广东省江门市2020-2021学年高二年级下册数学期末考试试卷 (解析版)

广东省江门市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.复数5的共辄复数是（）

1—2

A.2+iB.-2+iC.-2—iD.2—i

2."0<t<1"是"曲线纪+^=1表示椭圆”的（）

t1—t

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

3.已知椭圆幡+*1（€1>匕>0）的左右焦点分别为Fi,F2,离心率为坐，过

F2的直线[交C于两点，若AA&B的周长为4V3则，椭圆C的方程为（）

丫2”222”22

A号+A1YB*+/=iV♦+&=]v嗪+A

1

4.与直线3支―4y+5=0关于％轴对称的直线的方程为（）

A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3%—4y+5=

0D.3x—4y—5=0

5.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年,

雅各布•伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约

翰•伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式一一

XX

双曲余弦函数：f（x）=c+acosh；=c+Q•吧A（e为自然对数的底数）.当C=O,

a=1时，记p=/（-I）,m=/（|）,n=f（2），则p,m,n的大小关系为（）.

A.p<m<nB.n<m<pC.m<p<nD.m<

n<p

6.已知双曲线的渐近线为y=±2x，且过点P（l,百），则该双曲线的标准方程为（）

A.q_y2=iB.贮_/=iC.史_y2=iD.^__

4yl2210.5y10.25

y2=1

7.棱长均为3的三棱锥S-ABC,若空间一点P满足SP=xSA+ySB+zSC（x4-y+

z=1）,则\SP\的最小值为（）

A.V6B.军C.在D.1

2

8.如果Pi,P2，…，Pn是抛物线C：y=2px(p>0)上的点，它们的横坐标依次

为,%2，…，xn，点F是抛物线C的焦点.若勺+牝+…+/=1。，岛91+尸2川+

-+\PnF\=10+n,则p等于()

A.2B.^C.|D.4

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的

得。分)

9.已知m,n是两条不重合的直线，a,B,丫是三个两两不重合的平面，则下列

命题正确的是()

A.若mla,n工。，a///?,则m//nB.若a1y,,则a〃0

C.若m//p,n//p,ua,则a//pD.若nua,nl/?,贝

10.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共粗双曲线.以下

关于共规双曲线的结论正确的是()

A.与^2-^2=1(。>0,b>0)共辄的双曲线是^2——2=l(a>0,b>0)

B.互为共挽的双曲线渐近线不相同

C.互为共枕的双曲线的离心率为ei、e2则eie2>2

D.互为共班的双曲线的4个焦点在同一圆上

11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A^C^中，点P在线段BC]上运动，则下列

判断中正确的是()

A.三棱锥A-D[PC的体积是i

B.DP〃平面AB1D1

C.平面PBi。与平面ACDy所成的二面角为60°

D.异面直线A.P与AD.所成角的范围是碍方

12.已知函数/(%)=e|xlsinx,则下列结论正确的是()

A./(x)是以27r为周期的函数B.7(%)是奇函数

C./(%)在(一百,当)上为增函数D./(%)在(-IOTT,IOTT)内有20个极值

点

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.命题“>0,3%-1<0"的否定是—.

14.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数，则z=.

15.过点(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则\AB\的最小值为一.

16.如图，在直三棱柱4BC-41B1C1中，ZBAC=90"，AB=AC=AAi=1,已知

G和E分别为必/和CCi的中点，。和F分别为线段AC和AB上的动点(不包

括端点)，若DG1EF,则线段DF长度的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明

过程或演算步骤)

17.已知抛物线C-.y2=2px(p>0)的焦点为F,并且经过点4(1,-2).

(1).求抛物线C的方程；

(2).过原点0作倾斜角为45。的直线I交抛物线C于M,N两点，求&FMN的

面积.

18.已知空间三点4(0,2,3),5(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1).求XABC的面积；

(2).若向量CD//AB，月.|而|=，五，求向量CD的坐标.

19.已知函数/(x)=-%3+3x2+9x+a.

(1).当a=—2时，求/(%)在久=2处的切线方程；

(2).若/(%)在区间［-2,2］上的极小值为一5,求它在该区间上的最大值.

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是菱形，ZABC=

60°.点E,F分别在棱BC,PD上，且雇=2EC，~PF=2FD.

