2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第03讲 椭圆（含直线与椭圆的位置关系）（解析版）

第03讲椭圆（含直线与椭圆的位置关系）目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：椭圆定义 1题型二：椭圆中的焦点三角形问题 4题型三：椭圆离心率 12题型四：直线与椭圆位置关系判断 19题型五：直线与椭圆相切问题 22题型六：椭圆中点弦问题 27题型七：椭圆弦长（面积）问题 31题型八：椭圆中定点、定值问题 40题型九：椭圆中定直线问题 47题型十：椭圆中向量问题 54题型一：椭圆定义典型例题例题1．（2023秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第二中学校考阶段练习）平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在【答案】A【详解】因为，表示点到两点的距离之和为2的所有点，又，则点的轨迹就是线段.故选：A例题2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】A【详解】

由为椭圆的焦点，，，，，，设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得，，所以的最小值为.故选：A.例题3．（2023秋·高二课时练习）已知的周长为18，且，建立适当的平面直角坐标系，求顶点的轨迹方程．【答案】【详解】如图，以所在直线为轴，以线段的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

其中，，设，，由题意可知，，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中三点不共线，其中，，则，，，所以顶点的轨迹方程为精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）方程的化简结果是（）A． B．C． D．【答案】C【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以，，根据，所以椭圆方程为.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）若，，点P到，的距离之和为10，则点P的轨迹方程是【答案】【详解】因为，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，故点P的轨迹方程为.故答案为：3．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为【答案】【详解】设动圆P的圆心为，半径为，由题意得，所以，所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，则，即，，则，所以动圆圆心的轨迹方程为，故答案为：4．（2023·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为；【答案】【详解】设动圆的半径为，由已知得：圆可化为标准方程：，即圆心，半径，圆可化为标准方程：，即圆心，半径，，经分析可得，，则.由题意可知：，两式相加得，，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，可设方程为，则，，，，，所以轨迹的方程为.故答案为：题型二：椭圆中的焦点三角形问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点为，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】法一：显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，设是第一象限内使得为等腰三角形的点，若，则，又，消去整理得：，解得(舍去)或，由得，所以，即，若，则，又，消去整理得：，解得或，舍去．所以，所以，即，时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．综上，的范围是．法二：①当点与短轴的顶点重合时，构成以为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的；②当构成以为一腰的等腰三角形时，根据椭圆的对称性，只要在第一象限内的椭圆上恰好有一点满足为等腰三角形即可，则或当时，则，即，则，当时，则有，则，综上所述，椭圆的离心率取值范围是.故选：A.例题2．（多选）（2023秋·江西南昌·高二校考阶段练习），为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】根据选项，设椭圆的方程为，设椭圆的上顶点为，

椭圆上存在点，使得，则需，所以，即，因为，，则，检验可得选项A，D满足.故选：AD.例题3．（2023秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为．【答案】/【详解】因为，，所以，若，因为，则可得，由余弦定理可得，所以，则.故答案为：.

例题4．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为．的面积为．【答案】【详解】由知：，则，在中，故，由，则．故答案为：，例题5．（2023秋·高二课时练习）已知：椭圆的两焦点为，P为椭圆上一点，且．(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，，求的面积；(3)若点P在第二象限，，求的面积．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）依题意得，又，，，，，所求椭圆的方程为；（2），，由余弦定理可得，可得，所以；

（3）设点坐标为，，所在直线的方程为，即，解方程组，并注意到，，可得，．

精练核心考点1．（多选）（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】如下图所示，设切点为，，，对于A，由椭圆的方程知：，由椭圆的定义可得：，易知，所以，所以，故A正确；对于BCD，，又因为，解得：，又因为为上一点且在第一象限，所以，解得：，故B正确；从而，所以，所以，而，所以，故C错误；从而，故D正确.故选:ABD．

2．（2023秋·河北保定·高二校联考阶段练习）已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为．【答案】【详解】如图，

因为，所以可设，又，所以，由椭圆定义，，即，又，即B点为短轴端点，所以在中，，又在中，，解得或（舍去）.故答案为：3．（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点是椭圆上的一点．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由题设，则，设，故，所以，又，且，则.（2）由题设，，由，且，所以，综上，.

