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文档简介
2.2圆的对称性(2)想一想1.圆是什么对称图形?你是如何验证的?●O圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心;
2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?你是如何验证的?圆是轴对称图形,经过圆心的直线是它的对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.想一想做一做
1、如何确定圆形纸片的圆心?动手试一试!做一做
2、请大家在纸上画一个圆O,再任意画一条非直径的弦AB,作一直径CD与AB垂直,交点为P(如图).沿着直径将圆对折,你有什么发现?●OABCDP└想一想③AP=BP,AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为P.●O下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?ABCDP└由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.条件结论证一证证明:连接OA,OB,●OABCDP└则OA=OB.在Rt△OAP和Rt△OBP中,∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).∴AP=BP.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC
=BC,⌒⌒
AD
=BD.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.●OABCDM└垂径定理③AM=BM,②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.条件结论由①CD过圆心注意(1)条件中的“弦”包含直径;(2)结论中“平分弦所对的弧”包括劣弧和优弧。探究交流3.你能总结出这个定理的内容吗?
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDP└CD⊥AB,
如图∵CD是直径,∴AP=BP,⌒⌒
AC
=BC,⌒⌒
AD=BD.归纳新知做一做
1.下来图形中,哪些能使用垂径定理,为什么?能不能不能能做一做
2.如图,⊙O直径CD与弦AB(非直径)交于点M,添加一个条件:____________,就可得到点M是AB的中点.CD⊥AB3.在⊙O中,OC⊥AB于C,若AB=8,
OA=5,则AC=
,OC=
。┏58做一做43
4.如图,已知在⊙O中,弦AB的长为8厘米,圆心O到AB的距离为3厘米,求⊙O的半径.□C【常用辅助线】与弦有关的问题常过圆心作弦的垂线.例1.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,AC与BD相等吗?为什么?.ACDBO【思维提升】不利用三角形全等,你还能证明AC=BD吗?典型例题.ACDBO例1.已知:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点,AC与BD相等吗?为什么?P【思维点拨】可利用垂径定理来证明AC=BD.证明:过O点作OP⊥AB,垂足为P.∵OP⊥AB∴PC=PD,PA=PB∴PA-PC=PB-PD∴AC=BD【常用辅助线】与弦有关的问题常过圆心作弦的垂线.典型例题□例2:如图,OA=OB,AB交⊙O于点C、D,AC与BD是否相等?为什么?P经验积累:在解决有关弦的问题时,常常需要过圆心引弦的垂线,也就是作垂直于弦的直径。点拨矫正●OABCDE└1.如图,在圆O中,直径CD=10,弦AB⊥CD,垂足为E,OE=3.求弦AB的长。
练习检测2.如图,⊙O的弦AB=8㎝,直径CD⊥AB,垂足为P,PD=2㎝,求⊙O的半径.●OABCDP练习检测□└练习检测
3.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.拓展延伸1.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长为8,P是AB上的一个动点,求OP的取值范围。拓展延伸2.如图,过⊙O内一点P,作⊙O的弦AB,使它以点P为中点。3.在直径为100mm的圆柱形油罐内装进一些油后,其横截面如图。若油面宽AB=80mm,求油的最大深度。拓展延伸EF●OABCD1)两条弦在圆心的同侧●OABCD2)两条弦在圆心的两侧MM4.直径为10的圆中,两条平行弦的长度分别是8和6,求他们之间的距离。才艺展示拓展延伸5.如图,AB、CD是⊙O的两条弦AB∥CD,弧AC与弧BD相等吗?为什么?
变式--已知⊙O的直径是50cm,弦AB∥CD,且AB=40cm,CD=48cm,求AB、CD之间的距离.
小试牛刀通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识?课堂总结课堂小结
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