

AZGAB+ZB=180°,

ZGAD+ZD=180°

ZBAD=ZGAB-ZGAD

=180°-ZB-（180°-ZD）

=ZD-ZB

即：NBAD=ND-NB

注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！

能力拓展

题型一：M型（含锯齿形）

一、单选题

1.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图，AB//CD,点E,P在直线A8上（尸在E的右侧），点G在直线

CQ上，EFLFG,垂足为F,M为线段EF上的一动点，连接GP,GM,N尸GP与/APG的角平分线交与

点Q,且点。在直线AB,之间的区域，下列结论：①NAE尸F/CGF=90°；②NAE尸+2/PQG=270。；

③若NMG尸=2NCGF,则3NAE尸+NMGC=270°；ZMGF=nZCGF,则NAE尸+-^-ZMGC=9Q°.正

n+1

确的个数是（)

AEPB

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】①过点/作FH〃AB,利用平行线的性质以及已知即可证明；

②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到N3=2N2,NCG尸+2N1+N3=18O。，结合①的结论即可证明;

③由已知得到/MGC=3NCGF,结合①的结论即可证明；

④由已知得到/MGC=(n+1)/CGF,结合①的结论即可证明.

【详解】解：①过点尸作”〃A8,如图：

,CAB//CD,：.AB//FH//CD,

：.4AEF=4EFH,ZCGF=ZGFH,

,：EFLFG,BPZEFG=ZEFH+ZGFH=90°,

ZAEF+ZCGF=90°,故①正确；

@'：AB//CD,PQ平分NAPG,GQ平分/FGP,

AZAP2=Z2,NFGQ=N1,

・・・N3=NAPQ+N2=2N2,

ZCGF+ZFG2+Z1+Z3=ZCGF4-2ZH-Z3=180O,

即2N1=18O0-2N2-NCGF,

J2N2+2N1=180°-ZCGF,

VZP(2G=18O°-(Z2+Z1),

2ZP2G=360°-2(Z2+Z1)=360°-(180°-ZCGF)=180°+ZCGF,

・・・ZAEF+2ZPQG=ZAEF+180°+ZCGF=]80°+90°=270°,故②正确；

③；NMGF=2NCGF,

：・4MGC=3/CGF,

：.3NAEF+ZMGC=3ZAEF+3ZCGF=3(NAEF+ZCGF)=3x90。=270°；

3ZAEF+ZMGC=270°,故③正确；

@V/MGF=n/CGF,

・・・NMGC=(〃+1)NCG凡即NCGQ—!—NMGC,

〃+l

♦・・NAEF+/CGF=90。,

：.ZAEF+-ZMGC=90°,故④正确.

n+\

综上，①②③④都正确，共4个,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得NAEF+NCGF=90。，是

解此题的关键.

二、解答题

2.（2023春•江苏•七年级专题练习）如图1,AB//CD,NE4B=130。，ZPC£>=120°,求NAPC的度数.小

明的思路是：如图2,过户作通过平行线性质可求的度数.

（1）请你按小明的思路，写出/APC度数的求解过程;

（2）如图3,AB〃C£>,点尸在直线BO上运动，记NPA8=Na,NPCQ=N〃.

①当点尸在线段3。上运动时，则/APC与Na、”之间有何数量关系？请说明理由;

②若点尸不在线段上运动时，请直接写出NAPC与Na、"之间的数量关系.

【答案】（1）见解析；（2）①乙4PC=Na+N/?,见解析；②NAPC=|Na—功|

【分析】（1）过P作PE〃/3,利用平行线的性质即可得出答案;

（2）①过户作再利用平行线的性质即可得出答案；②分尸在8。延长线上和P在D8延长线上两

种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案

【详解】解：（1）如图2,过P作PE//AB

图2

QAB//CD,

PE//AB//CD,

:.ZPAB+ZAPE^\S00,

NPCD+NCPE=180°,

Zft4B=130°,/PCD=120°,

ZAPE=50°,NCPE=60°,

・•.ZAPC=ZAPE+NCP石=110。.

(2)①、Z4PC=Na+N分，

理由：如图3,过P作户口/AB,

QAB//CD,

ABHPEI/CD,

"a=/APE,40=4CPE,

ZAPC=ZAPE+NCPE=Na+N£；

②、ZAPC=|Za-Z>0|.

如备用图1,当尸在3D延长线上时，ZAPC=Za-Zy9；

备用图1备用图2

理由：如备用图1,过P作PG〃4B,

QABIICD,

・•.ABHPGHCD,

・•.Na=NAPG,“=4CPG,

ZAPC=ZAPG-ZCPG=Za-Z^;

如备用图2所示，当产在08延长线上时，ZAPC=ZJ3-Za；

理由：如备用图2,过尸作PG/Z48,

QAB//CD,

AB//PG//CD,

:.Na=ZAPG,N。=ZCPG,

:.AAPC=^CPG-ZAPG=A/3-Aa.

