2022-2023学年湖南省湘钢一中高三3.20联考考试数学试题

2022-2023学年湖南省湘钢一中高三3.20联考考试数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数/（力的图象如图所示，则它的解析式可能是（）

=MB./(x)=2'(|x|-l)

C./(x)=|ln|x||D.f(x)^xex-I

2.已知函数/(x)=cos2x+J5sin2x+1,则下列判断错误的是()

A.f（x）的最小正周期为7B..f（x）的值域为［-1,3］

TTD./（X）的图象关于点（一对称

C./（X）的图象关于直线工=一对称

3.在正方体ABC。一4片£。中，点E,F,G分别为棱4A，DQ,4片的中点，给出下列命题：①AQ_LEG

IT

②GCHED；③片厂，平面6GG；④防和8月成角为一.正确命题的个数是（）

4

A.0B.1C.2D.3

4.已知角a的顶点与坐标原点。重合，始边与K轴的非负半轴重合，它的终边过点「（-3,-4）,则tan（2a+f］的

值为（）

2

5.若复数z=「，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）

1+1

A.z的虚部为-iB.目=2C.z的共物复数为T—iD.z2为纯虚数

6.设S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若2（%+%+%）+3（6+%）=66,则几

A.56B.66

C.77D.78

7.已知函数〃x）=sin（0x+*）（o＞O,阚＜]],为/（x）图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点芭，x2

满足后一9|=1，则下列区间中存在极值点的是（）

8.如图，圆。是边长为2G的等边三角形ABC的内切圆，其与8C边相切于点£＞,点用为圆上任意一点,

8M=x84+y3O（x,yeR）,则2x+y的最大值为（）

A.0B.百C.2D.272

9.。〃。力〃⑸a〃/，则。与〃位置关系是（）

A.平行B.异面

C.相交D.平行或异面或相交

V2丫2

10.已知双曲线C：二一三=1（〃＞（）/＞（））的左、右焦点分别为6,8，过G的直线/与双曲线C的左支交于人

6Tb~

6两点.若[4却=|4可,血耳=120,则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=+^-xB.y=土咚XC.y=±（6一及）XD.丁=±（\/5-1卜

11.AA8C的内角A,B,C的对边分别为a,Ac,已知a=百力=1,8=30,则4为（）

A.60B.120C.60或150D.60或120

12.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是（）

B.

D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根

线组成（“.,“表示一根阳线，”■■”表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根

阴线的概率为.

洋%OT7

火心（

3坎相水

艮7

髭魂

2|n

14.若关于x的不等式」J>在+8）上恒成立，则一的最大值为.

1+lnx2m

15.的展开式中的常数项为.

%)

x+y>a

16.设X、)，满足约束条件，•,,且2=%+。)，的最小值为7,则4=_________.

x-y4-1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大

量统计数据.从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图(单位：分钟).若用时不超过

40(分钟)，则称这个工人为优秀员工.

(1)求这个样本数据的中位数和众数；

(2)以这9个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查4名工人，求被调查的4名工人中优秀员工的数量x分

布列和数学期望.

18.(12分)在本题中，我们把具体如下性质的函数f(x)叫做区间。上的闭函数：①f(x)的定义域和值域都是。；

②/(x)在。上是增函数或者减函数.

(1)若/(x)=tan(g)在区间［—1,1］上是闭函数，求常数。的值;

(2)找出所有形如/(x)=alog3X+Z?«的函数都是常数)，使其在区间［1,9］上是闭函数.

19.(12分)已知数列｛4｝是等差数列，前〃项和为S“，且S5=3q,%+4=8.

(1)求a”.

⑵设4=T-an,求数列也｝的前n项和T„.

20.(12分)设/(x)=xe*,g(x)=lnx+x-x2+1--(«>0)

a

(1)求g(x)的单调区间；

(2)设〃(x)=/(x)—ag(x"0恒成立，求实数。的取值范围.

21.(12分)设复数二满足z(2+1)=1-2i(i为虚数单位)，则z的模为.

22.(10分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcosA-百asinB=l.

(1)求A；

(2)已知a=26,B=p求△ABC的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据定义域排除C,求出/(1)的值，可以排除O,考虑了(—100)排除A.

