2022-2023学年北京市重点中学高二（上）期末数学试卷及答案解析

2022・2023学年北京市重点中学高二(上)期末数学试卷

单选题(本大超共10小se.共40.。分.在⑨小匈刊出的选项中.送出符合题目的一项)

I.已知向HW■(-1.2,1),b-(3,x.y).Ila//K-理么xyF)

A.-18B.9C.-9D.18

2.已知。为阴点,点4(2,-2).以OA为点枝的|⑷的力程为(,

A.(x-1/+0+1)2=2B.(x-l)a4-(y+I)1=8

C.(x+I)1+(y-I)2=2D-(x+1尸+(y-1/=8

3.Ll知“曲线把-/=1的渐近线方程为上:x・则实数m的值为<>

A.74B4C.-4D.-74

4.为她初找尸=2Px(p>0)的供联与确收3+?=】的一个便点曳合♦明修据物找的小栈

方程刈>

A.x»-1Bx=1C.x»2D.x=-2

S.已知m以过百供-3」)，H^Httx-2y+3=0#a.虹口面的•般式方探刈)

A.2x+y+3=0B2x+y+S=0C.2x+y-1=0l>.Zx+y-2=0

6.布达仪斯的伊帕初堆泽蒂博物馆收栽的达•芬金方K，住正六边形I讪了H有初竟效果的

正方体图案(如图1),把一：片这样的大♦芬奇方味形成图2的组合,这个双合我达了图3所示的

几何体,如图3中旬个正方体的校长为1.则.，'演到平面QGC的"国是(>

C1*1地与内所成地的他闱为G，：)

D.二lfiift|E-4j8j-A的大小为:

8.设(%)是竹项为正数的替比数网.公比为必则”q<0”是”对正整数%。2"-1>。和

的<>

A.充分不必要条什B.必要不充分条件

C.先要条件D.因不充分也不必要条件

9.已知同的方程为小+^・而+15=0.若曲。=匕+2上至少存在一点,使用以该点

为收心.华祖为1的削匕川C*公共点，则攵的城小位，也!

10已如此段C：r|x|+4y2=4.点F(b.0).卜面AW%始：

①曲线C关于x轴用你।

②曲线C'jy轴用成的封闭图形的面积小也过4：

③曲找C上任意点P满足|PF|N2-S

，④曲线C与曲战”-2y-2)(x+2y-2)=。有5个不同的交点.

则其中所有正确结论的序号是()

A.®@)B®<3)C.0®④D.①®@

二.填空题《本大题共S小题,共2S.0分)

II.己知等比数列｛%｝中.％=1,a2a3=27,则故列｛6］的前5项和5,=.

12.已如网G(x-1尸+0+1)2=4.若直统y=匕+1。於C相交得到的弦长为2、与则

13.已知椭崂+*=1(0。V3)的两个小点”1为小F2.虹率样..*P在痈电匕

若的•回用=0,则△PF*用的面枚为.

14.已知正方体的48。。-必％6。1核长为2,点“，N分别

足校8C、C也的中点..&P在平而48£。】内.十Q在线凡M“

上，&PM=VM,KVQ长度的显小值为

15.角谷肺患乂标冰再知想.，是指任取个正祭段.如果它是奇数.贰杵它乘以3百加h如

果它是偶故,增格它除以2.反以进h-L述两肿i&算.经过"限次步骤£；.必近人荷环怅1r4r

2TI.如取正整数m■6.根据上述运算法则捋出6r3r10f5rl6r8r4f2Tl.

共需要经过8个步獴变成】（荷例为8步••位程・）,已知数列（。.）满足与=m（m为工整数），

』,♦%为偶故时

，｛3品+1.当心为曲数时.

①若m=13,则使得%=1至少需要巾遵程：

②若典=h则m所行可靠取值的和为.

三'解答题（本大慧共6小融，共8S.0分.解答应写出文字说明.证昭过程或演算至四》

16.（木小麴13。分）

己却公差不为零的等井6（列SG的05项和为工，？；$«）=110,115,矶,a,成等化数列.

（I怵数列｛/｝的通项公内

（II）次数列他J滴足%=而益777r若议列UU的n项WTn・

17.（本小IS14.0分）

tore.在正方体48CD-481Goi中.E为DD1的中森.

（I）求证:8劣〃平面AC£：

（口）求a税43」平面ACE所或fll的正弦值.

18.（木小BB14Q分）

年图,在三校彬IBC-A/iG中.A4—底面48C,AA8C是边长为2的正三的形,AAX=3,

0-E分别为48・8c的中点.