(1).证明：EF//平面PAB；

(2).若PA=V2AB,求二面角B-PC-D的余弦值.

21椭圆E与<+q=1有共同的焦点，且经过点4(1,T)

yOZ

(1).求椭圆E的标准方程和离心率；

(2).设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求丽.前的最大值.

22.已知函数/(%)=Inx—ax.

(1).若函数/(%)在定义域上的最大值为1,求实数a的值；

⑵.设函数/(%)=(%—2)ex+/(%)，当a=1时，/(X)<b对任意的x6逑1］恒

成立，求满足条件的实数b的最小整数值.

答案解析部分

广东省江门市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷

一、单选题

1.复数5的共聊复数是（）

1—2

A.2+iB.-2+iC.-2—iD.2—i

【答案】B

【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算

【解析】【解答】因为金=卷宗*=—2—i，

所以复数5的共扼复数为一2+K

I-Z

故答案为：B

【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数三，再利用复数与共物复数的关系，从

I—L

而求出复数5的共输复数。

I—L

22

2."0<t<1"是"曲线二+工=1表示椭圆”的（）

t1-t

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不

必要条件

【答案】B

【考点】椭圆的定义

22

【解析】【解答】因为曲线上+2=1为椭圆，

t1-t

t>0

所以｛l-t>0,解得0cte1且,

t*1-1

所以"0<t<1"是"0<t<1且t力：”的必要而不充分条件.

故答案为：B

【分析】直接利用椭圆的方程满足的条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果.

3.己知椭圆常+*l（a〉6>0）的左右焦点分别为%,F2,离心率为母，过

F2的直线/交C于4B两点，若△A&B的周长为4V3贝I,椭圆C的方程为（）

4+21B考+俨=14迷+冬

1

【答案】A

【考点】椭圆的简单性质

【解析】【解答】由题意可得群攀4a=4百，解得a=B,c=l,

所以b2=a2—c2=2，

所以椭圆C的方程为《+¥=1。

故答案为：A

【分析】利用已知条件结合椭圆的离心率公式，从而求出a,c的关系式，再利用椭圆的定

义结合三角形的周长公式，从而求出a的值，进而求出c的值，再利用椭圆中a,b,c三者的

关系式，从而求出b的值，进而求出椭圆的标准方程。

4.与直线3%-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为()

A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=

0D.3x—4y—5=0

【答案】B

【考点】直线的一般式方程，图形的对称性

【解析】【解答】直线3x—4y+5=0关于久轴对称的直线的方程为3%-4(一切+5=

0,即3x+4y+5=0。

故答案为：B.

【分析】利用直线关于x轴对称的求解方法，从而求出与直线3%-4y+5=0关于久轴

对称的直线的一般式方程。

5.意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年,

雅各布・伯努利正式提寓该问题为"悬链线”问题并向数学界征求答案.1691年他的弟弟约

翰・伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式一一

XX

双曲余弦函数：fM=c+acOsh-=c+a^^(e为自然对数的底数).当c=0,

八,a2

a=1时，记p=/(-I),m=,n=f(2)，则p,m,n的大小关系为()・

A.p<m<nB.n<m<pC.m<p<nD.m<

n<p

【答案】C

【考点】利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】由题意知，/0)=三七，,(乃=三产=嚷

当x>0时，/(X)>0,即函数/(x)在区间(0,+叼上单调递增

e-1+e

=—=/(1)

v0<|<1<2,</(I)<f(2),BPm<p<n

故答案为：C

【分析】先利用导数证明函数/(%)在区间(0,+8)上单调递增，再结合单调性比较大小

即可。

6.已知双曲线的渐近线为y=±2x,且过点P(1,V3)，则该双曲线的标准方程为()

A/2_1By?/x2_x2

A•彳-y-11c0S~y2-1D025~

y2=1

【答案】D

【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质

【解析】【解答】由题意，设双曲线方程为4x2-y2=k,因为双曲线过点P(1,V3)，

所以4-3=k=l,

2

双曲线方程为4/—y2=i,即X__y2=1。

故答案为：D.

