2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第01讲 集合（解析版）

第01讲集合目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：题型篇 1题型一：重点考查集合元素的互异性 1题型二：重点考查集合的列举法描述法 3题型三：重点考查包含关系（分类讨论+数轴工具） 5题型四：重点考查集合的并交补（数轴工具） 9题型五：高观点下的集合新定义问题 12第二部分：方法篇 16方法一：图的实际应用 16方法二：分类讨论的数学思想 19第三部分：易错篇 21易错点一：子集关系空集优先考虑 21第一部分：题型篇题型一：重点考查集合元素的互异性典型例题例题1．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知集合，，若，则实数组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，或，解得或或，故实数组成的集合为.故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数_______.【答案】4或【详解】∵，∴，即，此时符合题意；，即，此时，不满足元素的互异性，故舍去；，即，经检验符合题意；综上，或.故答案为：4或.例题3．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_____．【答案】1【详解】因为，显然，故，则；此时两集合分别是，则，解得或.当时，不满足互异性，故舍去；当时，满足题意.所以故答案为：.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），此时，符合题意；综上所述：.故选：A.2．（2023·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由知：，当，即，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；当，即或，若，则，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；若，则，，满足要求.综上，.故选：A3．（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳市第一中学校考期末）若集合与满足，则实数__________.【答案】0或【详解】∵，∴或解得，或故答案为：0或题型二：重点考查集合的列举法描述法典型例题例题1．（2023·江苏·统考一模）设，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，因为，所以集合是由所有奇数的一半组成，而集合是由所有整数的一半组成，故.故选：B例题2．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）下列与集合表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由解得或，所以，C正确；选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，故选：C例题3．（2023·高一单元测试）若集合，用列举法表示______．【答案】【详解】集合，则是6的正约数，而6的正约数有1，2，3，6，当时，，当时，，当时，，当时，，所以.故答案为：精练核心考点1．（2023·广西南宁·统考一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题可知而；根据并集运算可得，故选：C．2．（2023秋·四川雅安·高一统考期末）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】.故选：C.3．（2023春·江西·高三校联考开学考试）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，故故选：B4．（2023·高一课时练习）把集合用列举法表示出来_______________.【答案】【详解】因为且，所以x的所有取值为4,5,6，故答案为：题型三：重点考查包含关系（分类讨论+数轴工具）典型例题例题1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考一模）已知集合，若，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】集合，又，，所以，故实数a的取值集合为，故选：C.例题2．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知集合，且，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得：，若，则.故选：B.例题3．（2023·高一课时练习）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.【答案】(1)5(2)【详解】（1）因为，且，所以或，解得或，故.（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，所以.当时，，满足题意；当时，当时，，解得，满足题意；当时，且，此时无解；当时，且，此时无解；当时，且，此时无解；综上，a的取值范围为.例题4．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）已知集合，集合．(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由，解得，所以，若，则，所以；（2）当时，，则满足题意，当时，，因为，所以，解得，综上实数的取值范围是.精练核心考点1．（2023·陕西·校联考模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，，且，所以.故选：B2．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）设集合，，则下列判断正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为集合，，所以，，所以选项A,B,D均不正确，因为中的所有元素可表示为，满足集合中元素的表示形式，故，所以，故C正确，故选：C3．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知，，全集(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，所以或，又，所以.（2）由题可得：当时，有，解得a的取值范围为；当时有，解得a的取值范围为，综上所述a的取值范围为.4．（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）设集合，.(1)若，试用区间表示集合、，并求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2).【详解】（1）解：当时，由得，解得，所以.由得，则有，解得，所以.因此.（2）解：由得，解得，所以.由（1）得，由于，所以，解得.所以实数的取值范围是.题型四：重点考查集合的并交补（数轴工具）典型例题例题1．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）若集合，，则的元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【详解】，，且，，又，则，的元素个数为3个．故选：例题2．（多选）（2023秋·高一单元测试）图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】AD【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，所以选项AD正确，选项CD不正确，故选：AD.例题3．（2023春·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）集合，.(1)用区间表示集合；(2)若，，求，的取值范围.【答案】(1)(2)，【详解】（1）由，有，解得或，∴；（2），，对于，可得，又，解得或；∵，得，，∴a，b的取值范围是，；综上，，，.例题4．（2023秋·重庆江北·高一校考期末）集合.(1)当时，求；(2)问题：已知______，求的取值范围.从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答.（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①；②；③.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由题知，，因为，解得，所以，当时，，所以.（2）选①或②，由题知，由（1）得，，由题得，，当时，，解得，当时，，解得，综上，或.选③，当时，，解得，当时，，或，解得，或，综上，或.精练核心考点1．（2023·河南开封·开封高中校考一模）已知全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，又因为，所以.故选：D.2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】函数的定义域为，所以，结合交集的定义可得.故选：B.3．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）集合，集合.(1)当时，求，；(2)若，求实数m的取值范围.【答案】(1)，(2)（【详解】（1）解不等式，得，所以，当时，则，所以，；（2）因为，所以当时，，即，此时；当时，，则，解得:，综上所述，实数m的取值范围是.4．（2023春·浙江杭州·高一校联考阶段练习）已知集合，集合.(1)若，求；(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由，即，解得，即；当时，由得，故，所以.（2）因为，所以，若，得；若，有，得，综上，故.题型五：高观点下的集合新定义问题典型例题例题1．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意得，或，则，故选：C例题2．（多选）（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（

