精讲精炼（选择性必修第二册）4 .1 数列的概念

4.1数列的概念（精练）

【题组一数列的定义辨析】

1.（2021•全国高二专题练习）下列说法正确的是（）

A.数列1,3,5,7与数集｛1,3,5,7｝是一样的

B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的

C.数列［1+工］是递增数列

2.（2021•全国高二课时练习）下列说法错误的是（）

A.递推公式也是数列的一种表示方法

B.ai=l（〃22）是递推公式

C.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法

D.a„=2an-x,ai之（〃22）是递推公式

3.（2021•全国）（多选）下列说法中正确的是（）

A.数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列

B.数列1,3,5,7与数列1,3,5,7,L是同一数列

C.1,1,1,L能构成一个数列

D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,L存在通项公式

【题组二根据通项公式写出项】

1.（2021•千阳县中学高二月考）已知数列1,1,2,3,5,8,13,21,（）,55……括号中应填（）

A.23B.33C.34D.44

2.（2021•安徽屯溪一中高二期中（理））已知数列1,I■，212312-34，47,则1:是

z132i4□21o

数列中的（）

A.第29项B.第30项C.第36项D.第37项

3.（2021•全国）观察数列ln2,cos3,24,ln5,cos6,27,ln8,cos9,则该数列的第20项等

于（）

A.230B.20C.In20D.cos20

4.（2021•全国高二单元测试）已知数列l,g,如，「历二T,，则0T是这个数列的（）

A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项

5.（2021•全国高二课时练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新

的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或

者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，

其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为

A.99B.131C.139D.141

6.（2021建国高二课时练习）由1,3,5,…，2个1,…构成数列｛aj,数列伉｝满足*2,当时，”=。如，

则弱的值是（）

A.9B.17

C.33D.65

22

7（2021•永寿县中学（文））已知S"是数歹U｛%｝的前〃项和，an+4S“=n（n+3«-3）-2w+l,通过计算得％。,

出=5,%=22,4=57,根据通项的规律可以归纳得出a=（）

A.981B.979C.980D.978

8.（2021•全国高二单元测试）数列｛风｝满足。用=1-',贝。。刈3等于

2an

A.3B.-1C.2D.3

9.（2021•云南玉溪•（理））如下图①至图④，作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形

各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个‘'中心三角形”，以此类推，如

果我们用着色三角形代表挖去的部分，那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形，该概念由波兰数学

家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中，若着色三角形的个数依次构成数列｛%｝的前4项，则&=

10.（2021•全国高二课时练习）天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、

乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.

天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，

地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列

到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙

子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为.

【题组三根据项写出通项公式】

1.（2021•全国高二专题练习）已知数列｛aj的前四项为1,0,1,0,则下列可作为数列｛a｝的通项公式的

有（）

①a”=；[1+(-1)"'];②a〃=g[1+(-1)+(7?-1)(77—2)；

1（"为偶数）

.oT17C1—cosn兀

③劣=sin万；④a=---------；⑤

0（〃为奇数）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2021•全国高二课时练习）（多选）已知〃£N*,给出4个表达式，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,

0,1,…的通项公式的是（）

[0,几为奇数,1+1+cosnn.n7r

A-为偶数B.C.为=^^~D.册sin——

2

3.（2021•全国高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式.

1111

1-1+1?4+1?-9+1，16+1'…；

(2)2,3,5,9,17,33,…；

㈠2，5'10'17'26

416

(4)1,—,2,不，…;

/、1111

(5)--，—，

3815,24

4.(2021•全国)观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式:

(1)(),4,9,(),25,(),49；

⑵1，"，()，*;

⑶1，&，(),2,君，()，甘；

9n2—9n+2

5.(2021•全国高二专题练习)已知数列

9n2-l

⑴求这个数列的第10项；

(2)旨98是不是该数列中的项，为什么？

（3）求证：数列中的各项都在区间（0,1）内；

（4）在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由.