4．（2023秋·全国·高二期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，短轴的一个端点为.(1)若为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程；(2)若为锐角，求椭圆C的离心率的取值范围．【答案】(1)(2).【详解】（1）因为椭圆C的左、右焦点分别为，短轴的一个端点为，且为直角，所以，又焦距为2，所以，所以椭圆C的标准方程为；

（2）因为椭圆C的左、右焦点分别为，短轴的一个端点为，且为锐角，所以（为坐标原点），所以，所以椭圆C的离心率的取值范围为.

题型三：椭圆离心率典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】

由得到，设，,在中，由余弦定理得，，解得，为等边三角形，则在中，，，又，，得，解得.故选：B.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设椭圆左焦点为，连接，，，设，，结合椭圆对称性得，由椭圆定义得，，则.因为，，则四边形为平行四边形，则，而，故，则，即，整理得，在中，，即，即，∴，故.故选：A

例题3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）设椭圆的左焦点为，为坐标原点，过且斜率为的直线交椭圆于，两点（在轴上方）.关于轴的对称点为，连接并延长交轴于点，若，，成等比数列，则椭圆的离心率的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图所示：

设分别以OF，EF，OE为底，高为h，则，因为，，成等比数列，所以，即，设直线AB的方程为：，联立，消去y得，由韦达定理得：，直线BD的方程为：，令得，，则，则，即为，则，即，即，解得，则，故选：D例题4．（2023秋·天津河东·高三天津市第四十五中学校考阶段练习）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为.【答案】/【详解】如图，设，则，.又由椭圆定义可得.则在中，由余弦定理可得:.则，则在由余弦定理可得：.又.故答案为：

精练核心考点1．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由令，得，由于与轴平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，将点坐标代入椭圆的方程得，，，所以离心率.故选：B

2．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，设，因为点，是上的任意两点，且关于轴对称，所以，，所以，所以，因为，所以，所以，所以离心率，故选：C

3．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节，活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为．

【答案】/【详解】由题意知伞的伞沿与地面的接触点B是椭圆的长轴上的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A为椭圆长轴的另一个端点，O为伞所在圆的圆心，F为伞柄底端即为椭圆的左焦点，

设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由，得，在中，，则，由正弦定理得，即，而，故，则，故，故答案为：4．（2023秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）椭圆与渐近线为的双曲线有相同的焦点，P为它们的一个公共点，且，则椭圆的离心率为.【答案】/【详解】设，在双曲线中，渐近线为，即，故，，，不妨设P在第一象限，则由椭圆定义可得：，由双曲线定义可得：，因为，∴，而，代入可得：，∴.故答案为：题型四：直线与椭圆位置关系判断典型例题例题1．（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C．D．【答案】B【详解】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①，因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得.故选：B．例题2．（2023·全国·高二专题练习）直线：与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交【答案】A【详解】方法1：∵，即：，∴直线l恒过定点，又∵椭圆∴，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交.方法2：∴恒成立，∴直线l与椭圆相交.故选：A.例题3．（2023秋·高二课时练习）当取何值时，直线与椭圆.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点？【答案】(1)或(2)(3)【详解】（1）依题意，联立，消去，得，所以，要使直线与椭圆无公共点，则，即，解得或，所以当或时，直线和椭圆无公共点.（2）要使直线与椭圆有且仅有一个公共点，则，即，解得，所以当时，直线和椭圆有且仅有一个公共点.（3）要使直线与椭圆有两个公共点，则，即，解得，所以当时，直线和椭圆有两个公共点.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】直线恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即，解得，又.故选：D2．（2023·全国·高二专题练习）直线与椭圆只有一个交点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，消去并整理得，因为直线与椭圆只有一个交点，所以，得．故选:C.3．（2023秋·高二课前预习）如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？【答案】(1)(2)，(3)，或【详解】（1）由方程组消去y，得，．由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点．（2）由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点．（3）由，得，或．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点．题型五：直线与椭圆相切问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）若方程有解，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，，两边同平方得，化简得（），则其所表示的图形为椭圆在x轴及上方部分，则题目转化为直线与上述图形有交点，设椭圆的右端点为，易得其坐标为，当直线与半椭圆相切时，显然由图得，联立，得，则化简得，解得或（舍），当直线经过点时，得，解得，则，故选：B.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为．【答案】【详解】由椭圆，可得，故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，代入椭圆方程整理，得，则，解得，当时，与之间的距离为；当时，与间的距离为，故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，故答案为：例题3．（2023秋·山西大同·高三大同市第二中学校校考阶段练习）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.【答案】（1）；（2）18.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知点P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P到直线l：的最大距离为.【答案】/【详解】设直线y＝x＋m与椭圆相切，由得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，∴Δ＝（18m）2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±，切线方程为y＝x＋和y＝x－，与l距离较远的是y＝x－，∴所求最大距离为d＝＝.故答案为：2．（2023·全国·高二随堂练习）能否从图形的直观分析中判断出直线：与椭圆C：的交点个数？若存在交点，则求出交点坐标；若不存在交点，则求椭圆C上的点到直线l的最小距离．【答案】无交点，椭圆C上的点到直线的最小距离为【详解】解：联立直线与椭圆方程组成方程组，即，整理得，，因为，所以直线与椭圆无交点.设与直线平行的直线为：，联立直线与椭圆方程组成方程组，得，整理得，，当与椭圆相切时，即，解得：，椭圆C上的点到直线的最小距离即为直线与直线之间的距离，椭圆C上的点到直线的最小距离为.