（1）求证tCDiTni4Xi^B：

（2）求.而例8-4E-%的余弦值.

19.(本小题15。分)

已知腌网a-1(。＞b＞0)的离心率为小H经过点(-1,-%

(】)求愉圜c的标准方隹।

(2)过点(1,0)作在收［♦何山相交f48雨点・试问在x轴上是否〃:在定点。使的曲条不同口

线QA.Q8恰好关「》依时称.《存在，求出点Q的坐标.若不存在,请说明理由.

20.(本小题15.0分)

已如他物线£,x2=2py(p＞0)的你点为心4(2,%)是£上一力，11|河|=2.

(1)求E的方理；

(2)设立B是上异于点4的点.R战/1B与A线y=x-3交于点P.过点P作x轴的6统交£T

点用,证明।lS，£8M过定点.

21.(木小题140分)

已知有跟数列4at.a2,■­；%,为单调递增数列.若存在等左教列8：b2.-.b…对

于A中任用项外,梅书瓦£a1Vb则称数列A丛长为m的。数列.

(I)判断(则败列是否为。散刊(为按写出结果》1

①数列I.4.5.8：

②数列Z,4.8.16.

(11)若＜1＜6＜或%瓦＜*£；?).证明：数列a.b.C为。位则；

(ID)4M足朱合｛x©N|0WXW63｝的/集，且至少628个元士,证孙口中的元素可乐构成

一个长为4的。数列.

答案和解析

m案】D

【阴析】解；因为向F=(3,K,y).n.a//b，

所以4=：=/WWx=-6,y=-3.

所以xy=-6x(-3)=18.

血&D.

根神空同向缸的共找定再列方程求;llx.y的值，再ilOxy.

本港老在J’空网向炫的共找定理应用向胭，是端出

21二案1A

【阴析】蛇。为原点，点42.-2).

M|04|=J(0-2*+(0+2)2=2^2.04的中点坐标为(1.一1).

故以OA为我樟的网的方程为(x-1产+(y+1)，=2.

故造rA.

先求出脚心与芈沱,即可求解.

本践主要芍食圈的标准方程的求解，国于眺砒腮.

3.【二案】3

【以析】W：由双曲城4-y?=1的渐近段方程为y=土;x.

•••m>0.a・|,解樽m工4,

故造，B.

由双曲好-/=1的渐近段方程为>=±),可用m>0,京，.解得m.

本鹿考仅了“曲线的标准方和及其性侦.4m•批理能力。计算能力,见于艇础做.

4.【答禀1D

(M朽｝解：、♦帏映£+[=1的右处点W标>9(2,0).

•••抛物找的侬点生标为(2,。),

二拍物找的准线方榕为x,-2.

故加D.

先求出必问的线点坐标即是地物线的供点坐标.即可求出准线力用.

本省电道/他物税的标准方程及其性成.是坐碇甩.

5m】B

［解析1帼直线，qRttx-2y+3=0垂直，

则q设a,划为2*+y+*=o,

•-•宜加过点4(TJ).

.-.2x(-3)+1+k=0.WW*=5.

A2x+y+5=0.

故选：R.

根据已知条件，结合白线垂自的性序，即可求解.

本题主要当2FF［线垂］的性质,属于基碑聘.

6.【售军】C

【嘛机】解：建立空间直的坐标索如图.

WM(l.l,O).C(0.2.O),6(0,0,2).<2(l,O,2).

CQ=(1.0.0)-GC=(0,2,-2).CX=(1,-1,O).

设平面QGC的个法向就为方=(x.y.z).

dl仁'£9一"=".取z=1.t9n-(0.1,1人

二直4到平面QGC的距离是噜=巳吗**口=4

故选：c.

由星意建”.空间口角坐标系,求出平iwc。的一法向V,再由点/面的即寓公式京评.

本题与置史间中点、SL而间的即黑计肆.专责空网向改的应用.多作道口求能能力,是中竹聘.

71辞率1c

【储机1懈时f/・因为平ICO0Q〃不而

D/uTnfiCOOiG，

喇。国〃平面6B18A,

故选项人正坳：

建“空同PLM坐标系如用所示，

设正方体的极K为1,

HJW(I.O,O).fljd.l.l).P＞(0.0.1).Xt(1.0.1).«F(O.m.O).

0＜mS1.

所以的»(1.1-m.1).丽=(-1.0.1).

因为西•丽=-1+0+1=0.

