高中数学公式总结全

高中数学公式总结

函数

若集合A中有n（〃eN）个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2”,所有非空真子集

的个数是2"-2。

b

21X=----

二次函数y=+H+C的图象的对称轴方程是2。，顶点坐标是

'b4ac-b?'

9

4a

12aJo用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即

f（x）-ax2+bx+c（一般式），/（无）=。（工一七）♦（工一工2）（零点式）和

2

f（x）=a（x-m）+n（顶点式）。

三角函数

以角0的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角a的终边上任取一个

2'2

异于原点的点尸（苍丁）,点P到原点的距离记为乙贝Isina=〃，cos°=r，tg0二x,

2CC

ctga=）',seca=x,esca=）。

同角三角函数的关系中，

22

平方关系是：siMa+cos2a=1,1+次）=see?a,1+ctga=esca；

倒数关系是：tga-ctga=1sina-csccr=1,cosc^seca=1.

sinacosa

tga=----ctga=----

相除关系是：cosa,sinao

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。

函数y=Asin（5+0+8（其中A〉0,0〉。）的最大值是A+8,最小值是8—A,周

7_2乃_①

期是一。，频率是,-2万，相位是胡+夕，初相是°；其图象的对称轴是直线

71

cox+（p=k兀+—（keZ）

2,凡是该图象与直线y=8的交点都是该图象的对称中心。

三角函数的单调区间:

2k兀----,2kTV+一

y=sinx的递增区间是L22」（keZ）,递减区间是

\2k7r+2,2k71+2J(/:eZ).y二851的递增区间是［2大力一乃,2%乃］伏€2),递减区

左乃_工，k7T+—

间是［24乃,2ki+;r］(keZ),y=，gx的递增区间是(22；(ZreZ)

6、和角、差角公式：sin(a±/?)=sinacos£±cosasin/?

cos(a±/?)=cosacos夕干sinasin(3

tga±tgB

tg(a±\+tga-tg(3

7、二倍角公式是：sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1_1-2sin2a

2tga

tg2a=l-g%0

a+,1-cosaa+/1+cosa

8^半角公式是：sin2="2cos2="2

a+11-cosezl-cosasina

tg2=V1+COS6Z_sina-1+cosao

il+cosa=c2cos2—a1-cosa=2sin2-

9、升嘉公式是：22

.1-cos2a21+cos2a

sin2.a二---------cosa=------------

10、降暮公式是:22

11.特殊角的三角函数值:

7T717t713万

a071

~677~2T

2V3

sin。010-1

2V~2

cosa1旦在0-10

T22

百

tg。01不存在0不存在

V出

V3

etg。不存在V310不存在0

T

13、正弦定理（其中R为三角形的外接圆半径）：sinAsin8sinC

222

14、余弦定理：第一形式，b=a+c-2accosB

a1+。2_：2

第二形式，cosB=2ac

15、4ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表

示则：

S=­a•h=•••S=-feesinA=…

①2'n；②2；

cabc

93=---

③S=2R~smAsinBsmC；④4/?.

⑤s=b)(，-c)；⑥S=pr

16AABC中・sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tg(A+B)=-tgC

.A+BCA+B.CA+BC

sin-----=cos—cos-----=sin—tg—y-=etg—

22.22

tgA+tgB+tgC=tgA-tgB-tgC

不等式

4之猴

1、两个正数的均值不等式是:

2、两个正数。、匕的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

双向绝对值不等式：口।।।11111

左边：出7"°（»°）时取得等号。右边：20（40）时取得等号。

数列

S一“（％+%）

1、等差数列的通项公式是""=%+5TM,前n项和公式是：“2

na｝+一〃（〃一l）d

叫（4=1）

s“=4（F（"I）

2、等比数列的通项公式是%前n项和公式是：11一4

3、当等比数列｛区』的公比q满足时＜1时，"以"=S=1一4。一般地，如果无穷数列｝

lim5„

的前n项和的极限"T8"存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和），用

_limS.

S表不，即S="f8O

4、若m、n、p、q€N,且加+"=〃+4,那么：当数列MJ是等差数列时，有

A,N+%=UP+当数列a｝是等比数列时，有"a,'。

排列组合、二项式定理

加法原理、乘法原理：加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。

n!