3．（2023·全国·高二课堂例题）试求函数的最大值、最小值.【答案】的最大值，最小值为【详解】设，是椭圆的两条切线，如图所示，

点坐标为,由椭圆的参数方程可得故的最大值为，的最小值为，设过与椭圆相切的切线方程为.由，消去，得，由得，所以切线方程为，因为切线过点，所以.所以，所以的最大值的最小值为.题型六：椭圆中点弦问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】根据题意设，代入椭圆方程可得；两式相减可得，整理可得；又因为的中点坐标为，可得；因此过两点的直线斜率为，又和的中点在直线上，所以，即，可得；又易知，且，计算可得；所以椭圆的方程为，代入的中点坐标为，得，则其在椭圆内部，则此时直线与椭圆相交两点.故选：A例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设，代入椭圆的方程可得，．两式相减可得：．由，，代入上式可得：＝0，化为．又，，联立解得．∴椭圆的方程为：．故选：C．例题3．（2023春·甘肃白银·高二统考开学考试）已知椭圆的离心率为，是上一点．(1)求的方程；(2)设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题可知，解得，，，故的方程为．（2）设，，则则，即．因为线段的中点坐标为，所以，，则．故直线的方程为，即．

精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，则，，直线的斜率.由，得，得，所以，故椭圆的离心率.故选：B.2．（2023·全国·高二专题练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设的中点为，即，如下图所示：

易知，即；设，又中点坐标为，所以则；又两点在椭圆上可得，两式相减可得，整理得，解得，联立可解得；即所以椭圆的面积为.故选：A3．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知椭圆，左右焦点分别为，，直线与椭圆交于A，两点，弦被点平分．(1)求直线的方程；(2)求弦的长．【答案】(1)(2)5【详解】（1）设交点坐标，因为弦被点平分，所以又，两式相减得：），所以直线的斜率，故直线的方程为（2）由（1）可知，与椭圆方程联立，所以，由弦长公式可知.题型七：椭圆弦长（面积）问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为.【答案】【详解】由题意得,解得,，，∴椭圆的方程为.由，设直线的方程为，，.联立得，得，又直线与椭圆有两个不同的交点，所以，解得，∴，，∴，故当，即直线过原点时，最大，最大值为.故答案为：.例题2．（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相切，并与椭圆交于两点，若，求的值．【答案】±1【详解】由题意可知，作出图形如图所示

设，由，消去y，得，因为直线与椭圆相交，所以，即，且又直线与圆相切，则，即．而，又，所以，即，解得，且满足，故的值为.例题3．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校考开学考试）设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，．(1)求椭圆方程；(2)设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由可得：，，，又，，，椭圆方程为：.（2）

由（1）知：，设直线，由得：，则，，即，，即，；在直线的方程中，令可得，，，则直线，令可得：，，，即，整理可得：，解得：，直线或．例题4．（2023春·四川自贡·高二校考期中）在平面直角坐标系中，过椭圆M：的右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.(1)求椭圆M的方程;(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线，求四边形面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）设，，，则有，又，，两式相减可得因为，，，所以，又由题意知，椭圆M的右焦点为，故因此，，所以椭圆M的方程为.

