2025版新教材高中数学单元素养测评卷四第四章指数函数与对数函数新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1单元素养测评卷(四)指数函数和对数函数一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列运算中，正确的是()A．3log32＝9B．a2·eq\r(a3)＝a3(a>0)C．eq\r(3,（－3）3)＋8eq\f(2,3)＝1D．(eq\f(2,3))－2＋lgeq\f(1,100)＝－eq\f(22,9)2．[2024·广东茂名高一期末]函数f(x)＝lgeq\r(2x－3)的定义域是()A．(0，eq\f(3,2))B．[eq\f(3,2)，＋∞)C．(－∞，eq\f(3,2)]D．(eq\f(3,2)，＋∞)3．[2024·北京师大附中高一期末]函数f(x)＝eq\f(4,x)－2x的零点所在的区间是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)4．[2024·江苏南通高一期末]已知指数函数f(x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－∞，0)5．函数f(x)＝eq\f(ln|x|,x)的图象大致为()6．[2024·广东汕头高一期末]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lnx，x>0,ex，x≤0))，则函数feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f（\f(1,3)）))＝()A．3B．－3C．eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)7．已知a＝log3eq\f(1,2)，b＝log2eq\r(3)，c＝0.3－0.5，则a，b，c的大小关系为()A．a<c<bB．a<b<cC．c<a<bD．b<c<a8．为了给地球减负，提高资源利用率，2024年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2024年全年用于垃圾分类的资金为3000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金起先超过1亿元的年份是(参考数据：lg6≈0.78，lg5≈0.70，lg3≈0.48)()A．2026年B．2027年C．2028年D．2029年二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<110．[2024·广东惠州高一期末]若10a＝4，10b＝25，则()A．a＋b＝2B．b－a＝1C．ab>8lg22D．b－a>lg611．下列结论中，正确的是()A．函数y＝2x－1是指数函数B．函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞)C．若am>an(a>0，a≠1)，则m>nD．函数f(x)＝ax－2－3(a>0，a≠1)的图象必过定点(2，－2)12．[2024·河北石家庄高一期末]已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，以下说法正确的是()A．－1<a<0B．1<b<2C．b<c<aD．a＋b＋c＝0三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若3a＝6，则eq\r(（2－π）2)＋a－log32＝________．14．[2024·广东茂名高一期末]若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x），x<0,（\f(1,3)）x，x>0))是奇函数，则g(－3)＝________．15．[2024·江苏徐州高一期末]若函数f(x)＝logeq\f(1,2)(ax－x2)在(2，3)单调递增，则实数a的取值范围为________．16．函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≥0,－x2－2x＋1，x<0))，函数f(x)有________个零点，若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)计算：(1)2log510＋log50.25；(2)(2eq\f(1,2))0＋2－2－27eq\f(2,3).18．(本小题满分12分)[2024·湖北武汉高一期末]已知函数f(x)＝eq\f(3x＋a,3x＋1)为奇函数．(1)求a的值；(2)推断函数f(x)的单调性，并加以证明．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x－1)(a>0，且a≠1)，(1)求f(2)的值及函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在[2，9]上的最大值与最小值之差为3，求实数a的值．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝logaeq\f(1＋mx,1－x)(a>1)是奇函数．(1)求实数m的值；(2)求不等式f(x)>0的解集．21．(本小题满分12分)某地为践行习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，安排每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩．(1)列出y与x的函数解析式并写出函数的定义域；(2)为使森林面积至少达到6a亩至少须要植树造林多少年？(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)22．(本小题满分12分)[2024·北京通州高一期末]已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，eq\f(1,4)).(1)求a的值；(2)求f(x)在区间[－eq\f(1,2)，1]上的最大值；(3)若g(x)＝f(x)－x，求证：g(x)在区间(0，1)内存在零点．单元素养测评卷(四)1．答案：C解析：3log32＝2，故A错误；a2·eq\r(a3)＝a2·aeq\f(3,2)＝aeq\f(7,2)(a>0)，故B错误；eq\r(3,（－3）3)＋8eq\f(2,3)＝－3＋23×eq\f(2,3)＝－3＋4＝1，故C正确；(eq\f(2,3))－2＋lgeq\f(1,100)＝eq\f(9,4)－2＝eq\f(1,4)，故D错误．2．答案：D解析：要使函数有意义，则2x－3>0，即x>eq\f(3,2)，故函数的定义域为(eq\f(3,2)，＋∞).3．答案：B解析：因为函数y＝eq\f(4,x)，y＝－2x均为(0，＋∞)上的单调递减函数，所以函数f(x)＝eq\f(4,x)－2x在(0，＋∞)上单调递减，因为f(1)＝2>0，f(2)＝－2<0，所以函数f(x)＝eq\f(4,x)－2x的零点所在的区间是(1，2).4．