2,排列数公式：片“=〃（〃T）…（〃-m+1）=（〃一m）！；

排列数与组合数的关系：P；"二’"’‘C：

n（n-1）・••（〃-tn+1）一！

组合数公式：C：=lx2x---xm=〃?！•（〃-m）！；

tnn—m「小「m-l「ni

组合数性质：c«=n,c,-+C/,=5,

n

r

Yhc"=2",c；+c\+c；+2+…+C：=C：［

3.二项式定理:(a+4=C"+C""+C)f2+…+C；a"/+…+C»"二

项展开式的通项公式：丁川=。；优一力(r=0,1,2…,〃)

解析几何

同一坐标轴上两点距离公式：g邳=缶一必

数轴上两点间距离公式：从四二,8—xj

直角坐标平面内的两点间距离公式：出%=’区—"2)2+(%—>2)2

_空

若点P分有向线段打八成定比入，则入

若点尸1(/，月)，P2(x2,y2),P(x,y),点P分有向线段片8成定比A,贝1)：

.一%1y-H尤］+AX2y+Ay2

人=超7=乃一y；/=1+4,y=i+A

若A(XQ|),B(x2,y2),。但，为)，则△ABC的重心G的坐标是

‘/+/+X3%+为+%、

I"3'3J

O

乃一必

6、求直线斜率的定义式为k='ga,两点式为1t=々一项。

7、直线方程的几种形式：点斜式：y->0="(x-X。)，斜截式：y=kx+h

y-yi=x-x,%+2=1

两点式：乃一月看一七，截距式：«+?~,一般式：Ax+By+C=Q

经过两条直线GAx+与y+G=0和4：ax+Jy+g=0的交点的直

线系方程是：Ax+gy+G+A(A2x+B2y+C2)=0

直线h：y=%x+4，l2-y^k2x+b2t则从直线6到直线，2的角e满足：

k?_k、

tgO=———tgO=

“"2；直线乙与12的夹角。满足：1+k[k]

d=回+8yo+q

点P(Xo，yo)到直线/：Ax+8y+C=0的距离：>]A2+B2

♦J?二。21

2

10、两平行直线11：Ax+By+Cy=0,/2：Ax+B.y+g=°距离ylA-+B

ii,圆的标准方程："—a)?+(y—6)2=/

圆的一般方程：'+y2+Dx+Ey+F=0(Z)2+E2-4F>0)

+E?-4F(D_E}

其中，半径是’2,圆心坐标是12,2)

x=。+rcosa

V(a是参数)

圆心在点C(。'b),半径为r的圆的参数方程是：[)'="+rsina

12、若4阳，以)，8(/，为)，则以线段AB为直径的圆的方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

22

经过两个圆：/+/+£)]X+£\y+耳=0,x4-y+D2x+E2y+F2=0

+222

的交点的圆系方程是‘>,+Dtx+E]y+Ft+A(x+y+D,x+£2y+F2)=0

经过直线/：Ax+8)'+C=0与圆/+V+Dr+Ey+E=0的交点的圆系方程是：

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0

13、圆K+V=/的以「(项)，先)为切点的切线方程是：

一般地，曲线4'+勿一"+曰+/=()的以点尸(/,)'o)为切点的切线方程是：

AWC3号+E号+F=0

O

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种：

①代数法(判别式法)：△>«,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离；

②几何法(圆心到直线的距离与半径的大小关系)：距离大于半径、等于半径、小于半

径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

15、抛物线标准方程的四种形式是：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x'=-2py»

gox=-P

16、抛物线V=2px的焦点坐标是:,准线方程是：2。

点「（人，打）是抛物线/=2px上一点，则点p到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）:

"2,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（通径）的长：2p。

2222

F--=1-——I------=1

17、椭圆标准方程的两种形式是：a2--h2和/b2----（a>b>Q\

922

xyta

18、椭圆/b2（4>6>0）的焦点坐标是（土。,0）,准线方程是.一c,离心率是

c2b②

e——---

a,通径的长是a。其中L=。-b\

22

二+"=]

19、若点P（x。/。）是椭圆/b2上一点，工、也是其左、右焦点，则

点P的焦半径的长是俨用="+%）和1尸周="。

2222

-厂--厂----_]1--厂--厂----_]1

20、双曲线标准方程的两种形式是：«2b-和a?*g>0,b>0）。

222

—————1光—*—e—■

21、双曲线/b-的焦点坐标是（土c，°）,准线方程是.一c,离心率是a,

2b2x2y2_

--------------u

通径的长是a，渐近线方程是。2b-。其中。2=/+/。

2222

—————]——

22、与双曲线1b2共渐近线的双曲线系方程是/b-（4H0）。与双曲线

2222

二_j_£______2i_=i

«2旷共焦点的双曲线系方程是h2-k。

23、若直线>=丘+”与圆锥曲线交于两点A（xl,yl）,B（x2,y2）,则弦长为

22

|AB|=7（I+^）（X,-X2）.