（2）由，解得或，因此由，可设直线的方程为，设，，由，得于是，即，，.因为直线CD的斜率为1，所以，由已知，四边形的面积当时，取得最大值，最大值为.所以四边形面积的最大值为.精练核心考点1．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．(1)求椭圆的方程；(2)倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．【答案】(1)(2)或【详解】（1）由椭圆的离心率为，即，可得，由椭圆上的点到焦点的最小距离是，可得，解得，，，所以椭圆的方程．（2）解：因为直线的倾斜角为，可设的方程，由方程组，整理得，可得，解得，设，，则，，又由，解得，满足，所以直线的一般式方程为或．2．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知椭圆的下焦点、上焦点为，离心率为.过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点.(1)求的值；(2)求（为坐标原点）面积的最大值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得，，因为离心率，所以，又，所以，解得；（2）由（1）知，椭圆的上焦点为，设，直线，联立，整理得：，则，且，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.

3．（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）已知离心率的椭圆C：的一个焦点为．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，且，求直线l的方程．(3)设M是椭圆C上的点，，为椭圆的焦点，，求的面积．【答案】(1)(2)直线方程或.(3)【详解】（1）由题知，，椭圆.（2）设直线方程为，点，，由方程组，化简得：，，可得.，，解得，直线方程或.

（3）由题意得，设，则根据椭圆定义知，在中利用余弦定理知，即，解得，所以.

4．（2023春·上海长宁·高二校考期中）已知椭圆经过点，其左焦点为；过F点的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴的正半轴于点M；

(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l过点F且斜率存在，设斜率为k，求弦长关于k的函数解析式；(3)过点F且与l垂直的直线交椭圆于C，D两点，若四边形的面积为，求直线l的方程；【答案】(1)(2)(3)直线为或.【详解】（1）由题意，且，又，可得，所以.（2）由（1）知：直线为，联立椭圆整理得，由题意，则，，.（3）由（2）易知，则，所以，

整理得：，即，所以或(负值舍去)，所以直线为或.题型八：椭圆中定点、定值问题典型例题例题1．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知半椭圆和半圆组成曲线.如图所示，半椭圆内切于矩形，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.

(1)求曲线的方程；(2)连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证：为定值.【答案】(1)和；(2)证明见解析.【详解】（1）由点M在半圆上，得，又，解得，当半圆在点M处的切线与直线AG平行时，的面积最大，此时，直线的斜率，则直线的斜率，则，所以曲线的方程为和.（2）由（1）及已知得，，设，则直线方程为，令，得，即，直线方程为，令，得，即，又，，，所以.例题2．（2023春·浙江·高二校联考开学考试）已知椭圆：．(1)直线：交椭圆于，两点，求线段的长；(2)为椭圆的左顶点，记直线，，的斜率分别为，，，若，试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)直线过定点【详解】（1）

将直线与椭圆方程联立，即，得，即，故；（2）设直线：，，，由得，，，又，，故，由，得，故或，①当时，直线：，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线：，过定点，，符合题意．例题3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知椭圆与椭圆的离心率相同，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍．(1)求实数和的值；(2)若梯形的顶点都在椭圆上，，，直线与直线相交于点．且点在椭圆上，证明直线恒过定点．【答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1）由椭圆方程可得其焦距为，离心率为；由椭圆可得其焦距为，离心率为；由题意知：，解得：（舍）或，，.（2）设，，，则，，，分别为的中点，，，，，，，，即，同理可得：，直线的方程为，直线恒过定点.