明西1.福.即时，初1・

故造或8正喻：

对于C,荏=(T,m,0),硒=(-1,-1,0),

设置?必£与瓦5所成角为^

所以lew＜而.瓦瓦＞।=i号胃

当m=。时.COS8最＞；(ft%*.剜。的最小tfi为:.

力m=】时，S5"t小值为0,则。的蒙大tfi埸.

故选项C情设；

对TD,二面角£一4匕一A即一面角0--A,

因为。4以岛,44,4出,。4uY而EA/i，M«：4面AX&

所以乙CM*即为二面角。-4/1-4的平面角•

在正方形人。。/1中，△)//=：,

故二面用E-4E-4的大小为:.

故选球。正啾

故选；C.

利用面面乎行的性版，即可刊厮选项人，建业合适的空间内用坐标系.求出旷论点的⑴忻m向贵

的坐标，利用向以垂直的充要条fl・即可利斯选项从料用找血角的it算公式,即可判断遣项C

由二面角的定义.回到二面角6-/片一/的大小局.邺可叉厮选项D.

本里考查了直体几何的统合应用,涉及r线面垂直的判定定理和面面垂直的划定定理的WM1.在

求斛仃关空同向向图的时候，般仝理立台话的空何n/n*虾条，将吧同向M8«化为空间问卜

向JK进行研究.宜不中科题.

8.【笞案】4

['WVJ解：--«ZH-I>a2n-•■-ai«?2n~2>a,92"-1--'-q)>0.

va1>0.qin"i>0..,.I-q>0.1'.q<1.

V(-00.0)6(-06,1).

,•,9<：0为1<1的充分小心要箓件.

即q<0是时任意的正集数n,。2“7>出”的充分不必要条件.

故送；A.

根掘等比数列的性质以及充分条竹和必要条件的定义进行判断即可.

本城主妾野杳充分条件和必拄条件的判断，根据等比数列的性域和公武是解决本IS的关谜.

9.【芥集】A

【的析】解；TISIC的方怩为小+/一以+15=0,

二整理丙：5-4)?+必=1..•.圆G为C(4,0),半径r=L

又•••比戏y=kx+2上至少存在?..使用以该点为圆心.1为米设的冏叮MC有公共

•:点C到直线y=fcx+2的H，离小于或等于2,

品七』2

网,

化筒制：3k2+4k<0,解之用A40.•••*的G小值是一；.

•i，

故选：A.

圆C的忖心为C(4.0).TJ4r=l.从而擀到点C到口妓y=kx+2的距隅小/或等于2.由此能来

出&的■小值.

本通号令实数值的R小值的东.’4福思.解飘时要虬：1姐门线

周运用.

10.［^：KJD

【附。】解：3大之0时.曲技。方81可化为，1+

y3=1.(xNO)，丧示部分册Wh

当XV。时.曲找C方只可化为：y2-3=L(*<

0).我小部分立曲雄.

作出曲AEC的图形.如图所示，

对①，由图可知।曲线C关于x轴N称,.•.①正痴：

对②，市图可知：曲找C与y轴用或的时用图形的

面枳显然小于2x2=4,.••②正确；

对③，；•「为桶阈的住点，且国掰中a=2・b=l.C=V3.

.•.由椭圆的几何性随及双曲线的几何性域可料：俨丹2«1-《=2-口，，.(3)正确：

时④，如困，由电笈可得11线x-2y-2=0'itttEx+2丁-2=0。双曲歧分密初十(0,—1),(0,1),

“网也找都过(2Q)..一曲线C。曲线O-2y-2Mx+2y-2)■。仃3小不同的交。.工④tft^L

故选：D.

先分类讨怆化荷曲找c的方程,再根据桶圜,j双曲线的儿网性Wj,欺形结合即可分别求琳.

本18考查分类讨论思想.桶画3版的微的几何性质.化仃牯化更起.战髭靖合思想.除中杵IS.

II.(121

【解析】

［分析］

本携号查等比数列的通项公式及求和公式.M十基础也.

假罪腿SJ.改等比数列｛七｝的公比为Q.由芬比数列的通项公式可用gxqz=27,即g，=27,第

司件q=3.进而由等比数泉I的前n项和公式计算可存答案.

t解答】

解：根据题也，设等比数列的公I匕为q,

1

XHlflt=1.a2a3=27,则有qx«2=27,CTg=27.If可符q=3.

则数列“｝的的54汨5==程匚=121.

故备案为；121.