综上所述，NAPC=|Na—

【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是过户作

3.(2023春•江苏•七年级专题练习)已知AB〃C£),线段E尸分别与AB,CD相交于点E,F.

图1图2图3

(1)请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答：

如图1,当点尸在线段EF上时，已知/A=35。，NC=62。，求/APC的度数；

解：过点P作直线PH〃/1B,

所以NA=NAP"，依据是；

因为AB〃C£>,PH//AB,

所以PH〃C£>,依据是；

所以NC=(),

所以NAPC=()+()=NA+NC=97。.

(2)当点P,Q在线段EF上移动时(不包括E,F两点)：

①如图2,/APQ+/PQC=/A+NC+180。成立吗？请说明理由；

②如图3,NAPM=2/MP。,ZCQM=2ZMQP,180。，请直接写出/M,NA与

ZC的数量关系.

【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；ZCPH；ZAPH,ZCPH；(2)

①NAPQ+/PQC=/A+NC+180。成立，理由见解答过程；②3/PMQ+/A+NC=360。.

【分析】(1)根据平行线的判定与性质即可完成填空；

(2)结合(1)的辅助线方法即可完成证明；

(3)结合(1)(2)的方法，根据NAPM=2/MPQ,ZCQM=2ZMQP,NPMQ+NMPQ+NPQM=180。,

即可证明/PMQ,/A与/C的数量关系.

【详解】解：过点P作直线P7/〃A8,

所以/A=NAP"，依据是两直线平行，内错角相等；

因为AB〃CD,PH//AB,

所以依据是平行于同一条直线的两条直线平行；

所以NC=(NCPH),

所以/APC=(ZAPH)+(NCPH)=NA+/C=97。.

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；4CPH；ZAPH,NCPH；

(2)①如图2,/APQ+NPQC=NA+/C+180。成立，理由如下：

过点尸作直线尸4〃AB,QG//AB,

'JAB//CD,

：.AB//CD//PH//QG,

:.NA=NAPH,ZC=ZCQG,NHPQ+/GQP=180°,

，ZAPQ+ZPQC=ZAPH+ZHPQ+ZGQP+ZCQG=ZA+ZC+180°.

ZAPQ+ZPQC^NA+/C+180。成立；

过点P作直线QG//AB,MN//AB,

'：AB//CD,

：.AB//CD//PH//QG//MN,

：.ZA=ZAPH,ZC=ZCQG,ZHPQ+ZGQP=1SO°,ZHPM=ZPMN,ZGQM=ZQMN,

：.NPMQ=ZHPM+ZGQM,

•：4APM=24MPQ,NCQM=2NMQP,ZPMQ+ZMPQ+ZPQM=180°,

ZAPM+ZCQM=ZA+ZC+ZPMQ=2ZMPQ+2ZMQP=2(180°-NPMQ),

：.3ZPMQ+/A+ZC=360°.

【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质.熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键.

4.(2023春・江苏•七年级专题练习)在图中，AB//CD,NE+NG与NB+NF+ND又有何关系？

【分析】此类题要过各个分点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质进行推导.

【详解】分别过E,F,G作AB的平行线，

ABHEM//FN//GH//CD,

贝|JN1=N5,N2=N3,Z4=Z5,Z6=ZD,

.­.Z1+Z2+Z5+Z6=ZB+Z3+Z4+ZD,

即，NE+NG=NB+NF+ND.

【点睛】此类题主要注意构造辅助线：平行线，解题的关键是充分运用平行线的性质进行证明.

5.(2023春•七年级课时练习)同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.

(1)如图。，若AB//CD,点P在AB、8外部，我们过点P作A3、CO的平行线PE,则有A8〃CD〃尸E,

则—3尸£>,NB,/£>之间的数量关系为.将点P移到AB、8内部，如图/?,以上结论是否成

立？若成立，说明理由；若不成立，则NB、之间有何数量关系？请证明你的结论.

M.IWb

(2)迎“G20”科技节上，小兰制作了一个飞旋镖”，在图方中，将直线A8绕点B逆时针方向旋转一定角度

交直线于点。，如图J他很想知道28/刀、NABP、ND、NBQD之间的数量关系，请你直接写出它

们之间的数量关系：.

(3)设班•交AC于点P,4E交DF于点Q,已知ZAPB=126。，ZAQF=\W,直接写出ZB+NE+N广的度

数为度，/A比N/大_____度.

