2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第05讲 利用导数研究函数的零点问题（解析版）

第05讲利用导数研究函数的零点问题目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：确定函数零点（方程根）的个数问题 1题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题 11题型三：函数的图象与函数零点问题 19第二部分：易错篇 26易错一：借助图象时注意结合极限，画更精确的图象 26第一部分：题型篇 题型一：确定函数零点（方程根）的个数问题典型例题例题1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数，其中表示不大于的最大整数（如，），则函数的零点个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】令，则，故函数的零点问题转化为与的交点问题，且，即，如图所示：由图可得；当时，与有3个交点，即当时，有3个零点；当时，则，构建，则当上恒成立，则当上单调递增，故，可得：当时，则，即当时，无零点；综上所述：函数有3个零点.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数与，则它们的图象交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．不确定【答案】B【详解】令，则，由，得，∴当时，，当时，.∴当时，取得最小值，∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.故选：B.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)设，求在区间上的最值；(2)讨论的零点个数.【答案】(1)最大值为，最小值为(2)在上有两个零点【详解】（1）因为，所以在区间上单调递减，所以当时，取最大值；当时，取最小值.（2）先讨论在上的零点个数，由（1）可知，在上递减，，所以在上递减，因为，所以在上有唯一零点，又因为，所以是偶函数，所以在上有两个零点.例题4．（2023·上海静安·统考二模）已知函数.（其中为常数）(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的最小值；(3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.【答案】(1)(2)(3)只有1个，理由见解析【详解】（1）解：当时，可得，可得，所以且，所以切线方程为，即，即曲线所以曲线在点处的切线方程为.（2）解：由函数，可得函数的定义域为，又由，令，解得，，当时，与在区间的情况如下表：极小值↗所以函数的极小值为，也是函数的最小值，所以当时，函数的最小值为（3）解：当时，，令，解得（舍去）所以函数在上有一个零点；当时，与在区间的情况如下表：00↗极大值极小值↗所以函数在单调递增，在上单调递减，此时函数的极大值为，所以函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，所以函数在上只有一个零点，综上可得，当时，在上有一个零点.例题5．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数，其中为常数，．(1)求单调区间；(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【详解】（1）定义域为，因为，若，，所以单调递减区间为，若，,当时，，当时，，所以单调递减区间为，单调递增区间为．（2）证明：若且对任意，都有，则在处取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，则单调性相同，单调递减区间为，单调递增区间为，且，，，所以在(1e2，所以在和各有且仅有一个零点，即方程有且只有两个实根．例题6．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数.(1)当时，求曲线在处切线的方程；(2)讨论函数在区间上的零点个数.【答案】(1)y=-2(2)答案见解析【详解】（1），，时的切线方程为；（2）令，即，就是求此方程的解的个数，，，令，原题等价于求曲线与直线在时交点的个数；，令，当时，单调递增，当时，，单调递减，在时，取得最小值，，是增函数，

，当时，原函数无零点，当

时，有1个零点，当时，无零点；综上，（1）切线方程为，当时，原函数无零点，当

时，有1个零点，当时，无零点.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，，，则函数的零点个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】当时，，所以不是函数的零点，因为，所以，所以为偶函数，当时，，，，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值，所以当时，有唯一零点，又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以在时，还有一个零点，综上所述：函数的零点个数为.故选：A2．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，则的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】的定义域为，由题意可得，因为单调递增且当时，当时，所以存在唯一一点使得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以至多有两个零点，又因为，，所以有2个零点，故选：C3．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【详解】（1）因为，且，，所以切线方程为，即所求切线方程为．（2）．因为，所以，，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以在上是减函数，且，所以在上仅有一个零点．4．（2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中）已知函数．(1)求函数的单调区间和极值：(2)若，讨论函数的零点个数．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值(2)答案见解析【详解】（1）∵定义域为，，又恒成立，∴当时，；当时，；的单调递减区间为，单调递增区间为；所以极小值为，无极大值．