【分析】利用双曲线的渐近线为y=±2x,设双曲线方程为4x2-y2=/c,因为双曲

线过点P(1,V3)，再结合代入法，从而求出k的值，进而求出双曲线的方程，再转化为双

曲线的标准方程。

7.棱长均为3的三棱锥S-ABC,若空间一点P满足SP^=xSA+ySB+zSC(x4-y+

z=1),则函的最小值为()

A.V6B.匹C.，D.1

36

【答案】A

【考点】向量的模，棱锥的结构特征

【解析】【解答】由SP=xSA+ySB+zSC(x+y+z=1)，根据空间向量基本定理知,

P与A,B,C共面，

则|可|的最小值为三棱锥的高，

设。为S在面ZBC上的射影，由条件可得三棱锥S-ABC为正三棱锥，

连接CO并延长交AB于点H，则CHA.AB，

所以CH=竽，CO=百，

所以函的最小值为旧一(圾之=府

故答案为：A.

【分析】由SP=xS^44-ySB+zSC(x+y+z=1)，根据空间向量基本定理知，P与

A,B,C共面，则|可|的最小值为三棱锥的高，设。为S在面ABC上的射影,

由条件可得三棱锥S-ABC为正三棱锥，连接CO并延长交AB于点H，则CH1

AB,所以CH=岁，。0=北，再利用勾股定理求出函的最小值。

2

8.如果Pi,P2,Pn是抛物线C：y=2px(p>0)上的点，它们的横坐标依次

为修，久2，…，，点F是抛物线C的焦点.若巧+X2+…+马=10，岛用+氏2尸|+

-+\PnF\=10+n,则p等于()

A.2B.|3C.15D.4

【答案】A

【考点】抛物线的定义，抛物线的简单性质

【解析】【解答】抛物线C：y2=2Px(p>0)的准线为％=-§，

根据抛物线的定义可知，\PF1\=x1+l,\PF2\=x2+l,…，\PFn\=xn+l,

所以回尸1|+'见+…+|P玛ll=+刍+*2+岑+--1-xn+2'

所以10+71=%1+%2+…+尤/1+，

所以10+71=10+罢，所以p=2。

故答案为：A

【分析】利用抛物线C：y2=2Pxe>0)求出其准线方程为久=一刍，再根据抛物线

的定义可知|PFi|=与+刍，\PF2\=x2+l,…，|P耳|=今+,，所以山鼻|+

\PF2\+-+\PFn\=x1+l+x2+l+-+xn+l,再利用岛尸|+层尸1+・“+岛川

=10+n和％]+肛+…+xn=10,所以10+71=10+,从而求出p的值。

二、多选题

9.已知m,n是两条不重合的直线，a,B,丫是三个两两不重合的平面，则下列

命题正确的是()

A.若rnla,n_L0,a〃.,则m//nB.若a1y,01y,则a///?

C.若m//p,n//P,ua,则a〃/?D.若nua,n_L0,则a_L0

【答案】A,D

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判

定

【解析】【解答】解：对A：若？n_La,a〃0，则mJ.0,又nJ.0,所以m//n,

故正确；

对B：若aly,/?ly,则a与夕可能平行，也可能相交，故错误；

对C：若m//p,n//p,m,nua,由于没有强调？n与n相交，故不能推出a〃0,

故错误；

对D：若nua,nip,根据面面垂直的判定定理，可得aJ.夕，故正确.

故答案为：AD.

【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、面面平行的判定定理、面面垂直的判定

定理，从而选出正确命题的选项。

10.定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轨双曲线.以下

关于共聊双曲线的结论正确的是()

A.与—一=1(a>0,h>0)共朝的双曲线是彳——n=l(a>0,d>0)

yab

B.互为共规的双曲线渐近线不相同

C.互为共辄的双曲线的离心率为、e2则eie2>2

D.互为共貌的双曲线的4个焦点在同一圆上

【答案】C,D

【考点】双曲线的定义，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质

【解析】【解答】对于A选项，由共辄双曲线的定义可知，与||-4=l(a>0,h>0)共

舸的双曲线是**l(a>0,b>0),A不符合题意；

对于B选项，双曲线及一£=l(a>0,b>0)的渐近线方程为”士白,

双曲线£4=l(a>°，b>0)的渐近线方程为y=±^x，B不符合题意；

对于C选项，设c=Va2+b2，双曲线4-4=1的离心率为ei=5，

a"ba

双曲线力—1的离心率为e2=Z，

所以，的62=4=0咨=。+乌>2陌=2，当且仅当a=b时，等号成立，C

对；

对于D选项，设C=迎2+b2,双曲线4-4=1的焦点坐标为(±c，0)'

Qb

双曲线［一盘=1的焦点坐标为(0,土C)，这四个焦点都在圆x2+y2=c2上，D对.