【答案】(1)ZBPD=ZB-ZD；将点P移至I」AB、CD内部，/BPD=NB-ND不成立，ZBPD=ZB+ZD,

证明见解析；(2)ZBPD=ZABP+ZD+ZBQD；(3)80,46.

【分析】(1)由平行线的性质得出NB=/BPE,ZD=ZDPE,即可得出/BPD=/B-ND；将点P移到AB、

CD内部，延长BP交DC于M,由平行线的性质得出/B=NBMD,即可得出/BPD=/B+ND；

(2)由平行线的性质得出NABQ=NBQD,同(1)得：ZBPD=ZA,BP+ZD,即可得出结论；

(3)过点E作EN〃BF,贝IJNB=NBEN,同(1)得：ZFQE=ZF+ZQEN,得出NEQF=NB+/E+/F,

求出/EQF=180°-100°=80°,即/B+/E+NF=80°,由/AMP=/APB-/A=126°-/A,

ZFMQ=180°-ZAQF-ZF=180°-100°-ZF=80°-ZF,ZAMP=ZFMQ,得出126°-NA=80°-NF,即可得出结

论.

【详解】解(1)•.•AB〃CD〃PE,

.".ZB=ZBPE,ZD=ZDPE,

/BPE=/BPD+/DPE,

AZBPD=ZB-ZD,

故答案为：ZBPD=ZB-ZD；

将点P移到AB、CD内部，ZBPD=ZB-ZD不成立，

ZBPD=ZB+ZD,理由如下：

延长BP交DC于M,如图b所示：

：AB〃CD,

.,.ZB=ZBMD,

VZBPD=ZBMD+ZD,

/.ZBPD=ZB+ZD；

(2)VA'B/ZCD,

・•・NABQ=NBQD,

同(1)得：/BPD=NABP+/D,

・•・NBPD二NABP+ND+NBQD,

故答案为：ZBPD=ZABP+ZD+ZBQD；

(3)过点E作EN〃BF,如图d所示：

贝|JNB=NBEN,

同(1)得：ZFQE=ZF+ZQEN,

AZEQF=ZB+ZE+ZF,

VZAQF=100°,

.・・ZEQF=180°-100°=80°,BPZB+ZE+ZF=80°,

•.*ZAMP=ZAPB-ZA=126°-ZA,ZFMQ=180°-ZAQF-ZF=180°-100°-ZF=80°-ZF；

VZAMP=ZFMQ,

.•.126°-ZA=80°-ZF,

AZA-ZF=46°,

故答案为：80,46.

【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质是

解题的关键.

6.（2022春・安徽滁州•七年级校联考期末）问题情境：如图1,AB//CD,ZPAB=128°,ZPCD=124°,求“APC

的度数.小明的思路是过点尸作PE〃/3,通过平行线性质来求/APC.

（1）按照小明的思路，写出推算过程，求NAPC的度数.

（2）问题迁移：如图2,AB〃C£>,点P在射线OM上运动，记=^PCD=p,当点尸在8、D两

点之间运动时，问NAPC与夕之间有何数量关系？请说明理由.

（3）在（2）的条件下，当点P在线段。8上时，请直接写出NAPC与a、夕之间的数量关系.

【答案】（1）108°；（2）ZAPC=a+p,理由见解析；（3）ZAPC=p-a.

【分析】（1）过P作PE〃AB,先推出PE〃AB〃CD,再通过平行线性质可求出NAPC；

（2）过P作PE〃AB交AC于E,先推出AB〃PE〃DC,然后根据平行线的性质得出a=/APE,p=ZCPE,

即可得出答案；

（3）过点P作PE〃AB交OA于点E,同（2）中方法根据平行线的性质得出a=NAPE,忏/CPE,即可

得出答案.

【详解】解：（1）过点P作PE〃AB,

VAB/7CD,

，PE〃AB〃CD,

.*.ZA+ZAPE=180°,ZC+ZCPE=180°,

VZPAB=128°,NPCD=124。，

/.ZAPE=52°,/CPE=56°,

ZAPC=ZAPE+ZCPE=108°；

（2）ZAPC=a+p.理由如下：

如图2,过P作PE〃AB交AC于E,

：AB〃CD,

，AB〃PE〃CD,

，a=/APE,P=ZCPE,

二ZAPC=ZAPE+ZCPE=a+p；

(3)ZAPC=p-a.理由如下：

过点P作PE〃AB交OA于点E,

同(2)可得，a=ZAPE,p=ZCPE,

ZAPC=ZCPE-ZAPE=p-a.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解

决问题.

7.（2020春.河北石家庄.七年级校考阶段练习）（1）问题发现：如图①，直线以的切勘E是AB与AD

之间的一点，连接BE,CE,可以发现/加/妗Ng—

图①图②图③

请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作伞〃移/⑼^

•班/必演己知），依一/以@辅助线的作法）.