【题组四数列的单调性】

1.（2021•全国高二课时练习）已知数列｛%｝的通项公式是4=心，那么这个数列是（）

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

2.（2021•全国高二课时练习）已知数列｛%｝满足4>0,对一切〃eN+,嗅=；,则数列｛叫是（）

an2

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.不确定

3.（2021•全国高二课时练习）若数列｛a｝为递减数列，则它的通项公式可以为（）

A.a=2〃+3B.an=~n+3/7+1

C.a，n=—D.a„=（—I）77

2

4.（2021•全国高二课时练习）数列｛。,｝：4=，2+力2（〃€乂）是一个单调递增数列，则实数X的取值范围是

5

A.(-3,+oo)B.——,+ooC.(-2,+oo)D.(0,+oo)

2

(3-a)n-3,〃W7*

5.（2021•全国高二课时练习）已知数列{氏}满足：%=\_6；SsN),且数列是递增数列,

a,n>/

则实数a的取值范围是

9Q

A.(—,3)B.[-,3)C.(1,3)D.(2,3)

44

6.（2021•全国高二课时练习）（多选）已知等差数列{4}的公差d>0,则下列数列递增的是（）

A.{a“}B.{nan}C.D.{an+3nd]

【题组五数列的分类】

1.（2021•全国高二专题练习）下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）

A1111.».2〃.3万

A.1,—,—,—,…B.sin—,sm—,sin—,…

234777

C.—1,一一；,~~>…D.1,血,石,…,^21

/48

2.（2021•全国高二期末）已知。,+「。“-3=0,则数列{°“}是（）

A.递增数列B.递减数列

C.先递增后递减数列D.常数列

3.(2021•全国)下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是()

A.1,2,3,…，20

B.-1,-2,T,…，-n,…

C.1,2,3,2,5,6,…

D.-1,0,1,2,…，100,…

4.（2021•全国）对于无穷数列他.},给出下列命题:

①若数列｛%｝既是等差数列，又是等比数列，则数列｛4｝是常数列.

②若等差数列｛6｝满足1%区2021,则数列｛%｝是常数列.

③若等比数列｛%｝满足UIV2021,则数列｛%｝是常数列.

④若各项为正数的等比数列｛%｝满足1<«„<2021,则数歹IJ｛%｝是常数歹！J.

其中正确的命题个数是（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2021•全国高二专题练习）已知下列数列:

①2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020；

£j_1

②1,

2*4,…，广…;

_23(-1尸7

③1,

一§'52〃一1

.Y171

④1,0,-1,•，sin——，

2

⑤2,4,8,16,32,•

⑥一1,-1,-1,-1.

其中，有穷数列是,无穷数列是.,递增数列是.,递减数列是.,常数列

是.，摆动数列是（填序号）.

【题组六数列的最值】

1（2021•全国高二专题练习）数列｛a“｝中，an=-rf+nn,则此数列最大项的值是（）

121

A.—B.30C.31D.32

4

2.（2021•北京师范大学实验二龙路中学高二期中）已知数列｛4｝的通项公式4=/-9/L10,记S“为数列

｛%｝的前"项和，若使S“取得最小值，则〃=（）

A.5B.5或6C.10D.9或10

3.（2021•全国高二课时练习）（多选）已知数列｛%｝满足凡="次"（〃€"*,。＜左＜1）,下列命题正确的有

（）

A.当人;时，数列｛%｝为递减数列

B.当左二g时，数列｛〃〃｝一定有最大项

C.当。＜左＜；时，数列｛%｝为递减数列

D.当工为正整数时，数列｛4｝必有两项相等的最大项

4.（2021哈国高二专题练习）设为=-/+10〃+11,数列｛4｝从首项到第7项的和最大，则/的值是.

5.（2021唉国高二课时练习）已知数列面｝的通项公式为a广（ACN+）,则数列｛a｝的最大项是第一

3n-16

项.

6.（2021•新蔡县第一高级中学高二开学考试）已知数列｛a｝的通项公式为2=四土»,则数列中的最大

10"

项为•

7.（2021