故答案为：CD.

【分析】由共聊双曲线的定义可知，与当一¥=l(a>0,b>0)共轲的双曲线是4-

^|=l(a>0,h>0)；利用双曲线标准方程为最一、=l(a>0,b>0),从而确定焦

点的位置，进而求出双曲线的渐近线方程为y=,因为双曲线标准方程为m-马=

)一a『a'

l(a>0,b>0),从而确定焦点的位置，进而求出双曲线的渐近线方程为y=±1为；从

而推出互为共粗的双曲线渐近线相同；利用双曲线中a,b,c三者的关系式，设。=

Va2+b2，再利用双曲线的离心率公式求出双曲线最一卷=1的离心率为ei和双

=1

曲线4-4的离心率为e2=r.再结合均值不等式求最值的方法，所以0送2=

bQ乙0

22

cj=b+a=ba>2,利用双曲线中a,b,c三者的关系式，设c=病彳9，再利

ababab~

用双曲线标准方程为4-4=i，从而求出焦点的位置，进而求出焦点坐标为（土c,o），

ab

再利用双曲线标准方程为彳-多=1,从而求出焦点的位置，进而求出焦点坐标为

b衣

（0,±c）,这四个焦点都在圆x2+y2=c2上，从而找出结论正确的选项。

11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A^C^中，点P在线段BCi上运动，则下列

判断中正确的是（）

A.三棱锥A-%PC的体积是

B.DP〃平面ABiA

C.平面PB[D与平面ACD1所成的二面角为60°

D.异面直线A.P与ADX所成角的范围是碍

【答案】A,B

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，与二

面角有关的立体几何综合题

【解析】【解答】对于A：因为C到平面AD.P的距离不变，为CBi的一半，等于当,

△ADXP的面积不变，且S&皿p=|x\ADX\X\AB\=|XV2X1=y

所以三棱锥的体积不变，

根据等体积法可得1Pc=心应P="SA皿px曰=：,A符合题意；

对于B：连接DB,DP,4名,81。1,因为正方体ABC。,

所以BD“B[Di，BDu平面DBP,

BRC平面DBP,所以B】Di〃平面DBP,

同理AD、”平面DBP,BiQC4D1=%,

所以平面ADRI/平面DBP，又DPu平面DBP,

所以DP//平面AB.D,,B符合题意.

对于C：因为4clBD,BB1LAC,BB1CBD=B,

所以AC1平面BDB],所以ACLDB1,

同理也1DB^ADrOAC=A,

所以DB11平面AC。1，

所以平面PB.D1平面AC。1，C不符合题意；

对于D：因为AD\“BC\,

所以异面直线4P与AD1所成角等于4P与BQ所成的角，

因为A.lB=A1C1,当P与BG两端点重合时，

A.P与BC、所成的角最小，且为g,

当P位于BG中点时，A.P与SC1所成角最大，且为三，

所以异面直线4P与AD.所成角的范围是碎为，D不符合题意.

故答案为：AB.

【分析】利用等体积法，求出以-%PC=%-4D|P=3，即可得判断出选项A正确：利

用面面平行的判定定理，可证平面平面AD\B[〃平面DBP,再由BD〃Bi£)i，BDu平

面DBP,即可判断出选项B正确；根据面面垂直的判定定理，可证平平面PBiDl平

面AC。1，可判断出选项C错误；由已知条件分析可得点P位于BG两端点时，&P与

BG所成的角最小，P位于Bq中点时，&P与BC]所成角最大，即可判断出选项D错误,

由此即可得答案.