_____）.

•••N忻）

//解@/-同理）.

，N3_____（等量代换）

即/如N8=乙*班

（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：/3

360°-/十一^@请说明理由.

（3）解决问题：如图③，6N■好120。，Z^0^0-80°,请直接写出N■©的度数.

【答案】（1）平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；ZBEF+ZCEF；（2）见解析；（3）

20°

【分析】（1）过点E作EF〃AB,根据平行线的判定得出AB〃CD〃EF,根据平行线的性质得出即可;

（2）过点E作EF〃AB,根据平行线的判定得出AB〃CD〃EF,根据平行线的性质得出即可；

（3）过点E作EF〃AB,根据平行线的判定得出AB〃CD〃EF,根据平行线的性质得出即可.

【详解】解：（1）证明：如图①，过点E作EF〃AB,

♦；AB〃DC（已知），EF〃AB（辅助线的作法）,

.•.EF〃DC（平行于同一直线的两直线平行），

.••NC=/CEF.（两直线平行，内错角相等），

VEF/7AB,

AZB=ZBEF（同理），

/.ZB+ZC=ZBEF+ZCEF（等量代换）

即/B+NC=NBEC,

故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；ZBEF+ZCEF；

图①

（2）证明：如图②，过点E作EF〃AB,

♦；AB〃DC（已知），EF//AB（辅助线的作法）,

...EF〃DC（平行于同一直线的两直线平行），

AZC+ZCEF=180°,ZB+NBEF=180°,

ZB+ZC+ZAEC=360°,

,ZB+ZC=360°-ZBEC；

D

图②

(3)解：如图③，过点E作EF〃AB,

：AB〃DC(已知),EF〃AB(辅助线的作法),

.•.EF〃DC(平行于同一直线的两直线平行)，

AZC+ZCEF=180°,/A=/BEF,

VZC=120°,ZAEC=80°,

，ZCEF=180°-120°=60°,

二ZBEF=80°-60°=20%

，NA=NAEF=20°.

故答案为：20°.

图③

【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平

行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补.

8.(2019春・辽宁丹东•七年级统考期末)已知射线AB平行于射线C。，点E、F分别在射线AB、CO上.

(1)如图1,若点P在线段E尸上，若NA=25。，ZAPC=70。时，则NC=.

(2)如图1,若点尸在线段E尸上运动(不包含E、尸两点)，则NA、ZAPC./C之间的等量关系是

(3)①如图2,若点尸在线段瓦■的延长线上运动，则2A、NAPC、/C之间的等量关系是

②如图3,若点尸在线段所的延长线上运动，则-A、/APC、NC之间的等量关系是.

(4)请说明图2中所得结论的理由.

【答案】(1)45°；(2)ZAPC=ZA+ZC；(3)®ZAPC=ZC-ZA；®ZAPC=ZA-ZC；(4)见解析;

【分析】(1)过P作GH〃CD,根据平行线的性质得/HPC=NC,由AB〃CD得到AB〃GH,得到NAPH=/A,

则/APC=/HPC+/APH=NA+/C,把NA=25。，NAPC=70。代入计算可得到/C的度数；

(2)过P作GH〃CD,根据平行线的性质得/HPC=/C,由AB〃CD得至ljAB〃GH,得到/APH=NA,

则/APC=NHPC+/APH=/A+/C,可得到/APC=NA+/C；

(3)过P作MN〃CD,根据平行线的性质得NMPC=NC,由AB〃CD得到AB〃MN,得到NAPM=NA,

则ZAPC=ZMPC-ZAPM=ZC-/A,可得到ZAPC=ZC-ZA；

②过P作IJ〃CD,根据平行线的性质得NIPC=/C,由AB〃CD得到AB〃IJ,得到/API=/A,贝U

ZAPC=ZAPI-ZIPC=ZA-ZC,可得到NAPC=NA-NC；

(4)过点P作MN//AB,由两直线平行，内错角相等，得到NMPA=NA,/MPC=/C,再由角的关

系进行相减即可.

【详解】解：

(1)如图1,过P作GH〃CD,

,ZC=ZCPH.

VAB/7CD,

，AB〃GH,

ZA=ZAPH.

■:/APC=/HPC+/APH=NA+/C,

/.ZC=ZAPC-ZA=70°-25°=45°.

(2)如图1,如图1,过P作GH〃CD,

二ZC=ZCPH.

•；AB〃CD,

；.AB〃GH,

ZA=ZAPH.

NAPC=NHPC+NAPH=NA+NC,

・・・/APC=/A+/C.

