2021-2022学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列四个图形中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．2．（2分）如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC3．（2分）下列各组数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）A．1，， B．3，4，7 C．2，3，4 D．，，4．（2分）等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或105．（2分）到三角形三个顶点距离都相等的点是（）A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AC＝5，则正方形ABDE和正方形CBGF的面积差为（）A．10 B．15 C．20 D．257．（2分）在△ABC中，∠ACB为钝角，用无刻度的直尺和圆规在边AB上确定一点P，使∠BPC＝2∠A，下列作法正确的是（）A． B． C． D．8．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上（包括顶点），且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为14，若AB＝5，BC＝4，AC＝．10．（2分）如图，l垂直平分线段AB，垂足为点C，P为直线l上一点，连接PA．若PA＝5，PC＝4，则BC＝．11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，BD＝5，则点D到边AC的距离为．12．（2分）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高线长为．13．（2分）若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为．14．（2分）如图，四边形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，P是边AD的中点．若BC＝3，AD＝8，则△BPC的周长为．15．（2分）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF．若∠DFC＝70°，则∠DEF＝°．16．（2分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，AD＝5，EF＝2，则CD的长为．17．（2分）如图，在一个直角三角形ABC纸片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，将其折叠，恰使边AB落在斜边AC上，点B落在点E处，折痕交边BC于点F，则BF的长为cm．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，线段AD＝10，连接BD，△ABC绕点A顺时针旋转一周，在运动过程中，当B、C、D三点在同一条直线上时，则BD的长为．三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）如图，点C、E在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：BE＝CF．20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．21．（8分）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．22．（8分）如图，一棵高5.4m的大树被台风刮断，测得树梢着地点到树根的距离BC＝3.6m，求大树折断处离地面的高度AB．23．（6分）已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM．（2）如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等．24．（9分）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点．求证：△ABC是等腰三角形．小明的证法：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵①，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D为BC中点，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴②．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．请把小明的证法补充完整，并用不同的方法完成证明．25．（9分）如图①，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AE、BD，连接DA并延长交BC于点F，AE＝CE．（1）求证：△DBC≌△EAC；（2）如图②，作△ADE的边AD上的高线EG，交BA的延长线于点P，求证：PB＝PE．26．（10分）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，正方体的棱长为2cm，A是正方体的顶点，P为棱BC的中点．蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长为cm（结果保留根号）．（2）如图②，四棱锥的底面四边形ABCD是正方形，O是四棱锥的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．图③所示的四棱锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径，并求出它的长（结果保留根号）．（3）图④中的几何体是由底面相同的正方体和四棱锥组成．正方体的棱长为acm，M是正方体的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，O是四棱锥的顶点，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．正方体的侧面展开图如图⑤所示，在图中画出蚂蚁从点M爬行到点P的最短路径的示意图，并写出求最短路径的思路．

2021-2022学年江苏省南京市玄武区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）下列四个图形中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：B．2．（2分）如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC【解答】解：A、根据ASA（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；B、根据SAS（∠A＝∠A，AB＝AC，AE＝AD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；D、根据AAS（∠A＝∠A，AB＝AC，∠AEB＝∠ADC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；故选：C．3．（2分）下列各组数作为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是（）A．1，， B．3，4，7 C．2，3，4 D．，，【解答】解：A、12+（）2＝（）2，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；B、32+42≠72，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；D、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．故选：A．4．（2分）等腰三角形两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形；②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，综上所述，三角形的周长为10．故选：C．5．（2分）到三角形三个顶点距离都相等的点是（）A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点【解答】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：B．6．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．若AC＝5，则正方形ABDE和正方形CBGF的面积差为（）A．10 B．15 C．20 D．25【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∴AB2﹣BC2＝AC2＝25，∴正方形ABDE和正方形CBGF的面积差为AB2﹣BC2＝25．故选：D．7．（2分）在△ABC中，∠ACB为钝角，用无刻度的直尺和圆规在边AB上确定一点P，使∠BPC＝2∠A，下列作法正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：如图，连接PC，∵∠BPC＝2∠A，且∠BPC＝∠A+∠ACP，∴∠A＝∠ACP，∴PA＝PC，∴点P是线段AC中垂线上的点，故选：A．8．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上（包括顶点），且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：如图，∵△MNP是等腰三角形，∴符合条件的点P的个数有4个，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．（2分）已知△ABC≌△DEF，且△DEF的周长为14，若AB＝5，BC＝4，AC＝5．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为14，∴△ABC的周长为14，又∵AB＝5，BC＝4，∴AC＝14﹣5﹣4＝5，故答案为：5．10．（2分）如图，l垂直平分线段AB，垂足为点C，P为直线l上一点，连接PA．若PA＝5，PC＝4，则BC＝3．【解答】解：连接PB，∵直线l垂直平分线段AB，垂足为点C，PA＝5，∴PB＝PA＝5，在Rt△PBC中，PC2+BC2＝PA2，∴42+BC2＝52，解得：BC＝3（舍去负值），故答案为：3．11．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，BD＝5，则点D到边AC的距离为5．