2025年高考数学复习核心考点全题型突破（新教材新高考）第01讲 函数的概念及其表示（解析版）

第01讲函数的概念及其表示目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：题型篇 2题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数） 2题型二：重点考查函数定义域中的参数问题 5题型三：重点考查求函数的解析式 7题型四：重点考查分段函数求值及参数问题 9题型五：重点考查分段函数单调性问题 11题型六：重点考查分段函数不等式问题 14题型七：重点考查分段函数值域问题 18题型八：重点考查分段函数零点问题 20第二部分：方法篇 26函数值域问题方法一：判别式法 26函数值域问题方法二：分离常数法 28函数值域问题方法三：基本不等式法 30函数值域问题方法四：分类讨论法 32第三部分：易错篇 35易错一：换元必换范围 35第一部分：题型篇题型一：重点考查函数的定义域（具体函数，抽象函数）典型例题例题1．（2023春·河北·高二统考学业考试）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【详解】由函数的定义域是，可得，从而，解得，所以函数的定义域是又，得，函数的定义域是且故选：A.例题2．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）求函数的定义域为_________．【答案】【详解】函数有意义，则，即，解，得，解，得，于是，所以所求定义域为.故答案为：例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域是_______．【答案】【详解】令，则，在上单调递增，，，，的定义域为.故答案为：.例题4．（2023·高一课时练习）已知函数的表达式，求函数的定义域．【答案】答案见解析【详解】注意到当时，或，得函数定义域是；当时，，得函数定义域是；当时，或，得函数定义域是．综上：当时，函数定义域是；当时，函数定义域是；当时，函数定义域是．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为A． B． C． D．【答案】D【详解】函数f（x）的定义域为,由0≤2x≤6，解得0≤x≤3．又x-3≠0，所以函数的定义域为．故选：D．2．（2023·北京·校考模拟预测）函数的定义域为______________．【答案】【详解】因为函数则，解得且所以函数的定义域为故答案为:3．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）函数的定义域为______．【答案】【详解】根据题意，得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）设，则的定义域为_______.【答案】【详解】由得，故且，,或解得：.故答案为：题型二：重点考查函数定义域中的参数问题典型例题例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立，当时，，得，不合题意，当时，则，解得，综上实数的取值范围为，故选：C例题2．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意可知，函数的定义域为，所以不等式在上恒成立.当时，当时，，所以不等式在上恒成立显然不成立，当时，则满足，解得，综上，实数的取值范围是.故选：B.例题3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．【答案】【详解】的定义域是R，则恒成立，时，恒成立，时，则，解得，综上，．故答案为：．精练核心考点1．（2023·高一课时练习）已知函数，若此函数的定义域为，求实数的取值范围．【答案】【详解】解：由题知，由题意知，则，因为函数的定义域为所以，，解得.所以，2．（2023·高一课时练习）若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是___________．【答案】【详解】∵函数的定义域为R，∴在R上恒成立，①当时，符合题意，②，由，则，解得：，∴综上所述，故答案为：．3．（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.【答案】【详解】因为函数的定义域为R，所以的解为R，即函数的图象与x轴没有交点，（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.综上：实数的取值范围是.故答案为：题型三：重点考查求函数的解析式典型例题例题1．（2023·高一课时练习）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为令，所以所以故选：C.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知可得，解得，其中，因此，.故选：C.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________【答案】或.【详解】因为为一次函数，所以设，所以，因为，所以恒成立，所以，解得：或，所以或，故答案为：或.例题4．（2023春·内蒙古呼和浩特·高一统考阶段练习）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求的解析式．【答案】（1）；（2）【详解】（1）令，则，故，所以；（2）由题设①，结合②，3×①②得：，故.精练核心考点1．（2023·高一课时练习）若，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：已知，令，则，，，.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知求的解析式【答案】【详解】令，则，代入，得，即3．（2023·全国·高三专题练习）若对任意实数，均有，求___________【答案】/【详解】∵（1）∴（2）由得，∴.故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数满足，则___________.【答案】/【详解】解：因为①，所以②，②①得，．故答案为：．题型四：重点考查分段函数求值及参数问题典型例题例题1．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数，若，则实数的值是（