若直线x='町+'与圆锥曲线交于两点A（xl,yl）,B（x2,y2）,则弦长为

\AB\=J（l+〃J）（y]一乃）2

o

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有：

b2

〃=一

c。

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点。'在原坐标系下的坐标是（h,k）,若点P在原坐标

k

系下的坐标是（匚＞）'在新坐标系下的坐标是（£，＞'）,贝ijx'=x—〃，y'=y-a

立体几何

一、有关平行的证明

⑴公理4(2)(3)(4)

11，aa〃下"a

n11〃13l\U°=>H//12yCa=Lnn//l2="〃

1、

线〃线12

12/713an0=12/fl=Z2l2la

线〃线=>线〃线线〃面=线〃线面〃面0线〃线同垂直于一个平

面二线〃线

(1)(2)

a〃6'

A>

2、buaJ=>a〃aJ=a〃B

线〃面

a〃baua

线〃线n线〃面面〃面n线〃面

⑴⑵

aua、

buaal.a

aC\b=A=>a〃B」=>a〃6

3、

面〃面

a〃a。邛

b〃B

线〃面=面〃面同垂直于一直线=面〃面

二、有关垂直的证明

(1)(2)

aLa三垂线定理|[jL射影=>_£斜线

1、

=alb平面内直线

线_L线

bua逆定理，斜线=>_L射影

(线_1_面=线，线)(线_1线=>线，线)

(1)(2)(3)(4)

2、auaa邛}

线_L面

►

buaa〃bJa〃包aua

aC\b=AnlA.a=>bLanl10=>a邛

Ila〃_LaILaerA/?=/

l.i_ba\l

（线，线=>线，面）

aVa、

3、

面_L面

au。

（线，面二面，面）

cos0——

1、求二面角的射影公式是S,其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图

形F的面积，S'是图形F在二面角的另一个面内的射影，6是二面角的大小。

2、若直线/在平面&内的射影是直线-，直线m是平面&内经过/的斜足的一条直线，/与

厂所成的角为仇，/'与m所成的角为名，/与m所成的角为9,则这三个角之间的关系是

cos0=cosg-cos02。

3、体积公式：

V=-S-hV=-^r3

直棱柱：V=锥体：3,球体：3。

S——c•h'

侧面积：直棱柱侧面积：S=ch,；正棱锥侧面积：2,,

球的表面积：S=4万/。

5、几个基本公式：

弧长公式：/是圆心角的弧度数，。>0）；扇形面积公式：2.

十一、比例的几个性质

ac.,acbd

—=—<=>cid=be-=-一=—

1、比例基本性质：bd；反比定理：bdac

acabaca+bc+d

—二—<z>—=——=—----=-----

更比定理：bdcd.合比定理；bdbd

aca-bc-daca+bc+d

————s=————s=

分比定理：bdbd.合分比定理：bda-bc-d

aca-bc-d

—=—zz>----------=------------

合比定理：bda+bc+d

%««3a.

----=---2---二------=•••=------

等比定理：若瓦b2b3bn,b]+b2+b3Fw0,则

6+%+%■1-----卜4a}

仇+b,+/+…+儿

2004年新高考新增内容数学概念总结

简易逻辑

可以判断真假的语句叫做命题.

逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.

p、q形式的复合命题的真值表：

PqP且qP或q

真真真其

真假假真

假真假真

假假假假

命题的四种形式及其相互关系

原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.

平面向量

—»—♦―♦—>/—♦—>I—♦-»/—*―♦\♦-♦—*—»-♦

]运算性质.Q+b=b+4，k+bJ+c=Q+b+c>〃+0=0+a=Q

2,坐标运算：设。=（』，％），"=（%2，＞2）,则。±8=（*±》2，月±乃）

设A、B两点的坐标分别为（xLyl）,（x2,y2）,则AB=（乙一玉，乃一必）.

