新教材2025版高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念和通项公式学生用书新人教A版选择性必修第二册

第1课时等比数列的概念和通项公式【课标解读】1.理解等比数列及等比中项的概念．2．驾驭等比数列的通项公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．新知初探·课前预习——突出基础性【教材要点】要点一等比数列的概念(1)文字语言：一般地，假如一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比都等于________常数，那么这个数列叫做等比数列❶，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母________表示．(2)符号语言：an+1an＝q❷(q为常数，n∈批注❶比是有依次的，不能有0项！批注❷公比q是除0之外的随意实数，当q＝1时，此时为常数列，也是等差数列．要点二等比中项在两个数a，b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．❸.批注❸只有当a、b同号时a、b才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab与－ab；当a，b异号时没有等比中项．要点三等比数列的通项公式(1)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则数列{an}的通项公式为an＝________．(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m❹，变形得qn－m＝an批注❹等比数列的随意一项都可以由该数列的某一项和公比表示．要点四等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝a1q·qn，而y＝a1q·qx(q≠1)是一个不为0的常数a1q与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列a1q【夯实双基】1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)等比数列中不存在数值为0的项．()(2)常数列a，a，a，a，…肯定是等比数列．()(3)若数列{an}的通项公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，则{an}肯定是等比数列．()(4)任何两个实数都有等比中项．()2．下列数列是等比数列的是()A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464C．13，3．2＋3和2－3的等比中项是()A．1B．－1C．±1D．24．在等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－12，则a6题型探究·课堂解透——强化创新性题型1等比数列通项公式的基本运算例1在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[听课记录]【方法总结】等比数列中求a1和q的2种常用方法巩固训练1(1)[2024·山东安丘高二期中]已知等比数列{an}中，a2＝3，a3＝9，则a5＝()A．27 B．36C．54 D．81(2)[2024·河北宣化一中高二期末]若等比数列{an}满意a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，则数列{an}的公比为()A．－2 B．2C．－3 D．3题型2等比中项的应用例2(1)已知等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，求实数x的值；(2)已知等比数列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a2和a6的等比中项．[听课记录]【方法总结】等比中项应用的三点提示巩固训练2(1)若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则abA．±12 B．C．1 D．±1(2)假如－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________．题型3敏捷设元求解等比数列问题例3(1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．[听课记录]【方法总结】几个数成等比数列的设法1．三个数成等比数列设为aq，a，aq推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，aq2，aq，a，2．四个符号相同的数成等比数列设为aq3，aq，推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，aq5，aq3，aq3．四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3.巩固训练3在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A．－4或352 B．4或C．4 D．354．3等比数列4．3.1等比数列的概念第1课时等比数列的概念和通项公式新知初探·课前预习[教材要点]要点一2同一个q(q≠0)要点三a1qn－1[夯实双基]1．(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：A、B、C均不满意定义中an+1an＝q答案：D3．解析：设2＋3和2－3的等比中项为a，则a2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a＝±1.故选C.答案：C4．解析：因为等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－12所以a6＝a1·q5＝32×(－12)5答案：－1题型探究·课堂解透例1解析：设首项为a1，公比为q.(1)方法一：因为a4=由②①得q3＝4，从而q＝34，而a1q于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1方法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝34所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝2(2)方法一：因为a由④③得q＝12，从而a又an＝1，∴32×(12)n－1即26－n＝20，所以n＝6.方法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.巩固训练1解析：(1)公比q＝a3a2＝93＝3，∴a5＝a3·q故选D.(2)设等比数列{an}的公比为q，因为a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，所以a1所以a11+qa1q故选D.答案：(1)D(2)D例2解析：(1)因为等比数列的前3项依次为x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4.又因为当x＝－1时，2x＋2＝3x＋3＝0不合题意，所以实数x的值为－4.(2)因为{an}是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即a32＝a2a4，所以a33＝64，解得a3设{an}的公比为q，则a1q2=4，a1q5=32设a2和a6的等比中项为G，则G2＝a2a6＝64，所以G＝±8.巩固训练2解析：(1)∵1，a，3成等差数列，∴a＝1+32∵1，b，4成等比数列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴ab＝2故选D.(2)因为b是－1，－9的等比中项，所以b2＝9，b＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.答案：(1)D(2)－39例3解析：(1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即2整理得aq-12=3因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45.(2)方法一：设前三个数分别为aq，a，aq，则aq·a·所以a3＝216.所以a＝6.因此前三个数为6q，6，6q由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝23故所求的四个数为9，6，4，2.方法二：设后三个数为4－d，4，4＋d，则第一个数为14(4－d)2由题意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