（2）当时，，当时，，结合（1）中结论作出函数图象如图：的零点个数等价于与的交点个数；当时，与有且仅有一个交点；当时，与有两个不同交点；当时，与有且仅有一个交点；当时，与无交点；综上所述：当时，有唯一零点；当时，有两个不同零点；当时，无零点．5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)讨论的单调区间；(2)当时，试判断函数的零点个数解：【答案】(1)答案见解析(2)1个【详解】（1）求导得．当时，由可知；由可知；当时，由可知；由可知或；当时，；当时，由可知；由可知或．综上可得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，．（2）①当时，，令，得或0，又，所以仅有1个零点；②当时，在上单调递减，又，，所以仅有1个零点；③当时，在，上单调递减，在内单调递增，又，，所以函数仅有1个零点；④当时，在，上单调递减，在内单调递增，又，，所以仅有1个零点，综上可知，时，函数有且仅有1个零点．6．（2023春·天津河北·高二统考期中）已知函数.(1)判断函数的单调性，并求出函数的极值；(2)画出函数的大致图象；(3)讨论方程的解的个数.【答案】(1)在上递增，在上递减，极大值；(2)函数图象见解析；(3)答案见解析.【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，，无极小值.（2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，，，当时，恒成立，因此当时，随x的增大，的图象在x轴的上方与x轴无限接近，函数的大致图象如图，（3）令，，当时，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，，即，有，当时，，，而函数在上单调递增，其值域为，因此函数在上无最小值，取值集合为，方程的解的个数等价于函数的图象与直线的公共点个数，在同一坐标系内作出直线与函数的部分图象，如图，观察图象知，当时，方程的解的个数为0，当或时，方程的解的个数为1，当时，方程的解的个数为2.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．已知曲线在点处的切线与直线平行．（1）求的值；（2）证明：方程在内有且只有一个实根．【答案】（1）；（2）证明见解析.试题解析：（1），由题意知，曲线在点处的切线斜率为2，则，所以，解得.（2）令，，则，，所以，所以函数在内一定有零点，，∴在上单调递增，所以函数在内有且只有一个零点，即方程在内有且只有一个实根.题型二：函数的最值（极值）与函数零点问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对原函数求导得，，因为函数有两个极值点，所以有两个不等实根，即有两个不等实根，亦即有两个不等实根.令，则可知在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为当时，，当时，，所以，解得，即a的范围是.故选：B例题2．（2023春·浙江·高二期中）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)方程恰有两个不同的实根，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）依题意，，，所以，又，所以切线方程为.（2）因为，所以：当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减.所以在处取得极大值也即是最大值，对于函数，，，当时，；当时，.所以的取值范围是.例题3．（2023春·天津静海·高二校联考阶段练习）已知函数，.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，（ⅰ）求函数的单调区间；（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(i)单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)．【详解】（1）对，求导得，，当时，，又切点为切线方程为即；（2）依题意得(i)由，可得或，由，可得．函数的单调递增区间为和；单调递减区间为.(ii)由(i)可知：当变化时，的变化情况如表：12＋0－0＋单调递增单调递减单调递增当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为，若方程有3个不同的实数根，则，解得．例题4．（2023·全国·高三专题练习）设函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在处有极值且，当函数恰有三个零点时，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）由，得，令，解得或，当时，，和时，，单调递增，时，，单调递减；当时，恒成立，在上单调递增；当时，，和时，，单调递增，当时，，单调递减；综上所述：当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；当时，在上单调递增，无减区间；当时，的单调递增区间为和，的单调递减区间为；（2）因为函数在处有极值且所以，即，解得，当时，，，令，解得或，单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数在处取极小值，即成立；的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，，如图所示，函数有三个零点，可转化为函数与函数有三个交点，数形结合可知，，解得，所以的取值范围为.例题5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象在处的切线与直线平行.（1）求的值；（2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【详解】解：（1）∵，，则，解得.（2）由（1）有.∴原方程可整理为.令，得，∴当时，，当时，，又，即在上是增函数，在上是减函数.∴当时，有最大值.∵，.∴.由，得，，故的取值范围是.精练核心考点1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若过点（其中是整数）可作曲线的三条切线，则的所有可能取值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】ABCD【详解】解：由题知，设切点为，则切线方程为，将，代入得；令，则，或时，；时，，的极大值为，极小值为，由题意知，又为整数，.