3.实数与向量的积的运算律：

4=（M）a,（4+pi）a=zla+Q+Z?\=Aa+Ab

设a=G，y),贝IJAa=^(x，y)=(疝，刈),

4.平面向量的数量积：

—>->—>—>—>—>

a-b=abcos0\a#0,&0,0。

定义:0-a=0

->->\->—>—>

a+b•c=〃•c+0•c

坐标运算:设。=&，yJ)=(*2,%)，则

a-b=xtx2+yxy2

5.重要定理、公式：

平面向量的基本定理

1fT

如果与和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量。，有且只

有一对实数4，%,使〃=4与+4《2

->—>-»—>

两个向量平行的充要条件a//boa=AbQeR)

设。=(/,y)：=&,丫2),则a〃b=阳为一32必=0

—>-*TT

两个非零向量垂直的充要条件a工b=a-b=0

设a=（为，/）,6=（工2，%），贝！|aox环2+>。2=°

f—>

线段的定比分点坐标公式：设P(x,y),Pl(xl,yl),P2(x2,y2)，且尸|尸=见P尸2,

项

+AX2X,+x2

A——X=

1+2

V2

月+为

y=A±^ly~

贝Ij11+4中点坐标公式l2

->

平移公式：如果点p(X,y)按向量"=("，％)平移至P(X，，yz),则

x=x+h,

)y'=y+k.

空间向量

(i)向量加法与数乘向量的基本性质.

—>—>—>—>/—>——>f->t/—>—f—>

a+b=h+aAa+b+c=〃+(/?+c)k\a+h\=ka+kb

(2)向量数量积的性质.

a-b=Lr•/?cos^lawO,bHO,O°K"18O°a-a^\a\

—>—>TT

a-Lboa-b=0

sci^b^c?->

(3)空间向量基本定理.给定空间一个基底,且对空间任一向量°,存在唯一的有序

L7f]

实数组(x,y,z)使0=%"+>3+1°,(x,y,z)叫做向量P在基底J上的坐标.

设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x,y,z使

OP=xOA+yO6+zOC

(4)向量的直角坐标运算

a+b

设a=(4],。2，%)，6=(々也也)，则=(。1+bt,a2+b2,a3+/)，

a-b=(«|-b],a2-b2,ai-b3)Aa=e/?)

f1,,,|«|=^a-a=Ja：+a：

a-b=aib]+a2b2+a3c)3||

—7a.h,+a、b»+a.b,

cos<a,b>=,11—i；33

Qa；+a；+a；\b；+/?；+/?；

->—►—>—>

allb=%=4伉,。2=几％,。3=劝3,(2eR)〃_!_/?=a}h]+a2b2+a3b3=0

设A=(X”)'1，Z|),B=(X2，％，Z2),贝ijAB=OB-OA=(x2,y2,z2)

(x1,y1,zl)=(x2-x,,y2-y,,z2-z,)

AB=dAB-AB+dk-X|I+(乃一乃丫+12一4『

窗体顶部

窗体底部

概率

(1)若事件A、B为互斥事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)

(2)若事件A、B为相互独立事件，则P(A-B)=P(A)•P(B)

(3)若事件A、B为对立事件，则P(A)+P(B)=lo一般地,PR)=1-P(A)

(4)如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事恰好发生

K次的概率(K)=。；P*(1-P)'T

概率与统计

(1)离散型隋机变量的分布列的性质:①P，»=12…;②P|+P2+…

(2)若离散型惰机变量&的分布列为

gXIX2・・・xn・・・

・・・・・・

pPlP2pn

则g的数学期望EgJiPi+X2P2+…+x“p”+•••

期望的性质：

设a、b为常数，贝！JE(ag+b)=aEg+b

若&〜B(n,p),贝ljE&=iip

g的方差为D；=(xl-Eg)2•pl+(x2-E)2•p2+…+(xn-E；)2•pn+…

方差的性质：

设a、b为常数，则D(aW+b)=a2D

若&〜B(n,p),则DI=np(1-p)

(3)正态分布:

1_(**)

/(1)=____!____e2b2

①正态总体函数.岳b,xe(-00,00),其中〃表示总体平均值，b

表示标准差，其分布叫做正态分布，记作N(〃，^2),函数的图象叫正态曲线.

②在正态分布中，当〃，=0,。=1时，叫做标准正态分布，记作N(0,1).

③标准正态分布表中，相应于/的值"Go)=p(X<%>).

④正态总体N(〃，^2)取值小于x的概率F(x)=1人

⑤若/<0厕"(/)=1-"(一/),从而可利用标准正态分布表.

尸（事</<x）=P（x<x）-P（x<x）

⑥正态分布N(〃，。2),22l

/