【详解】

根据函数图象得定义域为R,所以C不合题意；

O选项，计算/(l)=e—l,不符合函数图象；

对于A选项，/(-100)=9999x2⑼与函数图象不一致；

8选项符合函数图象特征.

故选：B

【点睛】

此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.

2、D

【解析】

先将函数f(x)=cos2x+"sin2x+l化为/(x)=2sin(2x+V+l，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结

果.

【详解】

/(x)=cos2x+百sin2x+1

可得f(x)=2—•cos2x+-sin2x+1=2sin(2x+工］+1

、22JV6J

2兀2TI

对于A,/(x)的最小正周期为7=「=丁=»，故A正确；

1。12

对于B,由一lKsin(2x+£jwl,可得—l«/(x)W3,故B正确；

jrrr

对于C,正弦函数对称轴可得：2%+丁=左万+—,(ZeZ)

62

解得：X。=g上"+?，(2£Z),

JT

当％=0,x=-,故C正确;

06

对于D,正弦函数对称中心的横坐标为：2%+丁=%肛仕€2)

6

1JT

解得：x0=—k兀+一AkGZ)

212、7

若图象关于点［-£,()］对称，则!左万+2=一工

<4J2124

2

解得：k=~~,故D错误；

故选：D.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基

础题.

3、C

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A(2,0,0),C,(0,2,2),G(2,l,2),

C(0,2,0),E(l,0,2),D(0,0,0),B,(2,2,2),F(0,0,1),5(2,2,0).

①，AG=(-2,2,2),EG=(l/,0),AC/EG=-2+2+0=0,所以AQ^EG,故①正确.

②，GC=(-2,1,-2),ED=(-1,0,-2),不存在实数2使GC=2EO,板GCHED不成立,故②错误.

③，BXF=(-2,-2,-1),=(0,-1,2),BCX=(-2,0,2),BpBG=6即•BC；=29,故男尸J•平面BGg不

成立，故③错误.

EFBB,

④，)设和四成角为。，贝由于

EF=(-1,0,-1),^,=(0,0,2,EEijcos6=HH考

0,g,所以。=工，故④正确.

I2」4

综上所述，正确的命题有2个.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

4、B

【解析】

424

根据三角函数定义得到tan。=彳，故tan2a=一=，再利用和差公式得到答案.

37

【详解】

42tana24

•.•角a的终边过点P(-3,-4),.•.tanc=2,tan2a=f=」.

1-tan-a7

24।

tan2a+tan-----+1

.•.tan(2a+A4717

I4j一冗,24.31-

47

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.

5、D

【解析】

将复数-整理为1-Z的形式，分别判断四个选项即可得到结果.

【详解】

22(1-/),.

Z=----=----rr---r=1-I

l+z(l+z)(l-z)

z的虚部为一1,A错误；回=Ji7i=0,8错误；z=i+i,c错误；

z2=(l—i)2=_2i,为纯虚数，£＞正确

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查复数的模长、实部与虚部、共枕复数、复数的分类的知识，属于基础题.

6、C

【解析】

根据等差数列的性质可得2(4+。5+%)+3(4+42)=6%+64。=66,即4+4。=11,

所以Ea=1火4；%4)=7(%+即))=77,故选C.

7,A

【解析】

结合已知可知，＜7=1可求T,进而可求①，代入f(x),结合/(；)=0,可求。，即可判断.

【详解】

图象上相邻两个极值点芭，彳2满足|司-Xz|=1,

二]=1即7=2,

:.①=兀,f(x)=sin(7rx+0),且/(g)=sing4+。)=0,

・•.]+(p=k九,keZ,

\(p\<^7r,「.9=-g/r,/(x)=sin(4x-g%),

当*=一!时，为函数的一个极小值点，而-，€(—m，o).

6666

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用.

8、C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+y的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系,

设内切圆的半径为1,以（0,1）为圆心，1为半径的圆；

根据三角形面积公式得到,x/局长xr=S=工xABxACxsin60°,

2L2

可得到内切圆的半径为1；

可得到点的坐标为：B（-V3,0）,C（V3,0）M（0,3）,D（0,0）,A/（cos^J+sin^）

BM=（cose+G,l+sin8）,BA=（G,3）,5Z）=（"0）

故得到BM=（cos6+J^,l+sine）=（61+也乂3天）

故得到cos。=Gx+Gy-百,sin6=3x-l

l+sin。

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

9、D

【解析】

结合图（1）,（2）,（3）所示的情况，可得。与》的关系分别是平行、异面或相交.