(3)①如图2,过P作MN〃CD,

AZMPC=ZC.

VAB/7CD,

・・・AB〃MN,

AZAPM=ZA.

•/ZAPC=ZMPC-ZAPM=ZC-ZA

・・・/APC=/C-/A；

②如图3,过P作U〃CD,

:.ZIPC=ZC.

TAB〃CD,

・・・AB〃IJ,

JZAPI=ZA.

■:ZAPC=ZAPI-ZIPC=ZA-ZC

.•・/APC=/A—/C.

(4)理由：过点P作MN//AZ?

■:ABI/CD

：.MNI/CD

AZMPA=ZA,ZMPC=ZC

■:ZAPC=ZMPC-ZMPA

：.ZAPC=NC-ZA

【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等.解题的关键是熟练运用平行线的性质进行

解题.

9.（2021春.全国•七年级专题练习）阅读材料：

如图1,点A是直线上一点，MN上方的四边形ABCQ中，ZABC=140°,延长3C,

2ADCE=AMAD+ZADC,探究N3CE与NM钻的数量关系，并证明.

小白的想法是：“作/ECF=NECD（如图2）,通过推理可以得到CFMN,从而得出结论”.

请按照小白的想法完成解答：

拓展延伸：

保留原题条件不变，CG平分NEC。，反向延长CG,交NM45的平分线于点H（如图3）,设=

请直接写出N"的度数（用含a的式子表示）.

【答案】阅读材料：ZECD=400+ZMAB,见解析；拓展延伸：ZCHA=120°-«.

【分析】（1）作NECF=/EC。，DGMN,BHMN,由平行线性质可得NMM>+NADG=18（）。，结合

已知2〃CE=ZM4D+NAZ）C,可证/86+“（卞=180。，进而得到。GCF,从而CFBH,

NBCF+ZMAB=ZABC=140。，将NBCF=180。一NECF=180。一ZECD代入可得ZECD=40。+NMAB.

（2）过，点作HP〃MV,可得/CHA=NPHA+NPHC,结合（1）的结论和CG平分NEC。可得/P"C=/FCH

=120°--ZMAB,即可得NCH4=120。—a.

2

【详解】解：【阅读材料】作NECF=NECD,DGMN,BHMN（如图1）.

E

NM4O+ZADG=180°.

Z.CDG+(ZMAD+ZA£>C)=180°.

2ZDCE=ZMAD+ZADC,

：.ZCDG+2ZDCE=180°.

・•・ZCDG+ZDCF=180°.

/.DGCF.

・.,DGMN,

:.MNCF.

•/BHMN,

.・・CFBH.

/.ZBCF=ZCBH,ZMAB=ZABH.

・•・ZBCF+AMAB=ZABC=140°.

•/ZBCF=180°-Z.ECF=180°-ZECD,

JZECD=4O0+ZMAB.

【拓展延伸】结论：ZCHA=\200-a.

理由：如图，作NECF=NECD,过H点作HP〃MN,

由(1)得FC〃MN,

:・FC〃HP,

：./PHC=NFCH,

•INECD=400+NM4B,CG平分NEC，

AZECG=20°+-ZMAB,

2

JNFCH=180。-NECF-NECG

=180°-(40。+ZMAB)-(20。+gZMAB)

3

=120°--ZMAB

2

13

AZCHA=ZPHA+ZPHC=-ZMAB+(120。-二/MAS)=120。-ZMAB

22

即：ZCHA=\200-a.

【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角

（补角）相等进行推导.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联.解题时注意方程

思想的运用.

10.（2021•全国•九年级专题练习）（1）如图1已知：NB=25。,ZBED=80°,ZD=55°.探究AB与CD有怎

样的位置关系.

（2）如图2已知AB〃E凡试猜想N8,NF,NBC尸之间的关系，写出这种关系，并加以证明.

（3）如图3已知AB〃CD,试猜想Nl,Z2,Z3,Z4,N5之间的关系，请直接写出这种关系，不用证

【分析】（1）过点E作EF〃AB,得NBEF=25：得/DEF=55。，从而可证AB〃CD；

（2）作CD〃AB,根据平行线的传递性得CD〃EF,则根据平行线的性质得/BCD=NB,ZDCF=ZF,所

以NBCD+NDCF=/B+NF,故可得结论；

（3）方法同（2）

【详解】（1）过点E作E尸〃48

CD

VZB=25°

.•・NBEF=NB=25。

丁ZBED=80°

JZDEF=ZBED-/BEF=55°

*/Z£>=55°

JZD=ZDEF

：.EF//CD

:.AB"CD

(2)过点C作C£>〃AB,贝UCD〃EF,

：AB〃CD,

ZBCD=ZB,

；CD〃EF,

ZDCF=ZF,

ZBCD+ZDCF=ZB+ZF,

即NC=/B+/F.