故选：ABCD.2．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）设函数.(1)对于任意实数x，恒成立，求m的最大值；(2)若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：已知函数，，则，因为对于任意实数x，恒成立，则，对称轴，所以，可得，即的最大值为.（2）（2）令，即，解得或，当时，；当时，；当时，.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，取极大值；当时，取极小值，故当或时，方程仅有一个实根，解得或，所以a的取值范围为.3．（2023·高二课时练习）已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），因为在处取得极值3，所以，即，解得.，经验证，满足题意，所以（2）方程有三个相异实根，即直线与函数图象有三个不同的交点.由（1）知，令，解得或.当变化时，的变化情况如下表所示：100单调递增3单调递减单调递增因此，当时，有极大值，且极大值为；当时，有极小值，且极小值为.作函数图象如下：所以实数的取值范围是.4．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二校考开学考试）若函数，当时，函数取得极值.(1)求函数的解析式；(2)若方程有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）对求导，得，由题意，得,解得,∴.（2）由（1）可得,令，得或,∴当时，；当时，；当时，.因此，当时，取得极大值；当时，取得极小值,函数的大致图象图如所示.:要使方程有3个不同的实数根，由图可知，实数k的取值范围是.5．（2023春·天津红桥·高二天津市瑞景中学校考期中）关于的方程只有一个实数解，则实数的取值范围是________．【答案】【详解】令，则由得或，由得所以在和上单调递增，在上单调递减所以的极大值为，极小值为由方程只有一个实数解可得函数只有一个零点所以或，解得或故答案为：题型三：函数的图象与函数零点问题典型例题例题1．（2023·高二课时练习）已知函数若方程有三个不同的解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，则∴原题转化为与有三个不同的交点表示为斜率为1，纵截距为a的直线，如图可知：满足条件的直线以过点的直线，与相切的直线为临界位置若过点，则，即若与相切，则，可得即切点坐标为，则∴a的取值范围是故选：B.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若关于的方程有三个实数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】等价于，函数的图象如图，因为的图象与有且仅有一个交点，即有两个实数解，所以，故选:B.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足：，若方程在（0，2]上恰有三个根，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】方程在（0，2]上恰有三个根，即直线与函数的图像有三个交点，当时，，则，当时，；当时，，所以f（x）在（0，）上单调递减，f（x）在（，1]上单调递增.结合函数的“周期现象”得f（x）在（0，2]上的图像如下：由于直线l；过定点A（0，）.如图连接A，B（1，0）两点作直线，过点A作的切线l2，设切点P（，），其中，则斜率切线过点A（0，）.则，即，则，当直线绕点A（0，）在与之间旋转时.直线与函数在[-1，2]上的图像有三个交点，故故答案为：例题4．（2023春·湖北襄阳·高二宜城市第一中学校联考期中）已知函数．(1)若，求函数在点处的切线方程；(2)若函数有两个零点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时,，，，又，即切点为，切线方程为：，即；（2），，由得，令，则，由得或，由得或，即在区间上单调递增，在区间上单调递减.又趋向于负无穷大时，无限趋近于0，且，图象如下图：由函数有两个零点得，函数与有两个交点，由图可知，或，故a的取值范围为.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设当时，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减时，取得极大值当趋向于，趋向于当时，，单调递增依题意可知，直线与的图象有两个不同的交点如图所示，的取值范围为故选：B2．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考阶段练习）设有三个不同的零点，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出函数的图象，直线过定点，当时，设过的直线与的切点为,，由，得，，故切线方程为，把定点代入得：，即．，即直线的斜率为．则使有三个不同的零点的的取值范围是．故选：D3．（2023春·广东佛山·高二华南师大附中南海实验高中校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间和极值.(2)若关于的方程有唯一的实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为，，极小值为0，极大值为.(2)【详解】（1），由得或，由得，所以的递增区间为，递减区间为，.极小值为，极大值为.（2）方程有唯一的实数根等价于函数与直线有唯一的交点，画出的大致图像如图所示，所以实数的取值范围为.4．（2023春·高二课时练习）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若关于的方程有个不等实根，求证：.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增(2)证明见解析【详解】（1）定义域为，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知：极小值为，极大值为，又当时，恒成立，可得图象如下图所示，若有三个不等实根，则与有三个不同交点，由图象可知：，，，设，则，当时，，，，，，在上单调递减，，，又，，又，，，，在上单调递减，，即，又，.5．（2023·高二校考课时练习）已知函数．(