精练核心考点1．（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线，与轴交于点，与椭圆相交于点，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）分别是椭圆的右顶点和上顶点，，可得，因为，所以，直线的斜率为，所以，解得，所以椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，则，与椭圆方程联立可得，由得，设，可得，，所以为定值.

2．（2023秋·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，，离心率为．点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线、分别与椭圆C交于点A、B，的周长为8．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，，求证：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）∵，∴，由离心率为得，从而，所以椭圆C的标准方程为．（2）

设，，则，可设直线PA的方程为，其中，联立，化简得，则，同理可得，．因为，．所以，所以是定值.3．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆过点，且上顶点与右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若过点的直线交椭圆于两点，轴上是否存在点使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在；点【详解】（1）椭圆上顶点与右顶点的距离为，；又椭圆过点，；两式联立可解得：，，椭圆的方程为：.（2）当直线与轴不重合时，设其方程为，，由得：，则，解得：或，，，假设存在点使得，即存在点使得，

设点，则，，，又，，解得：，；当直线与轴重合时，分别为椭圆左右顶点，若，此时显然成立；综上所述：轴上存在点满足题意．题型九：椭圆中定直线问题典型例题例题1．（2023秋·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知椭圆：的长轴长为4，短轴长与焦距相等.(1)求椭圆的标准方程和离心率；(2)已知直线与椭圆有两个不同的交点，，，是否存在实数，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)；离心率是(2)存在，直线方程【详解】（1）由条件可知，，，，且，所以，离心率，椭圆的标准方程：，离心率是；（2）直线与椭圆有两个不同的交点，设，，联立方程，得，，解得：或，，，中点横坐标，中点纵坐标，设的中点为若是以为底边的等腰三角形，则，即，解得：或（舍）所以存在实数，使得是以为底边的等腰三角形，直线方程是.例题2．（2023·新疆克拉玛依·克拉玛依市高级中学校考模拟预测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，，且的面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.（2）解：由（1）知，，所以，即，当直线的斜率为时，此时，不合题意，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得或，当时，直线过点，不符合题意，所以直线的方程为．例题3．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知椭圆C:的上下顶点分别为，过点P且斜率为k(k<0)的直线与椭圆C自上而下交于两点，直线与交于点.(1)设的斜率分别为，求的值;(2)求证：点在定直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设，，，，所以.（2）设，得到，，，直线，直线，联立得:，法一：，解得.法二：由韦达定理得，.解得，所以点在定直线上.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，．(1)求椭圆的方程．(2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)直线AD与直线BE的交点在定直线上【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，，，解得，∴，∴，，，∴椭圆的方程为．（2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为．联立椭圆方程，消去得．设，，则，．∴，又，，∴直线AD的方程为，直线BE的方程为．联立得，∴．又∵，∴．∴直线AD与直线BE的交点在定直线上．2．（2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切.(1)求椭圆的方程；(2)过的直线交椭圆于两点（异于点，)，直线，相交于点.证明：点在一条平行于轴的直线上.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：由题可知，，，，为等腰直角三角形，，又直线与圆相切，所以原点O到直线的距离为，因为直线的方程为，即，所以，解得，又，所以椭圆C的标准方程为.（2）解：由过的直线不过，，所以，设直线方程为，把代入，得，所以，，即，设，，则，，因为直线的方程为，直线的方程为设直线和的交点为，所以，，把及代入上式，得，即，整理得，故点Q在一条平行于x轴的直线上，得证.3．（2023春·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知椭圆过点，且离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线与椭圆交于不同的两点P，Q，那么在x轴上是否存在点M，使且，若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)详见解析【详解】（1）由条件可知，，解得：，，所以椭圆C的方程是；（2）假设在轴上存在点，使且，联立，设，，方程整理为，，解得：或，，，则线段的中点的横坐标是，中点纵坐标，即中点坐标，，则，即，化简为，①又,则，，整理为，，化简为②由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得，即，整理得，即.当时，，当时，，满足，所以存在定点,此时直线方程是，当定点,此时直线方程是.题型十：椭圆中向量问题典型例题例题1．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，在方程中，令，解得，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，所以有，由可得：，所以椭圆的方程为；（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有