(3)ZI+Z3+Z5=Z2+Z4,

由(2)的结论得到N2=N1+N6,Z4=Z5+Z7,

.,,Z2+Z4=Z1+Z6+Z5+Z7=Z1+Z3+Z5.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直

线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.作出相关辅助线是解此题的关键.

11.（2020春・广东•七年级湛江市第二中学校考期中）探索：小明在研究数学问题：已知A8〃CD4B和CO

都不经过点P,探索/P与NC的数量关系.

发现：在如图中：ZAPC=ZA+ZC；如图

小明是这样证明的：过点尸作尸Q〃AB

，/APQ=/A（_）

'."PQ//AB,AB//CD.

：.PQ//CD（_）

：.ZCPQ=ZC

：.ZAPQ+ZCPQ=NA+NC

即/APC=/A+/C

（1）为小明的证明填上推理的依据；

（2）应用：①在如图中，NP与NA、NC的数量关系为_；

②在如图中，若NA=30。，/C=70。，则NP的度数为_；

（3）拓展：在如图中，探究NP与/A,NC的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）乙4PC+/A+/C=360；40°；

（3）ZAPC=ZA-ZC

【分析】（1）过点尸作PQ〃A3,根据平行线的性质得出/4PQ=/A,ZCPQ^ZC,即可得出答案；

（2）①过点尸作尸。〃A8,根据平行线的性质得出/APQ+/4=180。，/CPQ+/C=180。，即可得出答

案；

②根据平行线的性质得出NPEB=NC=70。，根据三角形外角性质得出即可；

（3）根据平行线的性质得出/4PG+NA=180°,求出/APG=180°-ZA,根据PG〃C£＞得出/CPG+ZC

=180。,即可得出答案.

【详解】（1）证明：过点P作PQ〃AB,

图1

所以N4PQ=NA（两直线平行，内错角相等）

,JPQ//AB,AB//CD.

：.PQ//CD（平行于同一直线的两直线平行）

/CPQ=ZC

ZAPQ+ZCPQ=NA+ZC

即ZAPC=ZA+ZC

故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行;

(2)①过点尸作伙

所以NAPQ+NA=180。，

•:PQ"NB,AB//CD.

：.PQ//CD,

.,.ZCP<2+ZC=18O°,

JZAPQ+ZCPQ+NA+NC=360。,

即ZAPC+NA+NC=360°,

故答案为：ZAPC+ZA+ZC=360°；

9

@：AB//CDfZC=70°,

：・NPEB=NC=70。,

•・•NA=30。，

・•・NP=NPEB—NA=40。，

故答案为：40°；

(3)NAPC=NA—NC理由如下:

・.•PG//AB,

，NAPG+/A=180°,

ZAPG=\S00~ZA

'：PG//AB,AB//CD,

：.PG//CD,(平行于同一直线的两直线平行)

.,.ZCPG+ZC=180°,

：.ZCPG=\S00~ZC,

：./APC=/CPG-/APG=ZA-ZC.

【点睛】考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键.

12.(2021春・全国•七年级专题练习)如图①，已知AB〃CD,点E、F分别是AB、CD上的点，点P是两

平行线之间的一点，设/AEP=a,ZPFC=p,在图①中，过点E作射线EH交CD于点N,作射线FI,延长

PF至IJG,使得PE、FG分别平分/AEH、ZDFL得到图②.

(1)在图①中，过点P作PM〃AB,当a=20。，0=50。时，/EPM=度，NEPF=度；

(2)在(1)的条件下，求图②中NEND与NCFI的度数；

【答案】(1)20,70；(2)80°；(3)90°；

【分析】(1)由PM〃AB根据两直线平行，内错角相等可得NEPM=NAEP=20。，根据平行公理的推论可得

PM〃CD,继而可得NMPF=NCFP=50。，从而即可求得NEPF；

(2)由角平分线的定义可得/AEH=2a=40。，再根据AD〃BC,由两直线平行，内错角相等可得

ZEND=ZAEH=40°,由对顶角相等以及角平分线定义可得NIFG=/DFG=B=50。，再根据平角定义即可求得

ZCFI的度数；

(3)由(2)可得，ZCFI=180°-2p,由AB〃CD,可得NEND=2a,当FI〃EH时，ZEND=ZCFI,据此即

可得a+p=90°.