12.已知函数/(x)=e^lsinx,则下列结论正确的是()

A.f(x)是以2兀为周期的函数B.7(%)是奇函数

C./(x)在(一与手)上为增函数D./(%)在(―10兀,10兀)内有20个极值

点

【答案】B,C,D

【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，函数的周期性，函数在某点取得极

值的条件

【解析】【解答】对于A选项：/(x+2兀)=elx+2msin(x+2兀)=elx+2“lsin%羊/(x))

所以函数/(%)不是周期为2兀的函数，A不符合题意；

对于B选项：/(%)的定义域为R,/(—x)=el-xlsin(—%)=—e^lsinx=­/(x)，

所以函数/(%)是奇函数，B符合题意；

7T-z/-x

对于C选项：当xe(-4-0)时，/W=esinx,//(%)=e(cosx-sinx)>0，

所以函数f(x)在(一今,0)单调递增，

xx

当xe(0,当)时，/(x)=esinx，/(x)=e(sinx+cosx)>0，所以函数/(久)在

(0,半)单调递增，

所以函数/(%)在(一左，苧)上为增函数，C符合题意；

对于D选项：当久e[0,10兀)时，/(x)=ezsinx，f(x)=ex(sinx+cosx)，令

，TT

f(x)=ez(sinx+cosx)=0，得X=一彳+々兀(卜=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10),

当xG(―IOTT,0)时，/(x)=e-xsinx,f(x)=e-*(cosx—sinx)，令f(x)=

6~x(^cosx-sinx)=0,得久=4+kn(k=-1,—2,—3,—4,—5,—6,—7,—8,-9,—10),

所以在(-10兀,10兀)，使导函数/(%)=0的点有20个，且这20个点是变号零点，所

以函数/(%)在(-107T,107T)内有20个极值点，D符合题意.

故答案为：BCD.

x+27r

【分析】利用f(x+2兀)=/x+2msin(x+2兀)=ellsinxHf(x)，再利用周期函数的

定义，所以函数/(%)不是周期为27r的函数；利用奇函数的定义判断函数为奇函数；利

用增函数的定义，从而判断函数为增函数；利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函

数的极值点，从而推出函数/(%)在(-10兀,10兀)内有20个极值点，从而找出结论正确

的选项。

三、填空题

13.命题“mx>0,3x-1<0"的否定是—.

【答案】Vx>0,3x-1>0

【考点】命题的否定

【解析】【解答】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以命题“三%>0,3x-1<0"的否定是"Vx>0,3%-1>0

故答案为：Vx>0,3x-1>0»

【分析】利用已知条件结合命题与命题的否定的关系，再结合全称命题与特称命题互为否

定的关系，从而写出命题的否定。

14.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数，则z=.

【答案】-2i

【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】设z—ccir则(z+2)2—8i=(出+2)之—81=4-。？+(4a—8)i

是纯虚数，则4-a?=0,4a—870,1■.a=-2=z=-2i«

【分析】利用复数Z是纯虚数，设2=21,从而得出复数(Z+2)2的的代数形式，再利用复数

(z+2)2⑻是纯虚数的判断方法，从而求出a的值，进而求出复数z。

15挝点(0,1)的直线与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则\AB\的最小值为一.

【答案】2V3

【考点】点到直线的距离公式，直线与圆相交的性质

【解析】【解答】记（0,1）点为C,圆半径为2,\OC\=1,当。C_L时，圆心。

到直线AB的距离最大为1.\AB\最小，此时\AB\=2V22-I2=2V3。

故答案为：2V50

【分析】记（0,1）为点C,圆半径为2,\OC\=1,当OC1AB时，再利用点到直

线的距离公式，得出圆心。到直线AB的距离最大为1,\AB\最小，再利用弦长公式得

出此时\AB\的最小值。

16.如图，在直三棱柱4BC-4B1C1中，ZBAC=90°,AB=AC=AAr=1,己知

G和E分别为和CG的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包

括端点），若DGJ.EF,则线段DF长度的取值范围为.

【答案】［9,1）

【考点】点、线、面间的距离计算

【解析】【解答】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系,

1-I

则71(0,0,0),,G(p0,l),F(x,0,0),D(0,y,0),

由于GD1EF,贝lj而.丽=0,所以%+2y-1=0,

所以DF={x,-y,0)=(-2y+1,-y)，

所以I而I=42+y2+02=J5y2_4y+1=J5(y-|)2+1,

当y=|时，线段。F长度的最小值是3,

当y=0时，线段DF长度的最大值是1,

而不包括端点，故y=0不能取；

故答案为：［?,1).

【分析】建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量DG,EF,利用GDLEF

求得关系式，写出|9|的表达式，然后利用二次函数求最值即可.

四、解答题

17.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,并且经过点4(1,一2).

