2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第03讲 空间向量及其应用（原卷版）

第03讲空间向量及其应用目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：空间向量的线性运算 1题型二：共线、共面向量定理的应用 3题型三：求数量积 6题型四：求长度 9题型五：求夹角 12题型六：向量的投影和投影向量 16题型七：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数 18题型八：求平面的法向量 20题型九：利用空间向量证明平行与垂直 21题型一：空间向量的线性运算典型例题例题1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点在上，且满足，为的中点，则（

）

A． B． C． D．例题2．（2023春·广东·高二统考阶段练习）在三棱柱中，，若点为的中点，则（

）A． B．C． D．精练核心考点1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）三棱锥中，M是平面BCD内的点，则以下结论可能成立的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·高一单元测试）下列条件能使点与点一定共面的是（

）A．B．C．D．题型二：共线、共面向量定理的应用典型例题例题1．（2023春·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（

）A． B．1 C． D．例题2．（2023春·福建莆田·高二统考期末）若点平面，且对空间内任意一点满足，则的值是（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·高二课时练习）对于空间任意一点，以下条件可以判定点､共线的是（填序号）.①；②；③；④.精练核心考点1．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体中，点E是上底面的中心，若，求的值．3．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则．题型三：求数量积典型例题例题1．（2023·江苏·高二专题练习）如图，各棱长都为的四面体中，，则向量（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是．精练核心考点1．（2023春·陕西西安·高一长安一中校考期末）在正三棱锥中，是的中心，，则等于（

）A． B． C． D．2．（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知，，，则.3．（2023春·高二课时练习）如图,在直三棱柱(即平面),,,求题型四：求长度典型例题例题1．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在平行六面体中，，，，，为中点，则的长为（

）

A． B． C． D．例题2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量，若与垂直，则（

）.A． B． C． D．例题3．（2023春·陕西宝鸡·高一宝鸡中学校考期末）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.

(1)用，，表示；(2)求.精练核心考点1．（2023·江苏·高二专题练习）已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是，则.2．（2023春·陕西安康·高二校联考期末）已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则．3．（2023春·福建漳州·高二统考期末）已知空间向量，若，则（

）A．5 B． C． D．4．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）在空间直角坐标系中，若，，且，则（

）A． B．C． D．题型五：求夹角典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在平行六面体中，，且，则的余弦值是.例题2．（2023秋·高二课时练习）已知，则直线与的夹角为（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·高二课时练习）已知，则．例题4．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）已知空间向量，，，，．(1)求，，；(2)求与所成角的余弦值．精练核心考点1．（2023·上海·高三专题练习）已知向量，向量，则与的夹角的大小为.2．（2023春·四川成都·高二统考期中）已知，，且，则向量与的夹角为3．（2023·江苏·高二专题练习）如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为.4．（2023春·高二课时练习）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值.题型六：向量的投影和投影向量典型例题例题1．（2023春·甘肃临夏·高二统考期末）已用，，则在方向上的投影向量为．例题2．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是.精练核心考点1．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）已知向量，，则在方向上的投影向量为．2．（2023秋·高一单元测试）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是．3．（2023·江苏·高二专题练习）已知向量，，则在上的投影数量为题型七：空间向量夹角为钝角（锐角）求参数典型例题例题1．（多选）（2022秋·高二单元测试）已知，且与夹角为钝角，则的取值可以是（）A．-2 B．1 C． D．2例题2．（2023春·河南焦作·高一统考期中）若向量的夹角为锐角，则实数的范围是（

）A． B．(，4)C． D．(，1)精练核心考点1．（2022·高二课时练习）已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是．2．（2022春·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考期末）已知、是相互垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是.3．（2022秋·辽宁大连·高二大连市第三十六中学校考期中）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是.题型八：求平面的法向量典型例题例题1．（2023·江苏·高二专题练习）若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是（

）A． B．C． D．例题2．（2023·全国·高二专题练习）若点，，，则平面的一个法向量．精练核心考点1．（多选）（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）（多选）已知，是平面内的两个向量，则平面的一个法向量可以是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高二专题练习）已知三点、、，则平面的法向量可以是．（写出一个即可）题型九：利用空间向量证明平行与垂直典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，线段的中点为且底面，，，是的中点．证明：平面.例题2．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且.求证：平面平面.例题3．（2023秋·广西玉林·高二统考期末）如图，在棱长为2的正方体中，分别为，的中点，点在上，且．(1)求证：；(2)求与所成角的余弦值．