【详解】(1)VPM//AB,a=20。，

/./EPM=/AEP=20°,

：AB〃CD,PM〃AB,

：.PM〃CD,

，ZMPF=ZCFP=50°,

ZEPF=20°+50°=70°,

故答案为20,70；

(2)；PE平分NAEH,

ZAEH=2a=40°,

VAD//BC,

ZEND=ZAEH=40°,

又TFG平分/DFI,

:.ZIFG=ZDFG=p=50°,

/.ZCn=180°-2p=80°;

(3)由(2)可得,ZCFI=180°-2p,

：AB〃CD,

ZEND=ZAEN=2a,

.•.当FI〃EH时，ZEND=ZCFI,

即2a=180°-2。，

.*.a+p=90o.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键.

13.(2021春・全国•七年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，点A在X轴正半轴上，3在丫轴的负半

轴，过点8画MN〃x轴；C是丫轴上一点，连接AC,作COLCA.

(1)如图(1),请直接写出NCA0与NCD8的数量关系.

(2)如图(2),在题(1)的条件下，NCA。的角平分线与/CCB的角平分线相交于点P,求NAP3的度数.

(3)如图(2),在题(1)、(2)的条件下，/CAX的角平分线与的角平分线相交于点Q,请直接写

出与数量关系.

(4)如图(3),点C在y轴的正半轴上运动时.，NCAO的角平分线所在的直线与NCDB的角平分线相交

于点P,N4PO的大小是否变化？若不变，直接写出其值；若变化，说明理由.

【答案】(I)ZCAO+ZCDB=90°；(2)ZAP£>=450；(3)ZAP£)+ZAQD=180°；(4)NAP。的大小不变，

为45°

【分析】(1)根据C£>_LCA、ZAOC=90°^ZDCB=ZOAC,由/C8O=90°可得/Z)C8+/C£>3=90°,即

ZCAO+ZCDB=90°；

(2)延长AP交MN于点E,结合(1)中结论，利用角平分线可得/1+N2=45。，再由平行线的性质和三

角形外角性质可得；

(3)由A尸平分/OAC、AQ平分/CAx且/OAC+NCgl80。可得/以2=90。，同理知/P。。=90。，根据

四边形内角和可得结论；

(4)设NC42=2a、NCQA=2。,由N4C£>=90°得2a+24=90。即a+夕=45°,根据角平分线的性质及平行线性

质可得NQDP=£,ZCAQ=^ZCAQ^a,由/。04=90。七利用外角性质可得答案.

【详解】解：(1)如图，：C£)，CA,

/.ZACO+ZDCB=90°,

ZAOC=90°,

：.ZACO+ZOAC=90°,

：.ZDCB=ZOAC,

又：/(；80=90°,

二ZDCB+ZC£)B=90°,

二ZCAO+ZCDB=90°；

(2)如图2,延长AP交MN于点E,

平分/CAO、0P平分/COB,

：.Z1=^ZCAO.Z2=^ZCDB,

,：ZCAO+ZCDB=90°,

.♦.Nl+N2=45°,

■：MN//OA,

.,.Z1=Z3,

NAPD=N2+N3=N1+N3=45°；

(3)平分NOAC、AQ平分/C4v,

以C=；NOAC、ZQAC=^ZCAx,

'：ZOAC+ZCAx=lSO°,

：.ZPAQ=ZF!AC+ZCAQ=^(NOAC+NCAr)=90°,

同理得/尸。。=90°,

AZAPD+ZAQD=360°-(ZPAQ+ZPDQ)=180°；

(4)NAP。的大小不变，为45。；

图⑶

设NC4Q=2a,NCQA=2£,

ZACD=90°,

：.ZCAQ+ZCQA=90°,即2a+24=90,a+0=45,

"."AO//MN,

：.NCQA=NCDB=2°,

：AQ平分/C4Q、DB平分NCDB,

：.NQDP=；NCDB=8,/CAQ=|ZCAQ=a,

则ZCQA=90°-ZCA<2=90°-a,

，ZAPD-ZCQA-ZCDB=90°-a-^=45°.

【点睛】考查角平分线的性质、三角形外角性质、平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分

线的性质、三角形外角性质.

14.（2020春・吉林松原•七年级统考期末）（1）已知：如图1,直线AC〃BD,求证：ZAPB=ZPAC+ZPBD；

（2）如图2,如果点P在AC与BD之内，线段AB的左侧，其它条件不变，那么会有什么结果？并加以

证明；

（3）如图3,如果点P在AC与BD之外，其他条件不变，你发现的结果是（只写结果，不要

证明）.

【答案】（1）见解析；（2）ZAPB+ZPBD+ZPAC=360°,证明见解析；（3）ZAPB=ZPBD-ZPAC.

【分析】（1）过P作PM〃AC,根据平行线的性质得出N1=NPAC,N2=NPBD,即可得出答案；

（2）过P作PM〃AC,根据平行线的性质得出N1+NPAC=18（）。，Z2+ZPBD=180°,相加即可；

（3）过P作PM〃AC,根据平行线的性质得出NMPA=NPAC,ZMPB=ZPBD,即可得出答案.