(1).求抛物线C的方程；

(2).过原点0作倾斜角为45。的直线/交抛物线C于M,N两点，求4FMN的

面积.

【答案】(1)把点71(1,-2)代入抛物线C-.y2=2Px(p>0),

可得(-2)2=2P，解得p=2

所以抛物线C的方程为C:y=4x

(2)抛物线的焦点为尸(1,0),过原点0作倾斜角为45。的直线I方程为y=x

联立f

-y=2x

%=0%=4

解得(或｛

-y=0-y=4

不妨设M(0,0),N(4,4).

则AFMN的面积为S=^\MF\-\yN\=|xlx4=2,

所以所求4FMN的面积为2.

【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)利用抛物线C:y2=2px(p>0)经过点火1,一2)结合代入法求

出P的值，进而求出抛物线的标准方程。

(2)利用抛物线的标准方程确定焦点的位置，从而求出焦点F的坐标，再利用直线的倾斜

角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率，再利用点斜式求出过原点0作倾斜角为

45。的直线I方程，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程求出交点坐标，再利用三角形

的面积公式，从而求出三角形△FMN的面积。

18.己知空间三点71(0,2,3)，6(-2,1,6),C(l,-1,5).

(1).求&ABC的面积；

⑵.若向量CD//AB，且|而|=V21，求向量CD的坐标.

【答案】(1)设向量AB，AC的夹角为3,

由已知荏=(一2,—1,3)，前=(1,-3,2)，

\AB\=J(-2)2+(-1)2+32=V14，\AC\=V(l)2+(-3)2+22=V14,

=而.而=(-2)xl+(—l)x(-3)+3x2=1

一|通||而|一714x714-2'

7T

0<0<71,0=3，

,,S2ABe=2•sin。=2xV14xV14xV3,

(2)1••CD//AB，CD=AAB，4€R,

|CD|=V21>即|4|而|=闻，即H=乎，

而=±苧•通=±坐(-2,—1,3)，

即4=(一花一苧，竽)，或0=(西坐,一耍).

【考点】向量的模，平面向量共线(平行)的坐标表示，数量积表示两个向量的夹角，三角

形中的几何计算

【解析】【分析】(1)设向量AB，AC的夹角为6,利用向量的坐标表示结合已知

条件得出AB=(-2,-1,3)，XC=(1,-3,2)，再利用向量的模的坐标表示求出=

旧和|晶|=04，再利用数量积求向量夹角的公式，从而求出cos。=/，再利用向

量的夹角的取值范围，从而求出两向量的夹角,再利用三角形的面积公式，从而求

出三角形AABC的面积。

(2)因为而〃说,再利用向量共线定理得出CD^AAB，A&R,因为|而|=

y［21，从而求出阳=苧，再利用向量的坐标运算得出向量CD的坐标。

19.已知函数/(x)=—%3+3%2+9%4-a.

(1).当a=-2时，求/(x)在x=2处的切线方程；

(2).若/(%)在区间［-2,2］上的极小值为一5,求它在该区间上的最大值.

【答案】⑴/'(%)=_3d+6%+9，切线的斜率为/'(2)=9,/(2)=20，

f(x)在x=2处的切线方程为y—20=9(x—2),即9%—y+2=0.

（2）令/'（X）=-3X2+6X+9=0-得X=3（舍去）或x=-1.

列表如下：

X-2（-2,-1）-1（T，2）2

/(X)——0+

a+2a—57a+22

由上表/(%)在区间［-2,2］上的极小值为a—5=—5,得a=0.

/(%)在区间［—2,2］上的最大值为a+22=22.

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数

的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】(1)利用a的值求出函数的解析式，再利用求导的方法求出函数在切点

处的切线的斜率，再利用切点的横坐标结合代入法求出切点的纵坐标，进而求出切点坐标，

再利用点斜式求出函数在切点处的切线的方程。

(2)利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极小值，再利用已知条件函数

/(x)在区间［-2,2］上的极小值为-5,从而求出a的值，进而求出函数的解析式，再

利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数在给定区间上的最大值。

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是菱形，ZABC=

60°.点E,F分别在棱BC,P。上，且屁=2EC，PF=2FD.

（1）.证明：EF//平面PAB；

（2）.若PA=V2AB，求二面角B-PC-D的余弦值.