12.【谷案】一；

[]W；iliWIC.(x-I)2+(y♦L)2-4.阻网心*ftr-2.

则版心C(L-l)到直线y=kx+】即心-y+1=0的即离为.=箕：，

•■•(JJ^7)2+^X2⑶'=4.超也■

故?J柒为：—J.

根据网的标准力秆求出碱Q42标和平隹,利用它到内段的距离公式，利用弦长的一半,冏心利白

线的即离与圈的半径的关原列出关于次的方程，解之即可.

本即考an践，圆相交的茏长问题,考位运。求解货力，国联批册.

13.【得案】3

【M折1解：由桶阳的方狎回徨保点任上轴上.国心腥=八_,=争M得产=3,

所以励町的方程为，£+[=1,所以不=9-3=6,

因为M•丽=0,所以P居1%.

姗呜吗"上同工

2z

由怖in的定义可得(|PFJ+|PFJ)2—2|PF||-\PF2\=IFiFjl=4<.

W2PFJ|PFZ|-4az_4cz=4fcz,

所以伊后|♦伊凡|=2b，=6.

所以5"々与=+IP&I•IPFzl=x6=3・

故铮案为，3.

由确附的方程及离心率可得小的值,可由数M积为.nf^PF,1PFt,由精画的定义和句取定理可

用IP&I田81的俏,代入角形的面枳公式.u|&APF/z的面枳.

本18%位怫圈的性质的应用及数II枳的运算性质的应用.&于M就题.

14.1•】

t分析】

本世与行线段长的见小值的求法，弓有中间中线线,线向，向而间的位置美系等林的川丘与？f

推理i2证他力.注羽求”能力.空间忠象佳力,学点化打。M化思忠.敬形络合出也.福尸中白

地.

以81cl中点0.则M01而Ai%G〃，DM。±OP.可椁GPA以。为朋心,以I为f杵的位3T面

%兄口2内的半圆上.门。到&N的邪离N公平柠即为PQ长度的最小值，作0〃，4N于“，可用

0H,。。长度的最小树为OH-1.

【解答】

W.如图.取8£i中点0,且“为RC中点，

则的oif加4。£1。1.且OPU平iki4%G。*,

3MO1OP.

•••PM=百，则0P=J(6)2-2】=1•

.•,小夕在以。力Wl心.以1为半径的位于平面4出口。1内的半向h.

可得。到&N的距离城去半汴即为P。长吱的最小位，

WCHlAtNTH-

-A40丹的面积为2x2-^x2xlx2-|xlx1=|,

.-.|A1jVxOW=1.可丽"黑》Q长慢的最小值为竽-1.

故拌窠为：管-I.

15.【答案】9385

【摒标】解；m=13.依S3也，3m+l=40-*20-10-5116T8-4-2T1・

M共步用h

%的集介^（256,42.40,6.32,5.4）.其和为385：

故备案为：9,385.

根据题目所给的步例逐步计算即可.

本途写作数列的靴定义.与fit学生的运筹饶力.属「中内也.

―解析，⑴由■如，嚣*M｛露2；U■D

解封4=d=2,

故数列%=2n：

（口）由（1）可输4=37；3f=；（白-白），

次严据一＞上＞”•+（击-太川

=如一讲=就一

【班机】本题考专数时的班项与求和,学有我顼相消法.注息解甥方法的枳H于不砒图.

（I）通过首项和公弟去求出"。・a,.a2.a4,进而利用条件联近方程组.计算即可：

（口）通过”）的结论，利用裂项相济法即可求和.

17【谷窠】（1）证明，连接8D知C于点于在接。£.

在正方形H8CD中,0R=0D.

因为£为的中加

所以OE〃卬71

因为中而ACE.0£u平面ACS,

所以8。//平而4CE.

（n）w：不妨12正方体的根K为2,建立如图所示的不间应用生标系4-xyz.

WM（O.O,O）.C（2,2,O）,。（02。）・£（OZ1）.

所以而=(0,2,0).AC=(2,2.0).7E=(0,2.1).

设平面AC/f的法向/为而=(x,y.z),

所吧覆*度:也。嘘:苞

令y=-1»ftlx=1.z=2,

于是JT=(1,-1,2).

设直线AD»j'FihMCFWi成角M.

帆的-|co”机醐=瑞=短=y.

所以直战4。与甲『MCE所或用的正弦的为、.

【解析】本遨考直直检与千面平行的列定定理的应用,直线与

平面所成的的向盘求法.学fit空M忠象能力.精化想想以及计

算能力,是中档题.