【详解】解：（1）证明：

A

图1

如图1,过P作PM〃AC,：AC〃BD,；.AC〃BD〃PM,

；.N1=NPAC,Z2=ZPBD,AZAPB=Z1+Z2=ZPAC+ZPBD

(2)ZAPB+ZPBD+ZPAC=360°,

证明:如图2,

Pt5

过P作PM〃AC,；AC〃BD,，AC〃BD〃PM,

•\N1+/PAC=18O°,N2+NPBD=180°,Z1+ZPAC+Z2+ZPBD=360°,即NAPB+/PBD+ZPAC=360°；

(3)ZAPB=ZPBD-ZPAC,

证明：过P作PM〃AC,如图3,

VAC//BD,；.AC〃BD〃PM,

NMPA=NPAC,ZMPB=ZPBD,.,.ZAPB=ZMPB-ZMPA=ZPBD-ZPAC,

NAPB=NPBD-ZPAC.

题型二：笔尖型

一、单选题

1.(2023春•江苏•七年级专题练习)如图，两直线A3、8平行，则Nl+N2+N3+N4+N5+N6=().

H

A.630°B.720°C.800°D.900°

【答案】D

【详解】分别过E点,F点,G点，”点作L1,L2,L3,L4平行于AB

观察图形可知，图中有5组同旁内角，

贝|JN1+N2+N3+N4+N5+/6=18Ox5=900.

故选D

【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键

二、填空题

2.（2023春・全国•七年级专题练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A,平行于地面AE,

则ZABC+NBCD=.

AE

【答案】270°

【分析】过8作B尸〃4E,则C3〃B/〃AE.根据平行线的性质即可求解.

【详解】过8作B尸〃AE,

\'CD//AE,

则CD//BF//AE,

cD

AE

AZBCD+Z1=180°,

；・ABLBF,

：.ZABF=90°f

：.ZABC+ZBCD=90°+180°=270°.

故答案为：270.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补.正确作出辅助线是解题的关键.

3.（2023春•七年级课时练习）如图，在五边形宏中满足A3//C。，则图形中的冗的值是.

【答案】85

【分析】根据平行线的性质先求NB的度数，再根据五边形的内角和公式求x的值即可.

【详解】解：・・・AB〃CD,ZC=60°,

.*.ZB=180°-ZC=120°.

/.（5-2）xl80°=xo+150o+125o+60o+120°.

••x=85.

故答案为：85.

【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质和多边形内角和定理是解题的关键.

三、解答题

4.（2023春•七年级课时练习）如图，已知22〃CO.

图2

AB

'N_______

CD

图4

(1)如图1所示,Zl+Z2=

(2)如图2所示,Zl+Z2+Z3=；并写出求解过程.

(3)如图3所示,Zl+Z2+Z3+Z4=

(4)如图4所示,试探究N1+Z2+Z3+Z4+-+Zn

【答案】(1)180°；(2)360°；(3)540°；(4)(n-1)xl80°

【分析】(1)由两直线平行，同旁内角互补，可得答案;

(2)过点E作AB的平行线，转化成两个图1,同理可得答案;

(3)过点E,点F分别作AB的平行线，转化成3个图1,可得答案;

(4)由(2)(3)类比可得答案.

【详解】解：(1)如图1,

.../1+/2=180。(两直线平行，同旁内角互补。

故答案为：180。；

(2)如图2,过点E作AB的平行线EF,

'：AB//CD,

：.AB//EF,CD//EF,

.,.Zl+ZAEF=180°,ZF£C+Z3=18O°,

.".Zl+Z2+Z3=360°；

图2图4

(3)如图3,过点E,点F分别作AB的平行线,

类比(2)可知/1+N2+N3+N4=180°X3=540°,

故答案为:540°；

（4）如图4由（2）和（3）的解法可知N1+N2+N3+N4+...+N”（n-1）xl80°,

故答案为：（〃-1）xl80°.

【点睛】此题考查了平行线的性质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.

5.（2021春•浙江宁波•七年级统考期中）如图，AB//CD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线A3,

CD之间有一个动点P,满足0。＜田＞尸＜180°.

（1）试问：ZAEP,ZEPF,NPFC满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线AB,CO之间一动点，因此需对点尸的位置进行分类讨论.如图1,当点P在EF的

左侧时，易得NAEP,ZEPF,/PFC满足的数量关系为NA£P+NPFC=N£PF；如图2,当点尸在所的

右侧时，写出ZAEP,ZEPF,NPFC满足的数量关系