）A．或5 B．3或 C．5 D．3或或5【答案】A【详解】若，则，∴（舍去），若，则，∴，综上可得，或.故选：A．例题2．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数，则___________．【答案】/【详解】因为，且，则.故答案为：.例题3．（2023春·江西上饶·高一江西省余干中学校考阶段练习）若函数，则___．【答案】【详解】由题，当时，，结合，则可得时，.即时，.则.又，则.故答案为：.精练核心考点1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数若，则实数（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】根据题意，当时，，不符合题意；当时，，解得；当时，，不符合题意；当时，，不符合题意．故选:B．2．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数，则________．【答案】/【详解】解：由题知，.故答案为：3．（2023春·江苏南京·高一江苏省高淳高级中学校联考阶段练习）已知函数则________．【答案】【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：题型五：重点考查分段函数单调性问题典型例题例题1．（2023秋·广东清远·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意,函数，若在上单调递增,必有，解得，所以的取值范围为.故选：C例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由解析式易知：在R上递增，又，所以，则.故选：D例题3．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市第十七中学校联考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】不妨设，由，因此该函数是实数集上的增函数，于是有，故选：B例题4．（2023春·新疆阿克苏·高一校考阶段练习）已知且，函数，满足时，恒有成立，那么实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数满足时，恒有成立，即函数满足时，恒有成立，所以函数在上单调递增，所以，解得.故选：D.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上单调，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】的开口向下，对称轴是直线，所以函数在上单调递增，依题意可知，在上单调递增，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D2．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试）已知是上的增函数，则实数a的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】因为是上的增函数，所以，解得，即实数的取值范围是故选：.3．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对任意，都有成立，即时，恒成立，∴是增函数，∴，解得,故选：B．4．（2023秋·湖南湘潭·高一校联考期末）已知是上的减函数，那么的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】依题意，在上递减，所以，解得.所以AC选项符合，BD选项不符合.故选：AC题型六：重点考查分段函数不等式问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】令，则即为，当时，，故无解，当时，即为，在同一平面直角坐标系下画出和的大致图像如图，由图可得当且仅当时，，综上所述，的解为，又，所以，当时，，故，解得：，所以，当时，，故，解得：，所以，综上所述，不等式的解集是.故选：D.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】当时，，，且在上递增，当时，，，且在上递增，所以在上有，且函数是上的增函数，于是原不等式可化为，，，得解得，故选：B例题3．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知函数，则___________；若，则实数的取值范围是___________.【答案】【详解】解：由，得，所以，因为都是减函数，且当时，，所以函数是上的减函数，则，即为，解得.故答案为：；.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知，满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：当时，，所以，即，解得，当时，，所以，即，解得，所以，的取值范围是故选：D2．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】依题意，当时，由得：，解得，则，当时，由得：，即0<x-1≤2，解得，则，所以不等式的解集为.故选：A3．（2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设函数，则满足的的取值范围是__________.【答案】【详解】当时，，则在时无解；当时，，在单调递增，时，则的解集为；当时，，则在时恒成立；综上，的解集为.故答案为：．题型七：重点考查分段函数值域问题典型例题例题1．（2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意知当时，，由于函数的值域为，故时，的取值范围应包含，故此时，且，故，即实数a的取值范围是，故选：D例题2．（2023春·广东广州·高一广州市第五中学校考阶段练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围是____________．【答案】【详解】当时，由于为上的增函数，其值域为；当时，为顶点在开口向上的抛物线，对称轴.i.若，则二次函数的最小值为.要使的值域为R，只需：，解得：.所以；ii.若，则二次函数在上单调递增，所以最小值为.要使的值域为R，只需：，解得：.所以；综上所述：实数t的取值范围是.故答案为：例题3．（2023春·全国·高一校联考开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围为______．【答案】【详解】当时，的值域为；记，的值域为，的值域为，；当，即时，在上单调递增，，解得：，；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，，解得：或，或；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.精练核心考点1．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）已知函数，若是的最小值，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由已知可得，，所以，解得.当时，，显然在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，于题意不符；当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，且满足，所以有是的最小值.故选：A.2．（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】当时，；当时，.因为原函数的值域为，即，则，解得.故答案为：.3．（2023秋·山东聊城·高一校联考期末）已知函数的值域是R，则实数的最大值是______．【答案】【详解】当时，．因为的值域为，则当时，．当时，，故在上单调递增，，即，解得，即的最大值为．故答案为：．题型八：重点考查分段函数零点问题典型例题例题1．（2023春·河南洛阳·高二统考期中）已知函数，若函数有唯一零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，单调递减；当时，，当时，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取得极大值，，并且有，函数得大致图象如图：由图可知：只有1个零点，则必须：或；故选：D.例题2．（多选）（2023秋·山东德州·高一统考期末）已知函数，若（互不相等），则的值可以是（

）A．-2 B． C． D．-1【答案】BC【详解】图象如图所示，令，则有，则有.又，∴，故.故选：BC例题3．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习）已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围是__________．【答案】【详解】令，得或，画出的大致图象．设，由图可知，当或时，有且仅有1个实根；当或时，有2个实根；当时，有3个实根．则恰有4个不同的零点等价于或或或解得或．故答案为：例题4．（2023·北京·北师大实验中学校考模拟预测）已知函数，则的最小值是__________，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的取值范围是__________．【答案】【详解】函数，由可知，时，函数有最小值；函数，由，得，则，此时函数最小值为.所以函数的最小值是.方程有且仅有四个不同的实数解,即函数的图像与函数的图像有四个不同的交点，作出函数的图像，由a为整数，如图所示，只有函数和的图像与函数的图像有四个不同的交点，所以整数a的取值范围是.故答案为：；精练核心考点1．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】令可得，当时，，当时，的图象与关于轴对称，所以作出函数与函数的图象如下图所示：由上图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点.因此，实数的取值范围是.即实数的最小值为1.故选：D2．（2023春·湖南邵阳·高二邵阳市第二中学校考期中）已知函数，若对任意实数，总存在实数，使得，则实数的取值范围是___．【答案】【详解】因为函数在定义域上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增，要使对任意实数，总存在实数，使得，即函数的值域为，当时在上单调递增，在上也单调递增，则只需，解得；当时在上的最小值为，则只需要，解得；综上可得，即实数的取值范围是.故答案为：3．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知函数①函数的零点个数为__________．②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________．【答案】1【详解】第一空：当时，可知有一个零点；当时，有一个零点；当时，可知有一个零点；综上函数的零点个数为1个.第二空：如图所示，当时，若要满足题意需，得；当时，不符题意；如图所示，当时，若要满足题意需，得；综上m的取值范围是：故答案为：1；4．（2023秋·湖南郴州·高一统考期末）已知，函数，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是__________.【答案】【详解】解：函数，函数图象如下图所示：方程，若，即；若，得，；结合图象可知：当时，方程仅有一个实数解；当时，方程恰有两个实数解，；当时，方程恰有三个实数解，，；当时，方程恰有两个实数解，；综上，若方程恰有2个实数解，则的取值范围是.故答案为：.第二部分：方法篇函数值域问题方法一：判别式法典型例题例题1．（2022·北京·高三强基计划）函数的值域为（