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠B＝90°，∴DE＝BD＝5，即点D到AC边的距离是5．故答案为：5．12．（2分）在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则AB边上的高线长为．【解答】解：在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝52+122＝132＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴△ABC的面积＝×5×12＝30，∴AB边上的高线长为30×2÷13＝．故答案为：．13．（2分）若等腰三角形的一个角为70°，则其顶角的度数为70°或40°．【解答】解：（1）当70°角为顶角，顶角度数即为70°；（2）当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．故答案为：70°或40°．14．（2分）如图，四边形ABCD中，∠ABD＝∠ACD＝90°，P是边AD的中点．若BC＝3，AD＝8，则△BPC的周长为11．【解答】解：∵∠ABD＝∠ACD＝90°，P是边AD的中点，∴PB＝PC＝AD，∵AD＝8，∴PB＝PC＝8＝4，∴△BPC的周长＝PB+PC+BC＝4+4+3＝11，故答案为：11．15．（2分）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF．若∠DFC＝70°，则∠DEF＝55°．【解答】解：如图，由折叠的性质知：∠EFB＝∠EFD．∵∠DFC＝70°，∠EFB+∠EFD+∠DFC＝180°，∴∠EFB＝＝55°．又AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝55°．故答案是：55．16．（2分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，AD＝5，EF＝2，则CD的长为5．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠C+∠D＝90°，∠A+∠D＝90°，在△ABF与△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴BF＝DE，CE＝AF＝4，CD＝AB，∵AE＝AF﹣EF＝4﹣2＝2，∴DF＝AD﹣AE﹣EF＝5﹣2﹣2＝1，∴DE＝EF+DF＝2+1＝3，∴BF＝DE＝3，∴AB＝，∴CD＝AB＝5，故答案为：5．17．（2分）如图，在一个直角三角形ABC纸片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，将其折叠，恰使边AB落在斜边AC上，点B落在点E处，折痕交边BC于点F，则BF的长为cm．【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴AC＝＝＝10cm，设BF＝x，则CF＝6﹣x，根据折叠可知：EF＝BF＝xcm，AE＝AB＝8cm，∠AEF＝∠B＝90°，∴EC＝AC﹣AE＝10﹣8＝2（cm），∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴根据勾股定理得：（6﹣x）2＝x2+22，解得：x＝，∴BF＝cm，故答案为：．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，线段AD＝10，连接BD，△ABC绕点A顺时针旋转一周，在运动过程中，当B、C、D三点在同一条直线上时，则BD的长为2或14．【解答】解：如图，当点B在AD的上方时，过点A作AH⊥CB于H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝12，AH⊥BC，∴AH＝BH＝CH＝6，∴DH＝＝＝8，∴DB＝DH﹣BH＝2，当点B'在AD的下方时，过点A作AH'⊥C'B'于H'，同理可求DH'＝8，∴DB'＝14，综上所述：BD的长为14或2，故答案为：14或2．三、解答题（本大题共8小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）如图，点C、E在BF上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE．求证：BE＝CF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴BC＝EF，∴BC﹣CE＝EF﹣CE，∴BE＝CF．20．（8分）如图，四边形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12，∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．【解答】解：连接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝＝5，S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，在△ACD中，∵AD＝12，AC＝5，CD＝13，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴S△ACD＝AC•AD＝×5×12＝30．∴四边形ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．21．（8分）如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．【解答】证明：∵等边△ABC中，BD是边AC上的高，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠DBC＝∠CED，∴BD＝DE．22．（8分）如图，一棵高5.4m的大树被台风刮断，测得树梢着地点到树根的距离BC＝3.6m，求大树折断处离地面的高度AB．【解答】解：设AB＝xm，则AC＝（5.4﹣x）m，依题意得：x2+（3.6）2＝（5.4﹣x）2，整理得：10.8x﹣16.2＝0，解得：x＝1.5．答：大树折断处离地面的高度AB＝1.5m．23．（6分）已知四边形ABCD，AC是四边形ABCD的对角线，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图①，在对角线AC上求作一点M，使BM＝CM．（2）如图②，AB＝CD，在对角线AC上求作一点N，使△ABN和△CDN的面积相等．【解答】解：（1）如图①，点M为所作；（2）如图②，点N为所作．24．（9分）小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行证明．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC中点．求证：△ABC是等腰三角形．小明的证法：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵①AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D为BC中点，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，∠BED＝∠CFD＝90°，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴②∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．请把小明的证法补充完整，并用不同的方法完成证明．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为点E、F．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∵D为BC中点，∴BD＝CD．在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：AD平分∠BAC；∠B＝∠C．法二：延长AD至M，使得AD＝MD，连接CM，在△ABD与△MCD中，，∴△ABD≌△MCD（SAS），∴AB＝CM，∠BAD＝∠M，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠M＝∠DAC，∴AC＝CM，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．25．（9分）如图①，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AE、BD，连接DA并延长交BC于点F，AE＝CE．（1）求证：△DBC≌△EAC；（2）如图②，作△ADE的边AD上的高线EG，交BA的延长线于点P，求证：PB＝PE．【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△DBC和△EAC中，，∴△DBC≌△EAC（SAS）；（2）连接BE，如图②所示：∵△DBC≌△EAC，∴BD＝AE，∵AE＝CE，CE＝CD，∴BD＝CD，又∵AB＝AC，∴AD⊥BC，AD平分BC，∵EG⊥AD，∴EG∥BC，∴∠PEB＝∠CBE，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SSS），∴∠ABE＝∠CBE，∴∠PEB＝∠ABE，∴PB＝PE．26．（10分）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？（1）如图①，正方体的棱长为2cm，A是正方体的顶点，P为棱BC的中点．蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径的长为cm（结果保留根号）．（2）如图②，四棱锥的底面四边形ABCD是正方形，O是四棱锥的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝4cm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．图③所示的四棱锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点P的最短路径，并求出它的长（结果保留根号）．（3）图④中的几何体是由底面相同的正方体和四棱锥组成．正方体的棱长为acm，M是正方体的顶点，四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，O是四棱锥的顶点，侧棱OA＝OB＝OC＝OD＝bcm，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝30°，P为侧棱OC的中点．正方体的侧面展开图如图⑤所示，在图中画出蚂