(I)(2)()>

选D.

10、D

【解析】

设|伍|=〃2,利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.

【详解】

设=任用=%.♦.忸用=『一2|ABHAE|.COS120=岛,由双曲线的定义可知：|4用=相一加,

因此忸制=2”,再由双曲线的定义可知：忸图-忸用=24=>加=苧〃，在三角形从耳5中，由余弦定理可知：

|耳用「=|A用2+1_21卜|A用.cos120°n°?=（5_26）片0/+/=0-273）«2

=白=（4一2百）/=>：=（4一2百）=>幺=百一1,因此双曲线的渐近线方程为：

a~a

y=±（百_l）x.

故选：D

【点睛】

本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.

11、D

【解析】

由正弦定理可求得sinA=火，再由角A的范围可求得角4.

2

【详解】

由正弦定理可知，一="一，所以芭-=解得sinA=",又0<A<180，且。>人，所以A=60°或

sinAsinBsinAsin302

120’。

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.

12、D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知，

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、上

14

【解析】

观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两

卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

【详解】

八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中

共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。

11o63

.•.从8个卦中任取2圭卜，共有或=28种可能，两卦中共2阳4阴的情况有C；+C；=6,所求概率为尸=强=6。

3

故答案为：—o

14

【点睛】

本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数,

这样才能正确地确定基本事件的个数。

1

14、-

e

【解析】

分类讨论，加<()时不合题意；机>0时求导，求出函数的单调区间，得到〃无)=」空一在J,+8)上的最小值，利

')1+lnx2

2777Y]

用不等式恒成立转化为函数最小值一22d-,化简得机上e"，构造一放缩函数对自变量〃再研究，可解，

em

【详解】

2

令/•(x)=/^—；当加<0时，/(l)=/〃<0<2e"T,不合题意；

1+lnx

，/./nx(21nx+l)

当相>0时,

(1+lnxJ

令/(x)<0,得0<x<eT或eT<x<J“

所以fM在区间(0,e-)和QT,£3)上单调递减.

I,_11

因为gwQLe2),且/(x)在区间()2,+oo)上单调递增,

I7/777727

所以8)在一一逸取极小值7即最小值为

r\

若/(x)之2d-,则qN2e"T,即加

乙e

n77n

当时，-<0,当〃>0时，则一(二.

mme

设g(〃)==(〃>o)，则g'(〃)=L^.

ee

当Ov〃<l时，g'(〃)>0；当九>1时，g'(〃)vO,

所以g(〃)在(0,1)上单调递增；在(1,f)上单调递减，

n1H]

所以g(〃)Kg⑴，即二《一，所以一的最大值为一.

eeme

故答案为：-

e

【点睛】

本题考查不等式恒成立问题.

不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式/(x,/尸0(/1为实参数)对任意的xe。恒成立，求参数/I的取值范围.利

用导数解决此类问题可以运用分离参数法；如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是

二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(。〉0,/<0或“<0,/>0)求解.

15、135

【解析】

写出展开式的通项公式，考虑当x的指数为零时，对应的值即为常数项.

【详解】

T=C>(/厂｛W[=C；.卜孙产』

X2--的展开式通项公式为:r+l

X

令r=4,所以C：•卜百丁=135,所以常数项为135.

故答案为：135.

【点睛】

本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应，•的

取值.

16、3

【解析】

根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为y=-4x+Lz,对参数a分类讨论，当。=0时显然不满足题意；当

aa

时，直线y=-'x+'z经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当0<a<l

aa

时，y=-4x+Lz的截距没有最小值，即z没有最小值；当a<0时，y=-Lx+'z的截距没有最大值，即z没有

aaaa

最小值，综上可得出结果.