）A． B．C． D．以上答案都不对【答案】C【详解】设题中函数为，则，当时，；当时，视其为关于x的二次方程，判别式，综上，故值域为．故选：C.例题2．（2023高一课时练习）函数的值域为________.【答案】【详解】由得：，的定义域为，由得：，即…①当时，①式不成立，，解得：，值域为.故答案为：.例题3．（2023·江苏·高三专题练习）求函数的值域．【答案】【详解】由题意得：函数的定义域为则，即：当时，不成立

，解得：函数值域为：精练核心考点1．（2023·浙江衢州·高一校考阶段练习）函数的值域是______．【答案】【详解】由题知函数的定义域为，所以，将整理得，所以，当时，；当时，，解得，所以，，即函数的值域是故答案为：2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（a、x为实数且、）可取任意实数（即函数的值域为一切实数），求参数a的取值范围.【答案】.【详解】解：把去分母，整理可得.①当时，上式为.且，且.②当时，是实数，由方程①得，即，③不等式③对任意实数y都成立，，解之，得.④于是由②、④可知α的取值范围是.函数值域问题方法二：分离常数法典型例题例题1．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为又，所以，所以所以，则的值域．故选：C．例题2．（2023·天津滨海新·高一校考期中）已知函数．(1)求函数的值域；【答案】(1)(2)【详解】（1）对于，有，，，即；精练核心考点1．（2023·浙江·高一浙江省普陀中学校联考期中）已知函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】，因为函数在上单调递减，所以当时，函数取得最小值，所以，当时，函数取得最大值，所以，所以函数的值域是.故选：D.2．（2023·高一课时练习）函数的定义域是______，值域是______．【答案】【详解】由可得,函数的定义域为,又,，所以函数的值域为；故答案为：；.函数值域问题方法三：基本不等式法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设二次函数在上有最大值，最大值为，当取最小值时，（

）A．0 B．1 C． D．【答案】A【详解】在上有最大值，且当时，的最大值为，即且，当且仅当时，即时，有最小值2，故选：A．例题2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知实数满足，，则的最小值为__________.【答案】2025【详解】，因为，所以，，，故，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故，即的最小值为2025.故答案为：2025.精练核心考点1．（2023春·吉林·高二四平市实验中学校考阶段练习）函数的最小值为___________．【答案】﹣2【详解】函数，所以函数是奇函数，当x∈（0，2]时，，当且仅当x=1时取等号，所以x∈（0，2]时，函数的最大值为2．所以函数，x∈[﹣2，2]的最小值为：﹣2．故答案为：﹣2．2．（2023春·上海虹口·高三统考期中）对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.【答案】【详解】因为为上的奇函数，所以，所以，又当时，，所以，当且仅当时等号成立，即当时，，因为为上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以时，，所以函数的值域为.故答案为：.函数值域问题方法四：分类讨论法典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）当时，求的最大值（为常数，结果可用来表示）．【答案】【详解】为开口向上的二次函数，且对称轴为，当时，，此时二次函数在上单调递减，故当时，，当时，且，此时二次函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，当时，且，此时二次函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，当时，此时二次函数在上单调递增，故当时，，综上可知：设的最大值为，则.例题2．（2023·上海闵行·高一校考期中）已知函数严格单调，且的最大值为8，求实数的值.【答案】【详解】，对称轴为，开口向上，当时，在上单调递增，故当时，取得最大值，，解得：，满足，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，取得最大值，由，解得：，与矛盾，舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，取得最大值，由，解得：，与矛盾，舍去；当时，在上单调递减，故当时，取得最大值，，解得：，与矛盾，舍去；综上：.例题3．（2023·陕西宝鸡·高一统考期中）已知函数．(1)当时，求函数在上的最大值与最小值；(2)若在上的最大值为4，求实数的值．【答案】(1)最小值为0，最大值为9(2)或﹣1【详解】（1）当时，，对称轴为，故当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取得最小值，