【答案】⑴证明：在PA上取点G,使同=，连结BG,FG.

一opn-PF_PG_2

,=2F0,--PD=PA=3'

由平行线分线段成比例定理逆定理，

GF//AD且GF=^AD.

=2EC，且ABCD是菱形，

•••BE//AD且BE=^AD.

BE//GF且BE=GF，,BEFG是平行四边形，

EF//BG，又EFC平面PAB,BGu平面PAB,

EF//平面PAB.

（2）解：丫ABCD是菱形，ZABC=60°,

.4ABC为等边三角形，取BC中点H,连结AH,则AH1BC.

-PA1平面ABCD,分别以AH,AD,4P为x,y,z轴建立空间直角坐标

p

设AB=2,则B(V3,-l,0),C(V3,1,0)，£>(0,2,0),P(0,0,22)，

•••BC=(0,2,0)，PC=(V3,1,-2V2),CD=(-V3,1,0).

设平面PBC的法向量为n=y(xi，yrzi),

由cn'PC=°即rV3%i+一2&Z[=0,

^n-BC=0I2yl=0

令=2鱼，得元=(2V2,0,V3).

设平面PCD的法向量为m=(x2,y2,Z2)，

,m-PC=0nrlrV3x2+y-2y[2z2=0

由f，即f「，

m-CD=0+y-0

--\[3X22

令％2=2,得沅=(2,2V3,V6).

设二面角B-PC-D的大小为e,由图可知e为钝角，

元而_4V2+0+3V27

cos0=—|cos(n,7n)|

同师I――-yilx/2211,

二二面角B-PC-D的余弦值为一£.

【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角

【解析】【分析】（1）在PA上取点G，使方=257，连结BG,FG.因为方=

2FD，再利用两向量共线即平行，从而推出两直线平行对应边成比例，所以焉=笥=|，

由平行线分线段成比例定理逆定理，则GF〃AD且GF=|z。，因为丽=2配且

ABCD是菱形，所以BE///。且BE=^AD，所以BE//GF且BE=GF,所以BEFG

是平行四边形，所以EF〃BG,再利用线线平行推出线面平行，从而证出直线EF//平面

PAB.

（2）因为ABCD是菱形，所以NZBC=60°,所以三角形a/BC为等边三角形，取

BC中点H,连结AH,则AH1BC,因为PA1平面ABCD,分别以AH,AD,

AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示

求出向量的坐标，再结合已知条件和数量积求向量夹角公式，从而结合角e为钝角和诱导

公式求出二面角B-PC-D的余弦值。

21.椭圆E与焦+*=1有共同的焦点，且经过点力（1,一|）

（1）.求椭圆E的标准方程和离心率；

(2).设F为E的左焦点，M为椭圆E上任意一点，求丽•丽的最大值.

【答案】(1)由焦+*=1，可得c=l，

设椭圆E的标准方程：^|+4=i，且经过点4(1,一务.

222

a=c+b2

次+*=1%=3

所以椭圆E的标准方程：1+^=1，

43

(2)由(1)可知：(+[=1，F(—1,0),

设M(2cost,V3sint),(t为参数)，

则

OM=(2cost,V3sint)，FM=(2cost4-1,V3sint),

所以OM•FM=4cos2t+2cost+3sin2t=cos2t+2cost+3

=(cost+1)2+2,(—1<cost<1)

当cost=1时，取得最大值，即丽•前的最大值为6.

【考点】数量积的坐标表达式，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质

【解析】【分析】(1)由椭圆的标准方程唾+E=1确定焦点的位置，从而求出焦点

的坐标，进而求出c的值，再利用椭圆E与《+聋=1有共同的焦点，从而求出椭圆E

的焦点坐标，进而求出椭圆E中c的值，再利用椭圆E经过点4(1,-1)结合代入法求出a,b

的关系式，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而求出a,b的值，进而求出椭圆的标准方

程，再结合椭圆的离心率公式，从而求出椭圆E的离心率。

(2)由(1)可知椭圆E的标准方程为：予+专=/从而确定焦点的位置，进而求

出焦点的坐标，所以F(-l,0)，利用点M为椭圆E上任意一点，设M(2cost,V3sint),(t

为参数)，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合二次函数

图象求最值的方法，从而求出当cost=1时，丽.前取得最大值，从而求出