(I)建按B0次千点0,连接£)£.济则。£〃85,然后证明

8。"平面HCE.

(H)不妨设正方体的校长为2.建上空间H用坐标能4-xyz.家电磬曲的法向量,樽用空间向

1%的故证枳求解直线初。T面心所成角的正弦(ft呷可.

18.【答案】Mb(1)证明：在检柱UC-ABV冲,因

为AAiL底面同BGCDU平面4BC,

所以ICC.又6/HC为等边角形，》加18的中汽.所

i'JLCD1AD.

因为ADCAA]=4.AD.AAi£平lEMAiBi/t

所以CO,平面/1/1田田

(2)杼：取4B,中点E4铝OF,则因为D,F分别为48,4瓦的中点,

所以"1.H艮由(D知CDJM8,CD1DF,如图建立空网口角坐•标拆D-xyz，

由遨恿科8(-100).CCO.O.5/3).4(130).B,(-1,3,0).G(0,3.b>

0(0,0,0),£(-1.0,y).而=(T，0,分AB；=(-2.3,0).

设千面AB/的法向&ii=(4》/).X^w(-|,0,y).ABi=(-2.3,0).

则小子受=°.令x=l.则万=(以,商

(n•A8；,-2x♦3y・0

平面B4£法向加京■(0.3.0).

因为8S4标出＞=豁(=%

山鹿愚颊一面角8-AE-瓦为脱角,所以它的余弦值为曙.

【解秋】东1B专立段面垂且的证明,考查二囱角的余弦位的求法，等fi空间中饯饯'城面、面向

间的位置关系等基础知识，与杳运算求解能力•是中档网.

(1)推导出/Mi±CD.CD140.山此筱i：明C。1.牛饱人a&8.

(2)取人片中点F,连钻DF.则。F1.A8.由C。1A/LCD1OF.建，空间口角坐标索P-ryz,

利用向量法健求出.而角8-AE-%的余弦值.

19.【咨案】M(1)由卷意.

a~2

M=t>2+c2>=、行.

口十.一~

・•琳网C的标；ft方科为苧+f=h

(2)在x地上假设住住点。，使用Q4QB恰好关于x

轴对称.

设4（孙力），B-

再设atv：x=my4-1.

联立媒::;-12=0,做4+3m2）y2+6my-9=0.

则八+〃=-$,力力=一曰，

+kQB*°*可句;f=+*7=0・

H|Jyi（my2+1-f），力（巾刈+1-t>=0.

Ujftj2mM力+（1T）3i+R=0・

则2m（一』）+a-0（-鼻）=0,Wt-4.

故在x轴卜是”f“上定＜'(?(4.0).使对曲某小1"＜1口线Qd.Q8恰HXJx«l对称.

【解析】⑴由题急升其泄方程姐.求解a.b.c的值,则林阈方算“J求：

(2)仲xWl上锻设存在京6便用QA,。8恰好夫于“轴对称，设B(x3,yt),再设出SU；

x=my+l.Q(i,O),联立H/力脚方W.化为关乎y的一五二次方弗,利用根勺系数的关

系结合+%«=。列式求解t得皓论.

本题与在，阕方程的求也，考介包伐。椭改位五关系的应用•再介遇。求解除力.体现/“设心

不求”的螂融息想方钱.是中档题.

20.【“渠】(l)#h根楙题诙.如.4・2副,小①一--------------------------a分)

闪为l"i=z,w«yo+f=2.（2）.（2分）

联立①的%=1,p=2.........M4分）

£|I*JF-i4y^«>M.......(S夕j)

(2)证明，改由孙力).M(%x).由题或可设n线BM的方程为，=Ax+b.代入/=4y.为M-

4kx-4b=0.

的根。系数的关系.得々+町=4丸与小=-46.③.................................《6分)

由M。J.*雅及点P在直线y=x-3h.RP(X2.X2-3).

WdlllX.P-u:点丈线.得吉^=k'拎。..--..(8分)

整理，舟(k-t>iX2-(Z*-g+s+1泣2-2b-6=0.

将6)代入上式并整理.N(2-&)(2k+b-3)=

»•«•・••••・・・••••・・•・・••・••・••«•・・•«••••••••••••・••«••«••••••・»•«•••・・••••・••(1/)

由点B的任点性.用2A+b-3=O・ffilly=kx+3-2*=k(x-2)+3.

UP直线BM恒过定£a(23)...............................................................一一...(12分)

【耳什】⑴根