答案：A解析：由指数函数f(x)＝a－x＝(eq\f(1,a))x(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，依据指数函数单调性可知eq\f(1,a)>1，所以0<a<1.5．答案：C解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝eq\f(ln|x|,－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，所以AD选项错误．f(1)＝0，f(2)＝eq\f(ln2,2)>0，所以B选项错误．6．答案：C解析：由题意可知，f(eq\f(1,3))＝lneq\f(1,3)＝－ln3，所以f[f(eq\f(1,3))]＝f(－ln3)＝e－ln3＝eq\f(1,3).7．答案：B解析：a＝log3eq\f(1,2)<log31＝0，b＝log2eq\r(3)>log21＝0且b＝log2eq\r(3)<log22＝1，故b∈(0，1)，c＝0.3－0.5>0.30＝1，故a<b<c.8．答案：B解析：设经过n年之后，投入资金为y万元，则y＝3000(1＋0.2)n，由题意可得y＝3000(1＋0.2)n>10000，即1.2n>eq\f(10,3)，所以nlg1.2>lgeq\f(10,3)，即n>eq\f(lg\f(10,3),lg1.2)＝eq\f(lg\f(10,3),lg\f(6,5))＝eq\f(1－lg3,lg6－lg5)≈eq\f(1－0.48,0.78－0.70)＝6.5，又因为n∈N*，所以n≥7，即从2027年起先该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元．9．答案：BD解析：由图象知0<a<1，可以看作是y＝logax向左移动c个单位得到的，因此0<c<1.10．答案：ACD解析：由题设，10a＋b＝100，即a＋b＝2，A正确；10b－a＝eq\f(25,4)，即b－a＝lgeq\f(25,4)>lgeq\f(24,4)＝lg6，B错误，D正确；由a＝2lg2，b＝2lg5，则ab＝4lg2lg5>4lg2lg4＝8lg22，C正确．11．答案：BD解析：选项A.依据指数函数的定义，可得y＝2x－1不是指数函数，故A不正确．选项B.当a>1时，y＝ax2＋1≥1，故B正确．选项C.当0<a<1时，函数y＝ax单调递减，由am>an，则m<n，故C不正确．选项D.由f(2)＝a2－2－3＝－2，可得f(x)的图象恒过点(2，－2)，故D正确．12．答案：AD解析：由题设，2a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以，问题可转化为y＝－x与y＝2x、y＝log2x、y＝x3的交点问题，函数图象如下：由图及y＝2x、y＝log2x对称性知a＋b＝0，c＝0，且－1<a<c＝0<b<1，所以A、D正确，B、C错误．13．答案：π－1解析：由3a＝6，可得a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，则eq\r(（2－π）2)＋a－log32＝(π－2)＋1＋log32－log32＝π－1.14．答案：－eq\f(1,27)解析：因为f(x)是奇函数，可得g(－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－(eq\f(1,3))3＝－eq\f(1,27).15．答案：[3，4]解析：令t＝ax－x2，则y＝logeq\f(1,2)t，因为y＝logeq\f(1,2)t为减函数，所以f(x)在(2，3)上单调递增等价于t＝ax－x2在(2，3)上单调递减，且ax－x2>0，即eq\f(a,2)≤23a－9≥0，解得3≤a≤4.16．答案：1(1，2)解析：由题，当x≥0时，f(x)＝2x，当x<0时，y＝－x2－2x＋1为二次函数，对称轴为x＝－1，且过(0，1)开口向下．故画出图象有故函数f(x)有1个零点．又f(x)＝m有三个不同的交点则有图象有y＝－x2－2x＋1最大值为eq\f(4×（－1）×1－（－2）2,4×（－1）)＝2.故m∈(1，2).17．解析：(1)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.(2)(2eq\f(1,2))0＋2－2－27eq\f(2,3)＝1＋eq\f(1,4)－(33)eq\f(2,3)＝1＋eq\f(1,4)－9＝－eq\f(31,4).18．解析：(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R，所以f(0)＝eq\f(1＋a,1＋1)＝0，所以a＝－1，经检验满意题意．(2)f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)，函数f(x)在定义域R上单调递增．理由：设随意的x1，x2，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2（3x1－3x2）,（3x1＋1）（3x2＋1）).因为x1<x2，所以3x1<3x2，所以3x1－3x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在定义域R上单调递增．19．解析：(1)函数f(x)＝loga(x－1)，则f(2)＝loga1＝0，由x－1>0解得x>1，所以f(2)的值是0，f(x)的定义域是(1，＋∞).(2)当0<a<1时，f(x)＝loga(x－1)在[2，9]上单调递减，f(x)max＝f(2)＝0，f(x)min＝f(9)＝loga8，于是得0－loga8＝3，即a－3＝8，解得a＝eq\f(1,2)，当a>1时，f(x)＝loga(x－1)在[2，9]上单调递增，f(x)min＝f(2)＝0，f(x)max＝f(9)＝loga8，于是得loga8－0＝3，即a3＝8，解得a＝2，所以实数a的值为eq\f(1,2)或2.20．解析：(1)因为函数f(x)＝logaeq\f(1＋mx,1－x)(a>1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝loga(eq\f(1－mx,1＋x)·eq\f(1＋mx,1－x))＝0对随意定义域内的x恒成立，所以eq\f(1－mx,1＋x)·eq\f(1＋mx,1－x)＝1即(m2－1)x2＝0对随意定义域内的x恒成立，所以m2＝1，所以m＝±1，当m＝－1时，定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，舍去，当m＝1时，f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)符合题意，所以m＝1.(2)f(x)>0⇒logaeq\f(1＋x,1－x)>0(a>1)，故eq\f(1＋x,1－x)>1，解得0<x<1.所以不等式的解集为(0，1).21．解析：(1)森林原来的面积为a亩，森林面积的年平均增长率为20%，x年后森林的面积为y亩，则y＝a(1＋20%)x(x>0且x∈N*).(2)设为使森林面积至少达到6a亩，至少须要