）A．是一个戴德金分割B．没有最大元素，有一个最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．没有最大元素，也没有最小元素【答案】BD【详解】对于A，因为，，故A错误；对于B，若，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则，则，而内也有有理数，则，故C错误；对于D，若，，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，故选：BD例题3．（多选）（2023·高一课时练习）群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“·”是上的一个代数运算，即对所有的，，有，如果的运算还满足：①，有；②，使得，有，③，，使，则称关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（

）A．关于数的乘法构成群B．关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群D．关于数的加法构成群【答案】CD【详解】对于A：若，对所有的a、，有，满足乘法结合律，即①成立，满足②的为1，但当时，不存在，使得，即③不成立，即选项A错误；对于B：因为，且，但，所以选项B错误；对于C：若，对所有的a、，有，满足加法结合律，即①成立，满足②的为0，，，使，即③成立；即选项C正确；对于D：若，所有的、，有，成立，即①成立；当时，，满足的，即②成立；，，使，即③成立；即选项D正确.故选：CD.精练核心考点1．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】结合新定义可知，又，所以．故选：A2．（多选）（2023秋·云南德宏·高三统考期末）在整数集中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．整数属于同一“类”的充要条件是“”【答案】BCD【详解】对于A，由得，故A错误；对于B，由得，故B正确；对于C，所有整数被4除所得的余数只有四种情况，即刚好分成共4类，故，故C正确.对于D，若整数属于同一“类”，则，故，所以；反之，不妨设，则，若，则，即，所以整数属于同一“类”；故整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D正确.故选：BCD.3．（2023·高一课时练习）定义：若对非空数集中任意两个元素、，实施“加减乘除”运算（如、、、），其结果仍然是P中的元素，则称数集是一个“数域”.下列四个命题：①有理数集是数域；②若有理数集，则数集是数域；③数域必是无限集；④存在无穷多个数域；上述命题错误的序号是_________.【答案】②【详解】解：根据题意，由数域的定义可知，对于①，从有理数集中任取两个有理数、，则、、、都是有理数，故有理数是数域，故命题①正确；对于②，已知有理数集，若,则,此时数集不是数域，故命题②错误；对于③，设数域，(假设)，则，则，同理，故数域必为无限集，所以命题③正确；对于④，形如为无理数这样的数集都是数域，故存在无穷多个数域，所以命题④正确，所以上述命题错误的序号是：②.故答案为：②.第二部分：方法篇方法一：图的实际应用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）向某50名学生调查对，两事件的态度，其中有30人赞成，其余20人不赞成；有33人赞成，其余17人不赞成；且对，都不赞成的学生人数比对，都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对，都赞成的学生人数为（

）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】D【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，由Venn图可知，，即，解得，所以对A，B都赞成的学生有21人.故选：D例题2．（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.那么只参加游泳一项比赛的有____人.【答案】9【详解】只参加游泳一项比赛的有：.故答案为：例题3．（2023·高一单元测试）高一某班有学生人，其中参加数学竞赛的有人，参加物理竞赛的有人，另外有人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．【答案】【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为，以集合表示该班集体，集合表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得，解得.故答案为：.精练核心考点1．（2023·河北廊坊·高一校考阶段练习）七宝中学2020年的“艺术节”活动正如火如荼准备中，高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下：参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三；参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3人；两个节目都参加的人数比两个节目都不参加的学生人数少7人，则此班的人数为______.【答案】40【详解】设为七宝中学高一某班全体学生，集合参加大舞台的学生，集合参加风情秀的学生，设两个节目都参加的人数为，只参加风情秀的人数为，两个节目都不参加的人数为，只参加大舞台的人数为，则由参加风情秀的人数占该班全体人数的八分之三，得，解得，所以总的人数为人.故答案为：2．（2023·北京通州·高一统考）为了方便居民购买新鲜、安全、价廉的蔬菜，某社区搭建从“菜园子”到“菜篮子”的直通车，建起多家“社区直销店”，不仅便利了居民生活，也提高了农民收入.某“社区直销店”第一天直销蔬菜种，第二天直销蔬菜种，第三天直销蔬菜种.其中，前两天直销的蔬菜中有种相同，后两天直销的蔬菜中有种相同.第一天直销但第二天没直销的蔬菜有__________种，这三天直销的蔬菜最少有__________种.【答案】

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29【详解】设分别表示第一天，第二天，第三天直销蔬菜品种所组成的集合，三天中直销相同的蔬菜有种，第一天与第三天直销的蔬菜有种相同，依题意可得如下的图，第一天直销但第二天没直销的蔬菜有种，因为图中所标注的各数均为自然数，所以，，这三天直销的蔬菜品种有：，又因为，所以，所以这三天直销的蔬菜最少有29种.故答案为：16；293．（2023·河南洛阳·高一校考阶段练习）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有___________人?只参加游泳一项比赛的有___________人?【答案】

3

9【详解】解：如图所示：设A={游泳}，B={田径}，C={球类}，由题意得：，，所以，则，，所以，所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人，故答案为：3，9方法二：分类讨论的数学思想典型例题例题1．（2023·湖南湘潭·高一校联考期末）设全集，，．(1)若，求．(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）当时，，，所以或，；（2