【详解】

x-^y=a（a-\a+

根据约束条件画出可行域如下：由<',可得出交点A一1，―，

\22）

由z=x+ay可得y=-x-\—z,当。=0时显然不满足题意；

aa

当aNl即-14-4<0时，由可行域可知当直线y=-Lx+'z经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，

aaa

rr。-1。+1_n/,A、

即一丁+。,一「=7,解得〃=3或-5（舍）；

22

当0<a<l即-1<-1时，由可行域可知y=-Lx+^z的截距没有最小值，即z没有最小值；

ciaa

当a<0即一!>0时，根据可行域可知^=-工1+工2的截距没有最大值，即z没有最小值.

aaa

综上可知满足条件时a=3.

故答案为：3.

本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4

17、(1)43,47；(2)分布列见解析，£(%)=-.

【解析】

(1)根据茎叶图即可得到中位数和众数；

(2)根据数据可得任取一名优秀员工的概率为g,故X〜写出分布列即可得解.

【详解】

(1)中位数为43,众数为47.

(2)被调查的4名工人中优秀员工的数量工=0,1,2,3,4,

任取一名优秀员工的概率为故x〜

P(x=&)=C：L1--,々=0,123,4,

\3,

X的分布列如下：

X01234

16322481

P

81818?8181

x1x32+2x24+3x8+4x14

故矶+81=3

【点睛】

此题考查根据茎叶图求众数和中位数，求离散型随机变量分布列，根据分布列求解期望，关键在于准确求解概率，若

能准确识别二项分布对于解题能够起到事半功倍的作用.

18、(1)±7；(2)/(x)=31og,x+\/x.

【解析】

(1)依据新定义,f(x)的定义域和值域都是［-1,1］,且/(X)在上单调，建立方程求解；(2)依据新定义，讨

论/(x)的单调性,列出方程求解即可。

【详解】、

(1)当力＞0时,由复合函数单调性知,f(x)=tan(^x)在区间［-1,1］上是增函数，即有tan(-^)=-l,解

tan69=1

得";

[④一旬工(-g冗、

TT1T

同理，当。＜0时，有＜tan(-6y)=1，解得刃=---，综上，0)—±—O

44

tan69=-l

(2)若/(幻在口,9］上是闭函数，则/(x)在［1,9］上是单调函数,

/(1)=8=1a—3

①当/(x)在口⑼上是单调增函数，贝川，解得,,,检验符合;

f(9)=2a+38=9b-\

〃9/)⑴=2=。0+=391'解得|a=—13

②当.f(x)在11,9］上是单调减函数，贝！

b=9

/(x)=-131og3X+96在［1,9］上不是单调函数，不符合题意。

故满足在区间［1,9］上是闭函数只有f(x)=310g、x+石o

【点睛】

本题主要考查学生的应用意识，利用所学知识分析解决新定义问题。

19、(1)。“=2(〃-3)(2)工,=(〃-4)•2'"-+16

【解析】

⑴由数列｛«„｝是等差数列，所以§5=5%,解得。3=0，又由包+4=8=2%,解得d=2,即可求得数列的通项

公式；

⑵由(1)得2=2"•«,=(〃-3＞2向，利用乘公比错位相减，即可求解数列的前n项和.

【详解】

⑴由题意，数列｛%｝是等差数列，所以Ss=5%,又§5=3%,•,•%=0,

由%+4=8=2%，得。5=4,所以%=2d=4,解得d=2,

所以数列的通项公式为4=〃3+(〃—3)d=2(〃一3).

⑵由⑴得仇=2"y=(〃一3>2叫

7；,=(-2)-22+(-1)-23+0-24++(/?-3)-2,,+1,

27；=(-2)-23+(-1)-24++(n-4).2"+,+(n-3)-2ra+2,

两式相减得27；,-7；,=2-22-(23+24++2e)+(〃-3)・2,1+2,

=88(1-2"1

+(n-3)-2n+2=(n—4)-2,,+2+16，

1-2

即4)2"2+i6.

【点睛】

本题主要考查等差的通项公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项

公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形

结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

20、(1)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8)；(2)Q<a<e

【解析】

(1)g(x)=~(2x+1)(X~1),令g(x)>0,g(x)<0解不等式即可；

(2)h\x)=(x+l)ef-fl(%+1)=(x+1)(^--),令/(x)=0得x。，即*=q，且〃(x)的最小值为

Xi)

/z(x0)=x0e-a\nxG-ax()-ae9令〃(毛)20,结合e"二区即可解决.